2．（2018·合肥一模）已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E（X）＝（ ）
A.
B.
C．4D.
解析：
选B 由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P（X＝3）＝
＝
，P（X＝4）＝
＝
，P（X＝5）＝
＝
，所以E（X）＝3×
＋4×
＋5×
＝
.
3．（2018·江西六校联考）若随机变量ξ的分布列如表所示，E（ξ）＝1.6，则a－b＝（ ）
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2B．－0.2
C．0.8D．－0.8
解析：
选B 易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E（ξ）＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
4.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B 由题意X可取0,1,2,3，
且P（X＝0）＝
＝
，
P（X＝1）＝
＝
，
P（X＝2）＝
＝
，
P（X＝3）＝
.
故E（X）＝
＋2×
＋3×
＝
.
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
，乙在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E（X）为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B 依题意，知X的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
2＋
2＝
.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P（X＝2）＝
，P（X＝4）＝
×
＝
，P（X＝6）＝
2＝
，故E（X）＝2×
＋4×
＋6×
＝
.
6．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据的个别数字丢失（以
代替），其表如下，
ξ
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.
5
0.10
0.1
0.20
则随机变量ξ的数学期望为________．
解析：
∵随机变量分布列中各概率之和恒为1.∴P（ξ＝5）＝0.15，进而P（ξ＝3）＝0.25.∴E（ξ）＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.
答案：
3.5
7．一位篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0,1）），已知他投篮一次得分的数学期望E（X）＝2，则
＋
的最小值为________．
解析：
由题意可得，3a＋2b＋0·c＝2，则3a＋2b＝2.
又a，b，c∈（0,1），
∴
＋
＝
（3a＋2b）
＝
≥
＝
，当且仅当a＝2b＝
时取等号，故
＋
的最小值为
.
答案：
8．（2017·北京高考）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
解：
（1）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝
＝0.3.
（2）由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：
A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P（ξ＝0）＝
＝
，P（ξ＝1）＝
＝
，
P（ξ＝2）＝
＝
.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故ξ的数学期望E（ξ）＝0×
＋1×
＋2×
＝1.
（3）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．
9．（2018·洛阳第一次统考）雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A，B，C三个城市进行治霾落实情况抽查．
（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
（2）每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为
，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和数学期望．
解：
（1）随机选取，共有34＝81种不同方法，
恰有一个城市没有专家组选取的有C
（C
A
＋C
）＝42种不同方法，
故恰有一个城市没有专家组选取的概率为
＝
.
（2）设事件A：
“一个城市需复检”，
则P（A）＝1－
4＝
，
X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B
，
P（X＝0）＝C
·
3＝
，
P（X＝1）＝C
·
2·
＝
，
P（X＝2）＝C
·
·
2＝
，
P（X＝3）＝C
·
3＝
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故数学期望E（X）＝3×
＝
.
10．（2018·长沙模拟）张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．
路线①：
沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
，
，若A处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟．
路线②：
沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
，
，若a处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟．
（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？
并说明理由．
解：
（1）走路线①，20分钟能到校意味着张老师在A，B两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为P，
则P＝
×
＝
.
（2）设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.
则P（ξ＝0）＝
×
＝
，P（ξ＝2）＝
×
＝
，
P（ξ＝3）＝
×
＝
，P（ξ＝5）＝
×
＝
.
故ξ的数学期望E（ξ）＝0×
＋2×
＋3×
＋5×
＝2.
设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的所有可能取值为0,5,8,13.
则P（η＝0）＝
×
＝
，P（η＝5）＝
×
＝
，
P（η＝8）＝
×
＝
，P（η＝13）＝
×
＝
.
故η的数学期望E（η）＝0×
＋5×
＋8×
＋13×
＝5.
因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟，
所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.
B级——拔高题目稳做准做
1．已知一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当成功次数的标准差的值最大时，p及标准差的最大值分别为（ ）
A.
，5 B.
，25
C.
，5D.
，25
解析：
选A 记ξ为成功次数，由独立重复试验的方差公式可以得到D（ξ）＝np（1－p）≤n
2＝
，当且仅当p＝1－p＝
时等号成立，所以D（ξ）max＝100×
×
＝25，
＝
＝5.
2．体育课的排球发球项目考试的规则是：
每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）＞1.75，则p的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选C 根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为P（X＝1）＝p，发球次数为2即两次发球成功的概率为P（X＝2）＝p（1－p），发球次数为3的概率为P（X＝3）＝（1－p）2，则期望E（X）＝p＋2p（1－p）＋3（1－p）2＝p2－3p＋3.依题意有E（X）＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，解得p＞
或p＜
，结合p的实际意义，可得0＜p＜
.
3．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着6个定义域为R的函数：
f1（x）＝x，f2（x）＝x2，f3（x）＝x3，f4（x）＝sinx，f5（x）＝cosx，f6（x）＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（ ）
A.
B.
C．2D.
解析：
选A ∵6个定义域为R的函数f1（x）＝x，f2（x）＝x2，f3（x）＝x3，f4（x）＝sinx，f5（x）＝cosx，f6（x）＝2中偶函数有f2（x）＝x2，f5（x）＝cosx，f6（x）＝2，共3个，∴ξ的可能取值为1,2,3,4，P（ξ＝1）＝
＝
，P（ξ＝2）＝
×
＝
，P（ξ＝3）＝
×
×
＝
，P（ξ＝4）＝
×
×
＝
，
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
数学期望E（ξ）＝1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝
.
4．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为
，乙、丙应聘成功的概率均为
（0＜t＜2），且三个人是否应聘成功是相互独立的．记应聘成功的人数为ξ，当且仅当ξ为2时概率最大，则E（ξ）的取值范围为________．
解析：
由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P（ξ＝0）＝
＝
；
P（ξ＝1）＝
×
＋2×
×
×
＝
；
P（ξ＝2）＝2×
×
×
＋
×
×
＝
；
P（ξ＝3）＝
×
×
＝
.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴E（ξ）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝t＋
，
由题意知P（ξ＝2）－P（ξ＝
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