山东烟台中考数学解析.docx
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山东烟台中考数学解析
2015山东烟台中考数学解析
D
柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相等，则该几何体的左视图是（）
【答案】A
4.（2015山东烟台，4，3分）下列等式不一定成立的是（）
A.
=
（b≠0）B.a3·a－5=
（a≠0）
C.a2－4b2=（a+2b）（a－2b）D.（－2a3）2=4a6
【答案】A
5.（2015山东烟台，5，3分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）
A.平均数B.众数C.方差D.中位数
【答案】D
6.（2015山东烟台，6，3分）如果x2－x－1=（x+1）0，那么x的值为（）
A.2或－1B.0或1C.2D.－1
【答案】C
7.（2015山东烟台，7，3分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）
A.
B.2C.
D.
【答案】D
8.（2015山东烟台，8，3分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2015的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
9.（2015山东烟台，9，3分）等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x+n－1=0的两根，则n的值为（）
A.9B.10C.9或10D.8或10
【答案】B
10.（2015山东烟台，10，3分）A，B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程S（千米）与时间t（小时）之间的关系.下列说法：
①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米／小时；④乙先到达B地.其中正确的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
11.（2015山东烟台，11，3分）如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，－4）.则下列结论中错误的是（）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n.
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=－4的两根为－5和－1.
【答案】C
12.（2015山东烟台，12，3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8.以2
为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合.现将正方形DEFG沿A→B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）
【答案】A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13.（2015山东烟台，13，3分）如图，数轴上点A，B所表示的两个数的和的绝对值是.
【答案】1
14.（2015山东烟台，14，3分）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是.
【答案】540°
15.（2015山东烟台，15，3分）如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同.将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为.
【答案】
16.（2015山东烟台，16，3分）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），则圆锥形纸帽的高是.
【答案】6
17.（2015山东烟台，17，3分）如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=
（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点.连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为.
【答案】
18.（2015山东烟台，18，3分）如图，直线l∶y=－
x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为.
【答案】2－2
或2+2
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19.（2015山东烟台，19，6分）先化简：
，再从－2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值.
解：
原式=
=
=
.
由题意，可取x=2代入上式，
=
=4（答案不唯一）
20.（2015山东烟台，20，8分）“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措.某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，A：
1小时以内，B：
1小时～1.5小时，C：
1.5～2小时，D：
2小时以上.根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题：
（1）该校共调查了名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；
（4）在此次问卷调查中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是2小时以上，从这4人中任选2人去参加座谈，用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
解：
（1）
=200，故填200.
（2）C等级的人数为200－60－80－20=40.
如图所示：
（3）108.
（4）树状图如下：
共有12种等可能结果，其中符合要求的是8种结果.
∴P（选出的2人来自不同班级）=
=
.
21.（2015山东烟台，21，8分）2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通.从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时.已知烟台到北京的普快列车里程约1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：
00召开的会议，如果他买到当日8：
40从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
解：
（1）设普快列车的平均时速为x千米/时，则高铁列车的平均时速为2.5x千米/时.
根据题意，得
.
解得x=72.
经检验x=72是原方程的解.
2.5x=180.
答：
高铁列车的平均时速为180千米/时.
（2）630÷180=3.5（小时），3.5+1.5=5（小时），8：
40+5=13：
40.
∴可以在14：
00之前赶到会议.
22.（2015山东烟台，22，9分）如图1，滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯.灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯.该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°.且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°，AB=1.5米，CD=1米.为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，叶片与太阳能板顶端A的最近距离不少于0.5米，
求灯杆OF至少要多高？
（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）
解：
如图，过点E作EG⊥直线l于点G，过点D作DH⊥EG于点H.
∴四边形DFGH是矩形.
∵在Rt△DEH中，DE=1.8，∠EDH=90°－∠CDE=30°，
∴EH=
DE=0.9.
∴HG=EG－EH=6－0.9=5.1.
∵四边形DFGH是矩形，∴DF=HG=5.1.
在Rt△ABC中，AC=ABsin∠B=1.5×sin43°≈1.5×0.682=1.023，
由题意得OA≥1.5，
∴OF=OA+AC+CD+DF≥1.5+1.023+1+5.1=8.623≈8.63.
∴灯杆OF至少要8.63米高.
23.（2015山东烟台，23，9分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且
=
.
（1）试判断△ABC的形状，井说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值.
解：
（1）△ABC是等腰三角形.
∵
=
，∴∠EBD=∠EDB.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°.
∴∠CDE=∠C.
∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CDE=∠CBA，∴∠C=∠CBA.
∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵∠CDE=∠C，∴CE=DE.
∵
=
，∴DE=EB，∴CE=EB=
BC=
×12=6.
∵⊙O的半径是5，∴AC=AB=10.
∵∠CDE=∠CBA，∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA.
∴
=
，即
=
，解得CD=7.2.
∴AD=AC－CD=10－7.2=2.8.
∴在Rt△ADB中，sin∠ABD=
=
=
.
24.（2015山东烟台，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标升别为（－1，0），（0，－2），点D在.x轴上且AD为⊙M的直径，点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧
上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.
（1）求点D的坐标及抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？
如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：
（1）连接MB，设⊙M的半径为r.
∵A（－1，0），B（0，－2），
∴Rt△OMB中，OB=2，OM=r－1，
由勾股定理得22+（r－1）2=r2.
∴r=
.
∴AD=5.
∴点D的坐标是（4，0）.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（－1，0），B（0，－2），D（4，0），
解得a=
，b=－
，c=－2.
∴抛物线的表达式为y=
x2－
x－2.
（2）连接BF，与x轴相交于点P，则点P即为所求.连接MF.
∵在△MFH中，MF=2.5，FH=1.5，
∴MH=
=2.
∴OH=3.5.
由题意得△POB∽△PHF，∴
=
.
即
=
.
∴OP=2.
∴△PEF的周长最小时点P的坐标是（2，0）.
（3）存在，Q1（
，
），Q2（
，－
），Q3（
，－4），Q4（
，－
）.
25.（2015山东烟台，25，14分）【问题提出】
如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.
试证明：
AB=DB+AF.
【类比探究】
（1）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？
请说明理由.
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其它条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由.
【问题提出】证明：
由旋转知BE=AF，∠ABC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°.∴∠AEF+∠BEC=120°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=120°，∴∠AEF=∠BCE.
∵ED=EC，∴∠D=∠ECD.∴∠AEF=∠D.
∵∠FAC=60°，∠BAC=60°，∴∠EAF=120°.
∵∠ABC=60°，∴∠DBE=120°.∴∠EAF=∠DBE.
∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.
∵AB=AE+EB，EB=AF，AE=DB，∴AB=DB+AF.
【类比探究】
（1）AB=DB－AF.
解：
由旋转知BE=AF，∠EBC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°，∴∠FEA+∠BEC=60°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=60°，∴∠FEA=∠BCE.
∵DE=CE，∴∠D=∠BCE，∴∠FEA=∠D.
∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°，∠EBC=120°.
∴∠FAC=∠EBC=120°.
∵∠BAC=60°，∴∠FAE=60°.
∴∠FAE=∠DBE.
∵∠FEA=∠D，AF=BE，∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.
∵AB=AE－BE，AF=BE，
∴AB=DB－AF.
【类比探究】
（2）AB=AF－DB.
只画出图3中的一个图即可.
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