九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数1.docx

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九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数1

——教学资料参考参考范本——

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数1

______年______月______日

____________________部门

[第一章　1　第2课时　正弦和余弦]

一、选择题

1．20xx·××区一模在△ABC中，∠C＝90°，则下列等式成立的是（　　）

A．sinA＝B．sinA＝

C．sinA＝D．sinA＝

2．20xx·孝感如图K－2－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于（　　）

图K－2－1

A.B.C.D.

3．如图K－2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为（　　）

图K－2－2

A．4B．2C.D.

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值为（　　）

A.B.C.D.

5．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦值是（　　）

A.B.C.D.

6．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图K－2－3所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值为（　　）

图K－2－3

A.B.C.D.

二、填空题

7．如图K－2－4，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝________．

图K－2－4

8．如图K－2－5，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t的值为________．

图K－2－5

9．如图K－2－6所示，AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE∶CF＝3∶2，则sin∠BAC∶sin∠ACB＝________．

图K－2－6

10．20xx·哈尔滨七十二中月考在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD的长为________.

11．如图K－2－7，在▱ABCD中，BC＝10，sinB＝，AC＝BC，则▱ABCD的面积是________．

图K－2－7

三、解答题

12．如图K－2－8，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，求∠BAD的正弦值和余弦值及AC的长度.

图K－2－8

13．如图K－2－9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N的坐标为（20，0），点M在第一象限内，且OM＝10，sin∠MON＝.

求：

（1）点M的坐标；

（2）cos∠MNO的值．

图K－2－9

14．如图K－2－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为E.已知AC＝15，cosA＝.

（1）求线段CD的长；

（2）求sin∠DBE的值.

图K－2－10

15．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α为其最小的锐角，求角α的正弦值和余弦值．

探究题如图K－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.

（1）求sin2A＋cos2A的值；

（2）比较sinA和cosB的大小；

（3）想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相同的结果？

若有，请说明理由．

图K－2－11

详解详析

【课时作业】

[课堂达标]

1．[解析]B　如图所示，sinA＝.故选B.

2．[解析]A　在Rt△ABC中，

∵AB＝10，AC＝8，

∴BC＝＝＝6，

∴sinA＝＝＝.

故选A.

3．[解析]A　由余弦的定义可得cosB＝＝.又∵AB＝6，∴BC＝4.故选A.

4．[解析]B　在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴可设BC＝3k，AB＝5k（k>0），由勾股定理可求得AC＝4k，∴cosA＝＝.故选B.

5．[解析]A　等腰三角形的腰长为×（36－10）＝13（cm），所以易得底角的余弦值为.

6．[解析]C　设CE＝x，则AE＝8－x，根据折叠的性质可知BE＝AE＝8－x.

在Rt△BCE中，根据勾股定理，得

BE2＝BC2＋CE2，即（8－x）2＝62＋x2，

解得x＝，即BE＝，

所以cos∠CBE＝＝.

7．[答案]

[解析]如图，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝＝2，AD＝4，

∴cosA＝＝＝.

8．[答案]2

[解析]如图，过点A作AB⊥x轴于点B，

∴sinα＝.

∵sinα＝，∴＝.

∵A（t，4），∴AB＝4，∴OA＝6，∴t＝2.

9．[答案]2∶3

[解析]由锐角三角函数的定义可知，

sin∠BAC＝，sin∠ACB＝，

∴sin∠BAC∶sin∠ACB＝∶＝CF∶AE＝2∶3.

故答案为2∶3.

10．[答案]1或5

[解析]

（1）如图①，若△ABC为锐角三角形，

∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.

∵cos∠BAD＝＝，

∴设AD＝2x，则AB＝3x.

∵AB2＝AD2＋BD2，

∴9x2＝4x2＋（）2，

解得x＝1或x＝－1（舍去），

∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，

∴CD＝AC－AD＝1.

（2）如图②，若△ABC为钝角三角形，

由

（1）知，AD＝2，AB＝AC＝3，

∴CD＝AC＋AD＝5.

故答案为1或5.

11．[答案]18

[解析]如图，过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，sinB＝，

∴CE＝BC·sinB＝10×＝9，

∴BE＝＝＝.

∵AC＝BC，CE⊥AB，

∴AB＝2BE＝2.

则▱ABCD的面积是2×9＝18.

12．解：

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD.

∵cosB＝＝，∴sin∠BAD＝＝，

∴cos∠BAD＝＝，

∴tan∠BAD＝＝.

∵cos∠CAD＝＝cosB＝，AD＝4，

∴AC＝5.

13．解：

（1）如图，过点M作MP⊥ON，垂足为P.

在Rt△MOP中，由sin∠MON＝，OM＝10，得＝，即MP＝6，

由勾股定理，得OP＝＝8，

∴点M的坐标是（8，6）．

（2）由

（1）知MP＝6，PN＝20－8＝12，

∴MN＝＝6，

∴cos∠MNO＝＝＝.

14．解：

（1）因为AC＝15，cosA＝，∠ACB＝90°，所以＝，所以AB＝25.

又因为D为AB的中点，所以CD＝.

（2）由D是AB的中点，得DC＝DB，

从而sin∠ECB＝sin∠ABC＝，

又BC＝＝20，所以BE＝12.

由勾股定理得CE＝16，

所以DE＝16－＝，而DB＝，

所以sin∠DBE＝＝×＝.

15．[解析]要求最小锐角α的正弦值和余弦值，需先确定哪一个角是最小的锐角．因为在三角形中，最短的边所对的角最小，因此首先要求出哪条边最短．

解：

在直角三角形中，

∵斜边与一直角边的比为7∶5，

∴可设这一直角边的长为5k（k＞0），

则斜边的长为7k.

设第三边长为a，由勾股定理，

得a＝＝＝2k.

∵2k＜5k＜7k，

∴最短的边长为2k，

∴长为2k的边所对的角为最小的锐角α，

∴sinα＝＝，cosα＝＝，

∴角α的正弦值为，余弦值为.

[素养提升]

解：

∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，

∴AB＝＝＝13，

∴sinA＝＝，cosA＝＝，

cosB＝＝.

（1）∵sin2A＝＝，

cos2A＝＝，

∴sin2A＋cos2A＝＋＝1.

（2）sinA＝cosB.

（3）由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相同的结果，即：

对于任意直角三角形中的锐角A，都有sin2A＋cos2A＝1；在Rt△ABC中，若∠C为直角，则必有sinA＝cosB.

理由如下：

设在任意Rt△ABC中，∠C＝90°，

则sin2A＝，cos2A＝，

∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1.

∵sinA＝，cosB＝，

∴sinA＝cosB.