matlab 实验二.docx
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matlab实验二
实验2MATLAB数值计算、符号运算功能
一、实验目的
1、掌握建立矩阵、矩阵分析与处理的方法。
2、掌握线性方程组的求解方法。
3、掌握数据统计和分析方法、多项式的常用运算。
4、掌握求数值导数和数值积分、常微分方程数值求解、非线性代数方程数值求解的方法。
5、掌握定义符号对象的方法、符号表达式的运算法则及符号矩阵运算、符号函数极限及导数、符号函数定积分和不定积分的方法。
二、预习要求
（1）复习4、5、6章所讲内容；
（2）熟悉MATLAB中的数值计算和符号运算的实现方法和主要函数。
三、实验内容
1、已知
，求A的特征值及特征向量，并分析其数学意义。
>>A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5];
>>[V,D]=eig（A）
V=
0.71300.28030.2733
-0.6084-0.78670.8725
0.34870.55010.4050
D=
-25.316900
0-10.51820
0016.8351
V为A的特征向量，D为A的特征值，3个特征值是-25.3169、10.5182和16.8351。
>>A*V
ans=
-18.0503-2.94874.6007
15.40178.274314.6886
-8.8273-5.78576.8190
>>V*D
ans=
-18.0503-2.94874.6007
15.40178.274314.6886
-8.8273-5.78576.8190
经过计算，A*V=V*D。
2、不用rot90函数，实现方阵左旋90°或右旋90°的功能。
例如，原矩阵为A，A左旋后得到B，右旋后得到C。
，
，
提示：
先将A转置，再作上下翻转，则完成左旋90°；如将A转置后作左右翻转，则完成右旋转90°，可用flipud、fliplr函数。
>>a=[14710;25811;36912]
a=
14710
25811
36912
>>B=rot90（a）
B=
101112
789
456
123
>>C=rot90（s,3）
C=
321
654
987
121110
3建立一个5*5矩阵，求它的行列式值、秩。
A=fix（10*rand（5））
H=det（A）
Trace=trace（A）
Rank=rank（A）
Norm=norm（A）
A=
29407
59983
94796
98961
11677
H=
-12583
Trace=
31
Rank=
5
Norm=
30.1601
4下面是一个线性方程组
，
（1）求方程的解。
A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6];
b=[0.95,0.67,0.52]';
x=inv（A）*b
%
（2）:
B=[0.95,0.67,0.53]';
x=inv（A）*B
%（3）:
cond（A）
x=
1.2000
0.6000
0.6000
x=
3.0000
-6.6000
6.6000
ans=
1.3533e+003
（2）将方程右边向量元素b3=0.52改为0.53再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。
A=hilb（4）
A（:
1）=[]
A（4,:
）=[]
B=[0.95,0.67,0.52]';
X=inv（A）*B
B1=[0.95,0.67,0.53]';
X1=inv（A）*B1
N=cond（B）
N1=cond（B1）
Na=cond（A）%矩阵A为病态矩阵
A=
1.00000.50000.33330.2500
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
A=
0.50000.33330.2500
0.33330.25000.2000
0.25000.20000.1667
0.20000.16670.1429
A=
0.50000.33330.2500
0.33330.25000.2000
0.25000.20000.1667
X=
1.2000
0.6000
0.6000
X1=
3.0000
-6.6000
6.6000
N=
1
N1=
1
Na=
1.3533e+003
（3）计算系数矩阵的条件数并分析结论。
无
5建立矩阵A，试比较sqrtm（A）和sqrt（A），分析它们的区别。
A=[1,4,9;16,25,36;49,64,81]
B=sqrtm（A）
C=sqrt（A）%sqrtm函数是以矩阵为单位进行计算，sqrt函数是以矩阵中的元素进行计算
A=
149
162536
496481
B=
0.6344+1.3620i0.3688+0.7235i0.7983-0.4388i
1.4489+1.1717i2.7697+0.6224i3.2141-0.3775i
4.3578-1.6237i5.7110-0.8625i7.7767+0.5231i
C=
123
456
789
6将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P中，进行如下处理：
（1）分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。
A=45+（95-45）*rand（100,5）;
[Y,U]=max（A）
[X,U]=min（A）
运行结果：
Y=
94.972193.925094.514694.326594.5999
U=
9480451487
X=
45.351745.692945.385145.090645.2279
U=
4823272360
（2）分别求每门课的平均分和标准方差。
A=45+（95-45）*rand（100,5）;
aver=mean（A）
s1=std（A）
运行结果：
aver=
67.187670.126269.001771.017470.3569
s1=
13.227314.130713.805315.119114.7097
（3）5门课程总分的最高分、最低分及相应学生序号。
A=45+（95-45）*rand（100,5）;
B=sum（A,2）
disp（'最高分及学号:
'）,[Y,U]=max（B）
disp（'最低分及学号:
'）,[X,U]=min（B）
运行结果：
最高分及学号:
Y=
432.6472
U=
84
最低分及学号:
X=
287.6246
U=
50
（4）将5门课总分按从大到小顺序存入zcj中，相应学生序号存入xsxh。
A=45+（95-45）*rand（100,5）;
B=sum（A,2）;
[X,I]=sort（B）;
zcj=flipud（X）
xsxh=flipud（I）
提示：
编程时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来表示学生成绩。
7利用MATLAB提供的rand函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质：
（1）均值和标准方差；
（2）最大元素和最小元素；
（3）大于0.5的随机数个数占总数的百分比。
A=rand（1,30000）;
aver=mean（A）
s1=std（A）
max=max（max（A））
min=min（min（A））
k=find（A>0.5）;
a=length（k）;
disp（'百分比是：
'）,per=a/30000
运行结果：
均值是：
aver=
0.4982
s1=
0.2889
max=
1.0000
min=
4.8158e-005
百分比是：
per=
0.4988
8分别用3种不同的数值方法求解线性方程组。
（提示：
LU函数、inv函数）
9求函数
在（0,1）内的最小值。
10已知x=6，y=5，利用符号表达式：
。
（提示：
定义符号常数
，
）
x=sym（'6'）,y=sym（'5'）
x=
6
y=
5
>>z=（x+1）/（sqrt（3+x）-sqrt（y））
z=
7/（3-5^（1/2））
11已知：
，
，
求：
（1）
。
（2）B的逆矩阵并验证结果。
（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵。
（4）B的行列式值。
提示：
用于数值矩阵分析的有关函数同样适用于符号矩阵。
验证结果时须将结果化简。
（1）B=P1
P2
A
P1=[010;100;001]
P1=
010
100
001
>>P2=[100;010;101]
P2=
100
010
101
>>a=sym（'a'）;b=sym（'b'）;c=sym（'c'）;d=sym（'d'）;e=sym（'e'）;f=sym（'f'）;g=sym（'g'）;h=sym（'h'）;i=sym（'i'）;
>>A=[abc;def;ghi]
A=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]
B=P1*P2*A
B=
[d,e,f]
[a,b,c]
[a+g,b+h,c+i]
（2）B的逆矩阵并验证结果
C=inv（B）
C=
[（i*b-c*h）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）,（-e*c-i*e+f*b+f*h）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）,-（-e*c+f*b）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）]
[-（i*a-c*g）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）,-（-d*c-i*d+f*a+f*g）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）,（-d*c+f*a）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）]
[（a*h-b*g）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）,（-d*b-d*h+e*a+e*g）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）,-（-d*b+e*a）/（i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b）]
（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵
tril（B）
ans=
[d,0,0]
[a,b,0]
[a+g,b+h,c+l]
（4）B的行列式值
det（B）
ans=
i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b
12用符号方法求下列极限或导数。
（1）
；
（2）已知
，分别求
、
、
。
（1）x=sym（'x'）
x=
x
>>f=（x*（exp（sin（x））+1）-2*（exp（tan（x））-1））/sin（x）.^3
f=
（x*（exp（sin（x））+1）-2*exp（tan（x））+2）/sin（x）^3
>>limit（f）
ans=
-1/2
（4）x=sym（'x'）
x=
x
>>y=（1-cos（2*x））/x
y=
（1-cos（2*x））/x
>>diff（y,x,1）
ans=
2*sin（2*x）/x-（1-cos（2*x））/x^2
>>diff（y,x,2）
ans=
4*cos（2*x）/x-4*sin（2*x）/x^2+2*（1-cos（2*x））/x^3
>>symsatx;
>>f=sym（'[a^x,t^3;t*cos（x）,log（x）]'）
f=
[a^x,t^3]
[t*cos（x）,log（x）]
>>diff（f,x,1）;
>>diff（f,x,1）
ans=
[a^x*log（a）,0]
[-t*sin（x）,1/x]
>>diff（f,t,2）
ans=
[0,6*t]
[0,0]
>>diff（f,x）/diff（f,t）
ans=
[0,1/cos（x）*a^x*log（a）]
[1/3/t^2/x,-1/cos（x）*t*sin（x）]
13用符号方法求下列积分：
（1）
；
（2）
。
（1）sym（'x'）
ans=
x
>>f=1/（1+x^4+x^8）
f=
1/（1+x^4+x^8）
>>int（f,x）
ans=
1/6*3^（1/2）*atan（1/3*（2*x-1）*3^（1/2））+1/6*3^（1/2）*atan（1/3*（1+2*x）*3^（1/2））-1/12*3^（1/2）*log（-x^2+3^（1/2）*x-1）+1/12*3^（1/2）*log（x^2+3^（1/2）*x+1）
（3）symsx
>>f=（x.^2+1）/（x.^4+1）
f=
（x^2+1）/（1+x^4）
>>int（f,x,0,inf）
ans=
1/2*pi*2^（1/2）
14化简表达式。
（1）
；
byte1=sym（'byte1'）
byte1=
byte1
>>byte2=sym（'byte2'）
byte2=
byte2
>>S=sin（byte1）*cos（byte2）-cos（byte1）*sin（byte2）
S=
sin（byte1）*cos（byte2）-cos（byte1）*sin（byte2）
>>simplify（S）
ans=
sin（byte1）*cos（byte2）-cos（byte1）*sin（byte2）
（2）
。
x=sym（'x'）
x=
x
>>S=（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
S=
（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
>>simple（s）
>>simple（S）
simplify:
2*x+3
radsimp:
2*x+3
combine（trig）:
2*x+3
factor:
2*x+3
expand:
4/（2*x+1）*x^2+8/（2*x+1）*x+3/（2*x+1）
combine:
（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
convert（exp）:
（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
convert（sincos）:
（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
convert（tan）:
（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
collect（x）:
（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）
ans=
2*x+3
15分解因式。
（1）
；
x=sym（'x'）
x=
x
>>y=sym（'y'）
y=
y
>>A=x^4-y^4
A=
x^4-y^4
>>factor（A）
ans=
（x-y）*（x+y）*（x^2+y^2）
（2）5135。
factor（sym（'5135'））
ans=
（5）*（13）*（79）
四、实验报告
1、实验内容中的代码与运行结果的截图；
2、本次实验的总结。
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