初三数学专题系列讲义第7讲 圆.docx

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初三数学专题系列讲义第7讲圆

初三数学（专题训练）讲义（57期）

第七讲圆

一、常用知识点及题型分析

定理

图像

表示方法

真题实练

垂径定理

例1：

如左图，直径为10㎝的圆中，圆心到弦AB的距离为4㎝，求弦AB的长。

圆的旋转对称性质

O。

例2：

已知⊙O中的弦AB=CD，

求证：

AD=BC。

圆心角和圆周角的关系

等（同）弧所对的圆心角等于圆周角的2倍。

例3：

（1）如图，已知∠AOB=50度，则

∠ACB=度；

（2）在上图中，若AB是圆O的直

径，则∠ACB=度；

等（同）弧所对的圆周（心）角相等。

直径所对的圆周角等于90度。

圆的内接四边形

圆的内接四边形

1．外角等于内对角；

2．对角互补

例4：

如图，四边形ABCD为⊙O的内

接四边形，∠BOD=120°，求∠BCD的度数。

切线的性质和判定

性质：

连半径有垂直

判定：

连半径证垂直

例5：

直线AB与⊙O相切于点A，⊙O

的半径为2，若∠OBA=30°，

OB=。

切线长定理

∵PA、PB是⊙O的切线，

点A、B是切点，

∴PA=PB

∴∠APO=∠BPO

例6：

如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，

∠ACB=70°，∠P=。

扇形计算

例7：

如图，现有一个圆心角为90°，半径为8㎝的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（连缝不计）则求圆锥底面圆的半径。

圆锥计算

扇

圆和正多边形的计算

例8：

已知圆的半径为1，求下列各正多边形的边长、周长和面积。

边长=

边长=

边长=

边长=

边长=

边长=

周长=

周长=

周长=

周长=

周长=

周长=

面积=

面积=

面积=

面积=

面积=

面积=

三角形的四心

重心：

三角形三条中线的交点。

垂心：

三角形三条高的交点。

外心：

三角形外接圆圆心，三角形中垂线交点，到三个顶点距离相等。

内心：

三角形内切圆圆心，三角形角平分线交点，到三边距离相等。

二、综合例题

★综合例题1：

如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。

已知：

AB=24cm，CD=8cm。

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求

（1）中所作圆的半径。

★综合例题2：

（2011江苏泰州）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。

（1）点N是线段BC的中点吗？

为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。

★综合例题3：

已知：

点A的坐标为，⊙A的半径为1，点B在x轴上。

（1）若点B的坐标为，⊙B的半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；

（2）若⊙B过M且与⊙A相切，求点B的坐标。

★综合例题4：

（2011贵州贵阳）在平行四边形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E。

（1）圆心O到CD的距离是；

（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积。

（结果保留π和根号）

三、对应练习

A组

1．如图所示：

为个弯形管道，其中心线是弧AB，已知半径OA=60cm，∠AOB=108°，则管道的

长度（即弧AB的长）为cm（结果保留）。

2．如图：

两个等圆⊙O和⊙O1相切，过O作⊙O1的两条切线OA、OB，A、B为切点，则

∠AOB=度。

3．如图：

⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF，BE的长是方程

的两根，则△ABC的面积为。

4．如图；△ABC内切于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，

则BD=。

5．一段弦把圆分成1:

3两部分，则弦所对的圆心角为度。

6．如图：

某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）其跨度为24米，拱的半径

为13米，则拱高为。

7．如图：

△ABC为⊙O内接三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E，若

DE=3，则BC=。

8．在平面内⊙O半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是

。

9．如图：

△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C=；

10．如图：

圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角

的度数为。

B组

11．（2010湖北黄石）如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（）

A．B．C．D．

12．（2011江苏南京）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是，半径为2，函数的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是（）

A．B．C．D．

13．（2011上海）矩形ABCD中，AB=8，，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A．点B、C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内

C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B、C均在圆P内

14．（2011浙江衢州）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）

A．B．C．D．

15．（2011山东东营）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为，圆P与y轴相切于点O。

若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

16．（2011浙江丽水）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE。

（1）求证：

AP=AO；

（2）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为

，能构成等腰梯形的四个点为或或。

17．（2011四川绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切。

（1）求证：

OB丄OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积。

18．（2011湖南怀化）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF。

（1）求证：

OF∥BC；

（2）求证：

△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=，设OE=x，求x值及阴影部分的面积。

四、趣味数学

（2011宁波市）阅读下面的情境对话，然后解答问题。

1．根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：

“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

2．在RtABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若RtABC是奇异三角形，求。

五、考考你

1．已知圆的半径为5㎝，如果圆心到直线的距离为5cm，那么直线和圆（）

A．相交B．相切C．相离D．内含

2．如图；直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则OB长为（）

A．B．4C．D．2

3．如图：

PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（）

A．∠APO=∠BPOB．PA=PBC．AB⊥OPD．C是PO的中点

4．大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则两圆的位置关系是（）

A．相交B．外切C．外离D．内含

5．直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（阴影部分）的面积是（）

A．B．C．D．

六、课外练习

如图，直角三角形ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连结CO。

请写出六个你认为正确的结论；（不能添加辅助线）；

解：

1．；

2．；

3．；

4．；

5．；

6．；

初三数学（专题训练）补充讲义（57期）

第七讲圆

★1．填空题

（1）（2011日照）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为

1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次

方程是。

（2）（2011烟台）如图，△ABC的外心坐标是。

★2．（2011济宁）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，。

（1）求证：

；

（2）请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？

并说明理由。

★3．点A、B在直线MN上，AB=11cm,⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径不断增大，其半径与时间之间的关系式为。

（1）试写出点A，B之间的距离与时间之间的函数关系式；

（2）问点A出发后多长时间两圆相切？

★4．（2011苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD。

（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；

当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角

坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.

设P点坐标为，试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a、b的值。

【课堂小测】（每小题10分，共100分）

1．如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）

A．140°B．110°C．120°D．130°

2．△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，则⊙O的

直径为（）

A．6cmB．8cm

C．10cmD．12cm

3．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P，如果PA=1，PB=4，那么PC的长为（）

A．5B．2C．4D．2.5

4．在半径为5cm的圆中，有两条平行弦的长充为6cm和8cm，则这两弦间的距离为（）

A．7cmB．1cmC．3cm或4cmD．7cm或1cm

5．等腰△ABC的腰AB=AC=4cm，若以A为圆心，2cm为半径的圆与BC相切，∠BAC的度数为（）

A．30°B．60°

C．90°D．120°

6．如图所示，PA切⊙O于A，PA=，∠APO=30°，则PO的为（）

A．B．2

C．1D．

7．已知关于的一元二次方程有两个相等实根，其中、是⊙和⊙的半径，为此两圆的圆心距，则⊙和⊙的位置关系是（）

A．外离B．相切C．外切D．内切

8．某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为，AB=6cm，点B到点C的距离等于AB，

，则工件的面积等于cm。

（）

A．6πB．C．6+2πD．3+4π