FFT与小波变换的区别FFT的缺陷.docx

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FFT与小波变换的区别FFT的缺陷

分段平稳信号

这两种波形的FFT完全一样！

完全分不出信号出现的位置，说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。

小波则可以还原。

经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？

其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。

傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。

可以知道所有有关时间的信息都是由e^（ift）导出的。

傅里叶变换：

1）首先傅里叶变换是傅里叶级数（有限周期函数）向（无限周期函数）的扩展，将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和（或积分）。

2）傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域内的积分，显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。

3）经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？

其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。

傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。

可以知道所有有关时间的信息都是由e^（ift）导出的。

4）从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数{1/sqrt（2π）,sin（t）/sqrt（π）,cos（t）/sqrt（π）,...}看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数，第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。

但是这并不影响我们的理解。

我们可以像在有限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开，而将傅里叶逆变换理解为一个旋转（或其他变换），举个例子：

一个立方体，正着放的时候我们看到的是正面（频域），当我们旋转一下，我们可能看到其他面比如反面（时域）。

短时傅里叶变换：

由上叙述可知傅里叶变换之后的图像仅包含频域信息，丢失了时域信息，在那些同时需要频域和时域信息的时候（在什么时候存在哪些频率）就显得无能为力，因此出现了短时傅里叶变换，短时傅里叶变换认为在一个小的时间段deltat内信号是稳定的，信号包含的频率是不变的，利用一个窗口函数与原始函数卷积，在特定的时间仅计算该时间前后共deltat时间内的信号的傅里叶变换作为该时间点的傅里叶变换，即该时刻的频谱。

小波变换：

虽然短时傅里叶变换可以解释一些问题，但是由于窄的窗口函数时间分辨率高但是频率分辨率低，而宽的窗口函数频率分辨率高但时间分辨率低，低频信号时间分辨率较低而频率分辨率较高，此处时间分辨率低很容易理解，因为波长越长，他在不同的时段的贡献就越多，前几个时段或后几个时段都可能也包含了部分信号导致针对某一频率在时间变化时得到的相关系数变化缓慢，尖峰较宽，分辨率低，对于频率分辨率不是很好理解，我是这样理解的，低频信号波长较长，在于原始信号相关时微小变化对相关系数影响大，而高频信号波长短，频率的微小变换对相关系数的影响不是很明显。

而短时傅里叶变换窗口大小固定，不能同时得到较好的时间和频率分辨率。

这样便产生了小波，小波可以理解为是在短时傅里叶变换的基础上对窗口函数增加了一个尺度因子，该尺度因子随着频度变化而变化，使得在低频时降低窗口宽度增加时间分辨率而在高频时增加窗口宽度增加频率分辨率。

暂时写到这里，各位有什么精彩的理解或指教尽管发言，谢谢。

来源：

李端顺

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傅立叶变换的缺点

傅里叶变换具有良好的性质，能够实现时域到频域相互转换，它实质是将f（t）这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加。

这样我们就可以把对原函数f（t）的研究转化为不同频率分量的幅值和相位的研究。

从傅里叶变换公式可以看出，它是以正弦波及其高次谐波为标准基的，因此它是对信号的一种总体上的分析，具有单一的局部定位能力，也就是在时域的良好定位是以频域的全部信号分析为代价的，对频域的良好定位是以时域的全部信号分析为代价的，时域和频域分析具有分析上的矛盾，傅立叶变换的频率谱中要么频率是准确的而时间是模糊的，要么时间是准确的而频率是模糊的，它不可能同时在时域和频域都具有良好的定位的能力。

傅立叶变换是建立在平稳信号的基础上的，在非平稳时变信号的分析上，它却无能为力。

傅立叶变换把信号的时域特征和频域特征联系在一起，使我们可以从信号的时域和频域两个角度观察和分析信号，但是二者却是绝对分离的，即在频域不包含任何时域信息，在时域中同样找不到任何频域信息的影子。

对于傅立叶频谱中的某一频率，不知道这一频率是何时产生的，只能从全局上分析信号。

这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：

时域和频域的局部化矛盾。