高考数学77立体几何中的向量方法一证明空间中的位置关系练习.docx
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高考数学77立体几何中的向量方法一证明空间中的位置关系练习
课时提升作业（四十六）
立体几何中的向量方法
（一）
——证明空间中的位置关系
（25分钟 60分）
一、选择题（每小题5分,共25分）
1.（2015·天津模拟）若直线l的方向向量为a=（1,0,2）,平面α的法向量为n=（-2,0,-4）,则（ ）
A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交
【解析】选B.因为n=-2a
所以a∥n,即直线l的方向向量与平面的法向量共线,这说明了直线与平面垂直.
【误区警示】本题易由a∥n,误以为l∥α,而误选A.
2.设平面α的法向量为（1,2,-2）,平面β的法向量为（-2,-4,k）,若α∥β,则k等于（ ）
A.2 B.-4 C.4 D.-2
【解题提示】α∥β等价于其法向量平行.
【解析】选C.因为α∥β,
所以
=
=
所以k=4.
【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平
面的法向量的是（ ）
A.n1=（1,2,1）,n2=（-3,1,1）
B.n1=（1,1,2）,n2=（-
2,1,1）
C.n1=（1,1,1）,n2=（-1,2,1）
D.n1=（1,2,1）,n2=（0,-2,-2）
【解析】选A.因为α⊥β,
所以n1⊥n2,即n1·n2=0,
经验证可知,选项A正确.
3.（2015·锦州模拟）直线l的方向向量s=（-1,1,1）,平面α的法向量为n=（2,x2+x,-x）,若直线l∥平面α,则x的值为（ ）
A.-2B
.-
C.
D.±
【解析】选D.由已知得s·n=0,故-1×2+1×（x
2+x）+1×（-x）=0,解得x=±
.
4.（2015·珠海模拟）如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E,F分别在A1D,AC上,且A1E=
A1D,AF=
AC,则（ ）
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.
【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则A1（1,0,1）,D（0,0,0）,A（1,0,0）,C（0,1,0）,E
F
B（1,1,0）,D1（0,0,1）,
=（-1,0,-1）,
=（-1,1,0）,
=
=（-1,-1,1）,
=-
·
=
·
=0,
从而EF∥
BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.
5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=
AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为（ ）
A.（1,1,1） B.
C.
D.
【解析】选C.由已知得A（
0）,B（0,
0）,D（
0,0）,E（0,0,1）,设M（x,x,1）.
则
=（x-
x-
1）,
=（
-
0）,
=（0,-
1）.设平面BDE的一个法向量
为n=（a,b,c）.
则
即
解得
令b=1,则n=（1,1,
）.
又AM∥平面BDE,所以n·
=0.
即2（x-
）+
=0,得x=
所以M
.
二、填空题（每小题5分,共15分）
6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=（1,1,2）,b=（x,-2,3）,且α⊥β,则x= .
【解析】由α⊥β,得a⊥b.所以a·b=x-2+6=0,
解得x=-4.
答案:
-4
7.（2015·兰州模拟）已知平面α内的三点A（0,0,1）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,平面β的一个法向量n=（-1,-1,-1）.则不重合的两个平面α与β的位置关系是 .
【解析】由已知得,
=（0,1,-1）,
=（1,0,-1）,设平面α的一个法向量为m=（x,y,z）,
则
得
得
令z=1,得m=（1,1,1）.
又n=（-1,-1,-1）,所以m=-n,
即m∥n,所以α∥β.
答案:
平行
【方法技巧】平面的法向量的求法
1.设出平面的一个法向量n=（x,y,z）,利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.
2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为 .
【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E（x,1,1）,B1（1,1,0）,所以
=（x-1,0,1）,又F（0,0,1-y）,B（1,1,1）,所以
=（1,1,y）,由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,
只需
·
=（1,1,y）·（x-1,0,1）=0⇒x+y=1.
答案:
1
三、解答题（每小题10分,共20分）
9.（2015·四平模拟）如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.
（1）求证:
AG∥平面BEF.
（2）试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.
【解析】
（1）以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,
则A（1,0,0）,B（1,1,0）,E
F
G
因为
=
=
而
=
所以
=
+
故
与平面BEF共面,
又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.
（2）设M（1,1,m）,则
=（1,1,
m）,
由
·
=0,
·
=0,
所以-
+m=0⇒m=
所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.
10.（2015·泰安模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥
平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,
CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.
（1）求证:
CM∥平
面PAD.
（2）求证:
平面PAB⊥平面PAD.
【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为PC⊥平面ABCD,
所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
所以∠PBC=30°.因为PC=2.所以BC=
2
PB=4.
所以D（0,1,0）,B（2
0,0）,A（2
4,0）,P（0,0,2）,M
所以
=（0,-1,2）,
=（2
3,0）,
=
（1）设n=（x,y,z）为平面PAD的一个法向量,则
即
所以
令y=2,得n=（-
2,1）.
因为n·
=-
×
+2×0+1×
=0,
所以n⊥
又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.
（2）取AP的中点E,并连接BE,
则E（
2,1）,
=（-
2,1）,
因为PB=AB,所以BE⊥PA.
又
·
=（-
2,1）·（2
3,0）=0,
所以
⊥
则BE⊥DA.
因为PA∩DA=A,所以B
E⊥平面PAD,
又因为BE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
AB,B1C1
BC,二面角A1-AB-C是直二面角.
求证:
（
1）A1B1⊥平面AA1C.
（2）AB1∥平面A1C1C.
【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,
所以AA1⊥平面BAC.
又因为AB=AC,BC=
AB,
所以∠CAB=90°,
即CA⊥AB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则A（0,0,0）,B1（0,2,2）,A1（0,0,2）,C（2,0,0）,C1（1,1,2）.
（1）
=（0,2,0）,
=（0,0,-2）,
=（2,0,0）,
设平面AA1C的一个法向量为n=（x,y,z）,
则
即
即
取y=1,则n=（0,1,0）.
所以
=2n,即
∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.
（2）易知
=（0,2,2）,
=（1,1,0）,
=（2,0,-2）,
设平面A1C1C的一个法向量为m=（x1,y1,z1）,则
即
令x1=1,则y1=-1,z1=1,
即m=（1,-1,1）.
所以
·m=0×1+2×（-1）+2×1=0,
所以
⊥m.又AB1⊄平面A1C1C,
所以AB1∥平面A1C1C.
（20分钟 40分）
1.（5分）平面α经过三点A（-1,0,1）,B（1,1,2）,C（2,-1,0）,则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是（ ）
A.
B.（6,-2,-2）
C.（4,2,2）D.（-1,1,4）
【解析】选D.由已知得
=（2,1,1）,
=（3,-1,-1）,
设平面α的法向量为n=（x,y,z）,则
即
解得
令y=1,则n=（0,1,-1）.经验算,对于选项A,B,C所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项D,（-1）×0+1×1+（-1）×4=-3≠0,故选D.
【一题多解】本题还可以采用如下方法:
选D.对于选项A,因为
=
（1,-2,-2）=
所以选项A所对应的向量与平面α平行,同理可知选项B,C所对应的向量均与平面α平行,而对于选项D对应的向量与平面α不平行,故选D.
2.（5分）（2015·太原模拟）如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=
则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A.斜交B.平行
C.垂直D.不能确定
【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,
z轴,建立空间直角坐标系.
因为A1M=AN=
a,
所以M
N
所以
=
.
又C1（0,0,0）,D1（0,a,0）,所以
=（0,a,0）,
所以
·
=0,所以
⊥
.
因为
是平面BB1C1C的一个法向量,
且MN⊄平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
【加固训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=
AD=2
P为C1D1的中点,M为B
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