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离散数学第1章习题解答

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离散数学第1章习题解答（共41页）

习题

1.下列句子中，哪些是命题哪些不是命题如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗

⑶不存在最大素数。

⑷21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!

⑼请勿随地吐痰!

⑽圆的面积等于半径的平方乘以。

⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：

⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2.将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：

⑴本命题为原子命题；

⑵　p：

天气冷；q：

我穿羽绒服；

⑶　p：

天在下雨；q：

湿度很高；

⑷　p：

刘英上山；q：

李进上山；

⑸　p：

王强学过法语；q：

刘威学过法语；

⑹　p：

你看电影；q：

我看电影；

⑺　p：

我看电视；q：

我外出；r：

我睡觉；

⑻　p：

天下大雨；q：

他乘班车上班。

3.将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：

⑴　p：

他吃饭；q：

他听音乐；原命题符号化为：

p∧q

⑵　p：

3是素数；q：

2是素数；原命题符号化为：

p∨q

⑶　p：

地球上有树木；q：

人类能生存；原命题符号化为：

⌝p→⌝q

⑷　p：

8是偶数；q：

8能被3整除；原命题符号化为：

p↔q

⑸　p：

停机；q：

语法错误；r：

程序错误；原命题符号化为：

q∨r→p

⑹　p：

四边形ABCD是平行四边形；q：

四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：

p↔q。

⑺　p：

a是偶数；q：

b是偶数；r：

a+b是偶数；原命题符号化为：

p∧q→r

4.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。

⑴　如果3+3=6，则雪是白的。

⑵如果3+3≠6，则雪是白的。

⑶如果3+3=6，则雪不是白的。

⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。

⑸

是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。

⑹2+3=5的充要条件是

是无理数。

（假定是10进制）

⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。

⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。

解：

设p：

3＋3＝6。

q：

雪是白的。

⑴　原命题符号化为：

p→q；该命题是真命题。

⑵　原命题符号化为：

⌝p→q；该命题是真命题。

⑶　原命题符号化为：

p→⌝q；该命题是假命题。

⑷　原命题符号化为：

⌝p→⌝q；该命题是真命题。

⑸　p：

是无理数；q：

加拿大位于亚洲；原命题符号化为：

p↔q；该命题是假命题。

⑹　p：

2+3＝5；q：

是无理数；原命题符号化为：

p↔q；该命题是真命题。

⑺　p：

两圆O1,O2的面积相等；q：

两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：

p↔q；该命题是真命题。

⑻　p：

王小红心情愉快；q：

王小红唱歌；原命题符号化为：

p↔q；该命题是真命题。

习题

1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。

⑴（p∧q→r）

⑵（p∧（q→r）

⑶（（⌝p→q）↔（r∨s））

⑷（p∧q→rs）

⑸（（p→（q→r））→（（q→p）↔q∨r））。

解：

⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。

2.设p：

天下雪。

q：

我将进城。

r：

我有时间。

将下列命题符号化。

⑴天没有下雪，我也没有进城。

⑵如果我有时间，我将进城。

⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。

解：

⑴⌝p∧⌝q

⑵r→q

⑶⌝p∧r→q

3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。

⑴r∧q

⑵¬（r∨q）

⑶q↔（r∧¬p）

⑷（q→r）∧（r→q）

解：

⑴我有时间并且我将进城。

⑵我没有时间并且我也没有进城。

⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。

⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。

4.试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。

⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。

⑵如果张三和李四都不去，他就去。

⑶我们不能既划船又跑步。

⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解：

⑴p：

你给我写信；q：

信在途中丢失；原命题符号化为：

（⌝p∧⌝q）∨（p∧q）。

⑵　p：

张三去；q：

李四去；r：

他去；原命题符号化为：

⌝p∧⌝q→r。

⑶　p：

我们划船；q：

我们跑步；原命题符号化为：

⌝（p∧q）。

⑷　p：

你来了；q：

他唱歌；r：

你伴奏；原命题符号化为：

p→（q↔r）。

5.用符号形式写出下列命题。

⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

⑵我今天进城，除非下雨。

⑶仅当你走，我将留下。

解：

⑴　p：

上午下雨；q：

我去看电影；r：

我在家读书；s：

我在家看报；原命题符号化为：

（⌝p→q）∧（p→r∨s）。

⑵　p：

我今天进城；q：

天下雨；原命题符号化为：

⌝q→p。

⑶　p：

你走；q：

我留下；原命题符号化为：

q→p。

习题

1.设A、B、C是任意命题公式，证明：

⑴A⇔A

⑵若A⇔B，则B⇔A

⑶若A⇔B，B⇔C，则A⇔C

证明：

⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知A⇔A成立。

⑵因为A⇔B，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式，所以，B⇔A成立。

⑶对A、B、C的任一赋值，因为A⇔B，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B⇔C，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A⇔C成立。

2.设A、B、C是任意命题公式，

⑴若A∨C⇔B∨C,A⇔B一定成立吗

⑵若A∧C⇔B∧C,A⇔B一定成立吗？

⑶若¬A⇔¬B，A⇔B一定成立吗？

解：

⑴不一定有A⇔B。

若A为真，B为假，C为真，则A∨C⇔B∨C成立，但A⇔B不成立。

⑵不一定有A⇔B。

若A为真，B为假，C为假，则A∧C⇔B∧C成立，但A⇔B不成立。

⑶一定有A⇔B。

3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

⑴q∧（p→q）→p

⑵p→（q∨r）

⑶（p∨q）↔（q∨p）

⑷（p∧⌝q）∨（r∧q）→r

⑸（（¬p→（p∧¬q））→r）∨（q∧¬r）

解：

⑴　q∧（p→q）→p的真值表如表所示。

表

p→q

q∧（p→q）

q∧（p→q）→p

使得公式q∧（p→q）→p成真的赋值是：

00，10，11，使得公式q∧（p→q）→p成假的赋值是：

01。

⑵　p→（q∨r）的真值表如表所示。

表

q∨r

p→（q∨r）

使得公式p→（q∨r）成真的赋值是：

000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→（q∨r）成假的赋值是：

100。

⑶　（p∨q）↔（q∨p）的真值表如表所示。

表

p∨q

q∨p

（p∨q）↔（q∨p）

所有的赋值均使得公式（p∨q）↔（q∨p）成真，即（p∨q）↔（q∨p）是一个永真式。

⑷　（p∧⌝q）∨（r∧q）→r的真值表如表所示。

表

⌝q

p∧⌝q

r∧q

（p∧⌝q）∨（r∧q）

（p∧⌝q）∨（r∧q）→r

使得公式（p∧⌝q）∨（r∧q）→r成真的赋值是：

000，001，010，011，101，110，111，使得公式（p∧⌝q）∨（r∧q）→r成假的赋值是：

100。

⑸（（⌝p→（p∧⌝q））→r）∨（q∧⌝r）的真值表如表所示。

表

p∧⌝q

⌝p→（p∧⌝q）

（⌝p→（p∧⌝q））→r

q∧⌝r

（（⌝p→（p∧⌝q））→r）∨（q∧⌝r）

使得公式（（⌝p→（p∧⌝q））→r）∨（q∧⌝r）成真的赋值是：

000，001，010，011，101，110，111，使得公式（（⌝p→（p∧⌝q））→r）∨（q∧⌝r）成假的赋值是：

100。

4.用真值表证明下列等价式：

⑴⌝（p→q）⇔p∧⌝q

证明：

证明⌝（p→q）⇔p∧⌝q的真值表如表所示。

表

p→q

⌝（p→q）

⌝q

p∧⌝q

由上表可见：

⌝（p→q）和p∧⌝q的真值表完全相同，所以⌝（p→q）⇔p∧⌝q。

⑵p→q⇔⌝q→⌝p

证明：

证明p→q⇔⌝q→⌝p的真值表如表所示。

表

p→q

⌝p

⌝q

⌝q→⌝p

由上表可见：

p→q和⌝q→⌝p的真值表完全相同，所以p→q⇔⌝q→⌝p。

⑶⌝（p↔q）⇔p↔⌝q

证明：

证明⌝（p↔q）和p↔⌝q的真值表如表所示。

表

p↔q

⌝（p↔q）

⌝q

p↔⌝q

由上表可见：

⌝（p↔q）和p↔⌝q的真值表完全相同，所以⌝（p↔q）⇔p↔⌝q。

⑷p→（q→r）⇔（p∧q）→r

证明：

证明p→（q→r）和（p∧q）→r的真值表如表所示。

表

q→r

p→（q→r）

p∧q

（p∧q）→r

由上表可见：

p→（q→r）和（p∧q）→r的真值表完全相同，所以p→（q→r）⇔（p∧q）→r。

⑸p→（q→p）⇔⌝p→（p→⌝q）

证明：

证明p→（q→p）和⌝p→（p→⌝q）的真值表如表所示。

表

q→p

p→（q→p）

⌝p

⌝q

p→⌝q

⌝p→（p→⌝q）

由上表可见：

p→（q→p）和⌝p→（p→⌝q）的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→（q→p）⇔⌝p→（p→⌝q）。

⑹⌝（p↔q）⇔（p∨q）∧⌝（p∧q）

证明：

证明⌝（p↔q）和（p∨q）∧⌝（p∧q）的真值表如表所示。

表

p↔q

⌝（p↔q）

p∨q

p∧q

⌝（p∧q）

（p∨q）∧⌝（p∧q）

由上表可见：

⌝（p↔q）和（p∨q）∧⌝（p∧q）的真值表完全相同，所以⌝（p↔q）⇔（p∨q）∧⌝（p∧q）

⑺⌝（p↔q）⇔（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）

证明：

证明⌝（p↔q）和（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）的真值表如表所示。

表

p↔q

⌝（p↔q）

p∧⌝q

⌝p∧q

（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）

由上表可见：

⌝（p↔q）和（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）的真值表完全相同，所以⌝（p↔q）⇔（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）。

⑻p→（q∨r）⇔（p∧⌝q）→r

证明：

证明p→（q∨r）和（p∧⌝q）→r的真值表如表所示。

表

q∨r

p→（q∨r）

⌝q

p∧⌝q

（p∧⌝q）→r

由上表可见：

p→（q∨r）和（p∧⌝q）→r的真值表完全相同，所以p→（q∨r）⇔（p∧⌝q）→r。

5.用等价演算证明习题4中的等价式。

⑴⌝（p→q）

⇔⌝（⌝p∨q）（条件等价式）

⇔p∧⌝q（德·摩根律）

⑵⌝q→⌝p

⇔⌝⌝q∨⌝p（条件等价式）

⇔q∨⌝p（双重否定律）

⇔⌝p∨q（交换律）

⇔p→q（条件等价式）

⑶⌝（p↔q）

⇔⌝（（p→q）∧（q→p））（双条件等价式）

⇔⌝（（⌝p∨q）∧（⌝q∨p））（条件等价式）

⇔（p∧⌝q）∨（q∧⌝p）（德·摩根律）

⇔（（p∧⌝q）∨q）∧（（p∧⌝q）∨⌝p）（分配律）

⇔（p∨q）∧（⌝q∨⌝p）（分配律）

⇔（⌝p∨⌝q）∧（q∨p）（交换律）

⇔（p→⌝q）∧（⌝q→p）（条件等价式）

⇔p↔⌝q（双条件等价式）

⑷p→（q→r）

⇔⌝p∨（⌝q∨r）（条件等价式）

⇔（⌝p∨⌝q）∨r（结合律）

⇔⌝（p∧q）∨r（德·摩根律）

⇔（p∧q）→r（条件等价式）

⑸p→（q→p）

⇔⌝p∨（⌝q∨p）（条件等价式）

⇔T

⌝p→（p→⌝q）

⇔p∨（⌝p∨⌝q）（条件等价式）

⇔T

所以p→（q→p）⇔⌝p→（p→⌝q）

⑹⌝（p↔q）

⇔⌝（（p∧q）∨（⌝p∧⌝q））（例

⇔（p∨q）∧（⌝p∨⌝q）（德·摩根律）

⇔（p∨q）∧⌝（p∧q）（德·摩根律）

所以⌝（p↔q）⇔（p∨q）∧⌝（p∧q）

⑺⌝（p↔q）

⇔⌝（（p→q）∧（q→p））（双条件等价式）

⇔⌝（（⌝p∨q）∧（⌝q∨p））（条件等价式）

⇔（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）（德·摩根律）

⑻p→（q∨r）

⇔⌝p∨（q∨r）（条件等价式）

⇔（⌝p∨q）∨r（结合律）

⇔⌝（p∧⌝q）∨r（德·摩根律）

⇔（p∧⌝q）→r（条件等价式）

6.试用真值表证明下列命题定律。

⑴结合律：

（p∨q）∨r⇔p∨（q∨r），（p∧q）∧r⇔p∧（q∧r）

证明：

证明结合律的真值表如表和表所示。

表

p∨q

（p∨q）∨r

q∨r

p∨（q∨r）

表

p∧q

（p∧q）∧r

q∧r

p∧（q∧r）

由真值表可知结合律成立。

⑵分配律：

p∧（q∨r）⇔（p∧q）∨（p∧r），

p∨（q∧r）⇔（p∨q）∧（p∨r）

证明：

证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。

表

q∨r

p∧（q∨r）

p∧q

p∧r

（p∧q）∨（p∧r）

表

q∧r

p∨（q∧r）

p∨q

p∨r

（p∨q）∧（p∨r）

由真值表可知分配律成立。

⑶假言易位式：

p→q⇔⌝q→⌝p

证明：

证明假言易位式的真值表如表所示。

表

p→q

⌝q

⌝p

⌝q→⌝p

由真值表可知假言易位律成立。

⑷双条件否定等价式：

p↔q⇔⌝p↔⌝q

证明：

证明双条件否定的真值表如表所示。

表

p↔q

⌝p

⌝q

⌝p↔⌝q

由真值表可知双条件否定等价式成立。

习题

1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。

⑴（p∨⌝q）→q

⇔⌝（p∨⌝q）∨q（条件等价式）

⇔（⌝p∧q）∨q（德·摩根律）

⇔q（可满足式）（吸收律）

⑵⌝（p→q）∧q

⇔⌝（⌝p∨q）∧q（条件等价式）

⇔（p∧⌝q）∧q（德·摩根律）

⇔F（永假式）（结合律、矛盾律）

⑶（p→q）∧p→q

⇔（⌝p∨q）∧p→q（条件等价式）

⇔（⌝p∧p）∨（q∧p）→q（分配律）

⇔（q∧p）→q（同一律、矛盾律）

⇔⌝（q∧p）∨q（条件等价式）

⇔（⌝q∨⌝p）∨q（德·摩根律）

⇔T（永真式）（零律、排中律）

⑷（p→q）∧q

⇔（⌝p∨q）∧q（条件等价式）

⇔q（可满足式）（吸收律）

⑸（p→q）→（⌝q→⌝p）

⇔（p→q）→（p→q）（假言易位式）

⇔T（永真式）

⑹（（p→q）∧（q→r））→（p→r）

⇔⌝（（⌝p∨q）∧（⌝q∨r））∨（⌝p∨r）（条件等价式）

⇔（p∧⌝q）∨（q∧⌝r）∨（⌝p∨r）（德·摩根律）

⇔（p∧⌝q）∨（（⌝p∨q∨r）∧（⌝p∨⌝r∨r））（分配律）

⇔（p∧⌝q）∨（⌝p∨q∨r）（同一律、排中律、零律）

⇔（⌝p∨q∨r∨p）∧（⌝p∨q∨r∨⌝q）（分配律）

⇔T（永真式）

⑺⌝p→（p→q）

⇔p∨（⌝p∨q）（条件等价式）

⇔T（永真式）

⑻p→（p∨q∨r）

⇔⌝p∨（p∨q∨r）（条件等价式）

⇔T（永真式）

2.用真值表证明下列命题公式是重言式。

⑴（p∧（p→q））→q

（p∧（p→q））→q的真值表如表所示。

由表可以看出（p∧（p→q））→q是重言式。

表

p→q

p∧（p→q）

（p∧（p→q））→q

⑵（⌝q∧（p→q））→⌝p

（⌝q∧（p→q））→⌝p的真值表如表所示。

由表可以看出（⌝q∧（p→q））→⌝p是重言式。

表

p→q

⌝q

⌝q∧（p→q）

⌝p

（⌝q∧（p→q））→⌝p

⑶（⌝p∧（p∨q））→q

（⌝p∧（p∨q））→q的真值表如表所示。

由表可以看出（⌝p∧（p∨q））→q是重言式。

表

p∨q

⌝p

⌝p∧（p∨q）

（⌝p∧（p∨q））→q

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