新人教A版高中数学必修1《第三章函数的应用》word学案.docx

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新人教A版高中数学必修1《第三章函数的应用》word学案

§3.1　函数与方程

1．函数零点的概念

对于函数y＝f（x）（x∈D），我们把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．注意以下两点：

（1）方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（2）函数零点的求法：

代数法：

求方程f（x）＝0的实数根；

几何法：

对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

2．函数零点的判断

一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是f（x）＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．

对函数零点存在性定理的理解

（1）并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.

（2）函数y＝f（x）如果满足：

①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点．

（3）对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．

（4）函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间（a，b）上单调，若f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．

但要注意：

如果函数y＝f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f（a）·f（b）<0.

3．二分法

所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．

用二分法求函数零点近似值的注意点

（1）在第一步中要使：

①区间[a，b]的长度尽量小；

②f（a）、f（b）的值比较容易计算，且f（a）·f（b）<0.

（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f（x）＝g（x），可以构造函数F（x）＝f（x）－g（x），函数F（x）的零点即为方程f（x）＝g（x）的根.

　　　　题型一　判断零点所在区间

根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________.

x

－1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.39

20.09

x＋2

1

2

3

4

5

解析　令f（x）＝ex－x－2，由图表知f（－1）＝0.37－1＝－0.63<0，f（0）＝1－2＝－1<0，f

（1）＝2.72－3＝－0.28<0，f

（2）＝7.39－4＝3.39>0，f（3）＝20.09－5＝15.09>0，由于f

（1）·f

（2）<0，所以根所在的区间为（1,2）．

答案　（1,2）

点评　解题的关键是ex与x＋2差的符号，构造函数f（x）＝ex－x－2，将求方程ex－x－2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解．

　　　　　题型二　判断零点个数

定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x>0时，f（x）＝2008x＋log2008x，则函数f（x）的零点的个数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．2006

解析　因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，

因为log2008＝－1,2008>1，

所以f＝2008＋log2008>0，

所以，当x>0时，f（x）＝2008x＋log2008x，

函数在区间内存在零点，

又根据单调函数的定义可证明f（x）在（0，＋∞）上为增函数，因此在（0，＋∞）内有且仅有一个零点．

根据对称性可知函数在（－∞，0）内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C.

答案　C

点评　认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点（除原点外）是成对出现的．注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f（0）＝0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分．

　　　题型三　用二分法求方程的近似解

求方程x2＝2x＋1的一个近似解（精确度0.1）．

解　设f（x）＝x2－2x－1.

∵f

（2）＝－1<0，f（3）＝2>0，

∴在区间（2,3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.

取2与3的平均数2.5，∵f（2.5）＝0.25>0，

∴2

再取2与2.5的平均数2.25，

∵f（2.25）＝－0.4375<0，∴2.25

再取2.25与2.5的平均数为2.375，

f（2.375）＝－0.1094<0，

∴2.375

f（2.4375）＝0.0664>0.

∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，

∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.

点评　对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．

函数f（x）＝x＋的零点个数为（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

错解　因为f（－1）＝－2，f

（1）＝2，且x<0时，f（x）<0，x>0时，f（x）>0，所以y＝f（x）有一个零点，故选B.

错因分析　函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域．通过作图可知函数f（x）＝x＋的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用．

正解　函数的定义域为x∈R，且x≠0，当x>0时，f（x）>0，当x<0时，f（x）<0，所以函数没有零点，故选A.

本节在高考中充分地体现了函数与方程的思想，即在研究函数的零点时，利用图象来研究函数的零点或方程的根．

1．（山东高考）设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）

解析　数形结合可知，交点横坐标在（1,2）内．

答案　B

2．（江苏高考）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如下表：

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

y

6

0

－4

－6

－6

－4

0

6

则使ax2＋bx＋c>0成立的自变量x的取值范围是______________．

解析　由表中数据可知f（－2）＝0，f（3）＝0，因此函数的零点有两个是－2和3.这两个零点将x轴分成三个区间（－∞，－2]，（－2,3]，（3，＋∞）．在区间（－∞，－2]中取特殊值－3，表中数据有f（－3）＝6>0，因此根据二次函数零点的性质得：

当x∈（－∞，－2）时，都有f（x）>0；同理可得：

当x∈（3，＋∞）时也有f（x）>0.故使f（x）>0的自变量x的取值范围是x∈（－∞，－2）∪（3，＋∞）．

答案　（－∞，－2）∪（3，＋∞）

1．下列函数中不能用二分法求零点的是（　　）

A．f（x）＝3x－1B．f（x）＝x3

C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx

答案　C

解析　对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，

即函数f（x）＝|x|存在零点；

当x>0时，f（x）>0，当x<0时，f（x）>0，

∴f（x）＝|x|的函数值非负，即函数f（x）＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．

2．若y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（　　）

A．若f（a）f（b）<0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0

B．若f（a）f（b）<0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）＝0

C．若f（a）f（b）>0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0

D．若f（a）f（b）>0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0

答案　D

解析　由零点存在性定理可知选项A不正确；

对于选项B可通过反例“f（x）＝x（x－1）（x＋1）在区间[－2，2]上满足f（－2）f

（2）<0，但其存在三个零点：

－1,0,1”推翻；

选项C可通过反例“f（x）＝（x－1）（x＋1）在区间[－2,2]上满足f（－2）f

（2）>0，但其存在两个零点：

－1,1”推翻．

3．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根（　　）

A．（－2，－1）B．（0,1）

C．（1,2）D．（－1,0）

答案　D

解析　设函数f（x）＝2x＋x，其对应的函数值如下表：

x

－2

－1

0

1

2

f（x）

－

－

1

3

6

由于f（－1）f（0）<0，所以方程2x＋x＝0在（－1,0）内有实数根．

4．函数f（x）＝的零点是__________．

答案　－2

解析　本题易认为零点有两个，即由x2－4＝0求出x＝±2，事实上x＝2不在函数的定义域内．

5．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈（k，k＋1），求正整数k.

解　设f（x）＝lnx＋x－4，则函数f（x）＝lnx＋x－4在正数范围内是单调递增的，故函数f（x）＝lnx＋x－4仅有一个零点，

∵f

（1）＝ln1＋1－4<0，f

（2）＝ln2＋2－4<0，

f（3）＝ln3＋3－4>0，

∴f

（2）·f（3）<0，即k＝2.

6．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解（精确度0.1）．

解　设f（x）＝2x3＋3x－3，经试算，f（0）＝－3<0，f

（1）＝2>0，所以函数在（0,1）内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在（0,1）内有实数解，

取（0,1）的中点0.5，经计算f（0.5）<0，又f

（1）>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5,1）内有解．

如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：

（a，b）

（a，b）的中点

f（a）

f（b）

f

（0,1）

0.5

f（0）<0

f

（1）>0

f（0.5）<0

（0.5,1）

0.75

f（0.5）<0

f

（1）>0

f（0.75）>0

（0.5，0.75）

0.625

f（0.5）<0

f（0.75）>0

f（0.625）<0

（0.625，0.75）

0.6875

f（0.625）<0

f（0.75）>0

f（0.6875）<0

因为|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，

所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.6875.

7．如果函数f（x）＝ax－x－a（a>0且a≠1）有两个不同的零点，求a的取值范围．

解　研究函数f（x）＝ax－x－a（a>0且a≠1）的零点，即相当于研究方程ax＝x＋a的根．

（1）当a>1时，分别画出y＝ax与y＝x＋a的图象，如图

（1）所示，

由于y＝ax恒过M（0,1）点，直线y＝x＋a过点N（0，a），而a>1，所以点N在点M的上方，此时两者有两个交点，

即方程ax＝x＋a有两个根，函数f（x）＝ax－x－a（a>0且a≠1）有两个不同的零点；

（