一次函数的应用.docx
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一次函数的应用
一次函数的应用
知识结构
模块一：
一次函数与不等式的关系
知识精讲
1、一元一次方程与一次函数
（1）对于一次函数
，由它的函数值
就得到关于
的一元一次方程
，解这个方程得
，于是可以知道一次函数
的图像与
轴的交点坐标为
．
（2）若已知一次函数
的图像与
轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标
，其就是一元一次方程
的根．
2、一元一次不等式与一次函数
（1）由一次函数
的函数值
大于0（或小于0），就得到关于
的一元一次不等式
（或
）的解集．
（2）在一次函数
的图像上且位于
轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式
（或
）的解集．
例题解析
【例1】
A
如图所示，一次函数
的图像经过A（0，2）、B（4，0）两点，则不等式kx+b>0的解集是______________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】已知一次函数
，
（1）如果函数的图象在x轴的上方，这时x应满足的条件是_______；
（2）如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是__________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例3】
y
如图所示，直线
经过A（
，2）和B（
，0）两点，则不等式组
的解集是什么?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例4】
3
直线
与直线
在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求关于x的不等式
的解集．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例5】
-3
如图已知函数
和
的图像交于点P（-2，-5），根据图像，求不等式
的解集．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例6】利用函数的图像求不等式：
的解集．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
模块二：
一次函数在实际问题中的运用
知识精讲
1、一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析
和概括一些复杂的问题．
2、在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式．
3、学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值．
例题解析
【例7】
O
早晨，小强从家出发，以v1的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以v2的速度向学校走去，且v1＞v2，则表示小强从家到学校的时间t（分钟）与路程S（千米）之间的关系是（）
【难度】★
【答案】
【解析】
【例8】小智和同学骑车去郊外春游，下列说法中错误的是（）
A．修车时间为15分钟B．春游的地方离家的距离为2000米
O
C．到达春游地点共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米
【难度】★
【答案】
【解析】
【例9】如图，在矩形
中，AB=2，
，动点P从点B出发，沿路线
作匀速运动，那么
的面积S与点P运动的路程
之间的函数图象大致是（）
2
【难度】★
【答案】
【解析】
【例10】如图1，在矩形
中，动点
从点
出发，沿
→
→
→
方向运动至点
处停止．设点
运动的路程为
，
的面积为
，如果
关于
的函数图象如图2所示，则当
时，点
应运动到（）
O
A．N处B．
处C．
处D．M处
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例11】已知甲乙两人的一次赛跑中，路程S与时间的关系如图所示，那么可以知道：
S（米）
（1）这是一次_______米赛跑；
（2）甲、乙两人中先到达终点的是________；
（3）乙在这次赛跑中平均速度为_________米/秒．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例12】一家小型放影厅盈利额y（元）同售票数x之间的关系如图所示，其中保险部门规定：
超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：
（1）当售票数x满足0＜x≤150时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是__________．
（2）当售票数x满足150＜x≤250时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是_______________．
y
（3）当售票数x为__________时，不赔不赚；当售票数x满足__________时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数x应为________．
（4）当x=________时，此时利润为140元．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例13】
（30,15）
为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的便民卡和如意卡在我市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图所示，分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式，如果小方3月份通话时间为170分钟，他选择哪种卡比较合适．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例14】如图，线段
，
分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量
（升）、
（升）关于行驶时间
（小时）的函数图像．
（1）写出图中线段
上点
的坐标及其表示的实际意义；
（2）求出客车行驶前油箱内的油量；
60
（3）求客车行驶1小时所消耗的油量相当于轿车行驶几小时所消耗的油量．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例15】气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止．结合风速与时间的图像，回答下列问题：
（1）在
轴括号内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时?
（3）求出当
≥25时，风速
（千米/时）与时间
（小时）之间的函数关系式．
（4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间?
（）
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为
、
（km），
、
与x的函数关系如图所示．
（1）填空：
A、C两港口间的距离为为___________km，
_______________；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
x/h
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例17】某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200t成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20t和30t成品．
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（t）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同；
（2）分别求出第15天和第25天结束时，甲、乙两条生产线的产量是多少，并比较哪条生产线的总产量高．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例18】校运动会前，小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮．两人并行跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．下图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）请直接写出小明和小亮比赛前的速度；
（2）请在图中的（）内填上正确的值，并求两人比赛过程中y与x之间的函数关系式．（不用写自变量x的取值范围）
（）
（3）若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过多少分钟两人相遇?
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例19】某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
A型利润
B型利润
甲店
200
170
乙店
160
150
（1）分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出定义域的取值范围；
（2）若公司要求利润不低于17560元，则有多少种不同的分配方案，并将方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润，甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该公司如何设计分配方案，使总利润达到最大?
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例20】甲乙两车分别从A地将一批货物运往B地，再返回A地，下图表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图像，已知乙车到达B地以后以30千米/时的速度返回，请根据图像中的数据回答：
（1）甲车出发多长时间后被乙车追上?
（2）甲车和乙车在距离A地多远处迎面相遇?
（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地?
s/千米
【难度】★★★
【答案】
【解析】
模块三：
一次函数在几何图形中的简单运用
知识精讲
（1）函数方法
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例题解析
【例21】若函数
与y轴交于点A，直线上
有一点M，若△AOM的面积为10，则点M的坐标__________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例22】已知一次函数y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为24，求b的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例23】如图所示，直线l1的解析表达式为y=－3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等吗?
判断并证明你的结论；
y
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化?
若没有变化，求出点E的坐标；若没有变化，请说明理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例25】
如图，一次函数
与坐标轴交于A、B两点，且点P是坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形．
（1）求∠ABO的大小；
（2）求出P点的坐标．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例26】如图，一次函数
与正比例函数
的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于
，且OA=AB，△OAB的
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