版高中数学 第二章 数列 232 等比数列的通项公式学案 苏教版必修5.docx

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版高中数学第二章数列232等比数列的通项公式学案苏教版必修5

2．3.2　等比数列的通项公式

学习目标　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．

知识点一　等比数列通项公式的推广

思考1　已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，如何表示an?

思考2　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：

an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d.

等比数列也有类似变形吗？

思考3　我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？

梳理　公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn.{an}的单调性由a1，q共同确定如下：

当或时，{an}是递增数列；

当或时，{an}是递减数列；

当q＜0时，{an}是摆动数列，

当q＝1时，{an}是常数列．

知识点二　由等比数列衍生的等比数列

思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是

（1）{3an}是等比数列；

（2）{3＋an}是等比数列；

（3）{}是等比数列；

（4）{a2n}是等比数列．

梳理　

（1）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：

ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列．

（2）如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列．

知识点三　等比数列的性质

思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？

a＝a3a7是否成立？

a＝an－2an＋2（n>2，n∈N*）是否成立？

梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at（m，n，s，t∈N*）．

若m＋n＝2k，则am·an＝a（m，n，k∈N*）．

类型一　等比数列通项公式的应用

命题角度1　方程思想

例1　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．

反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．

跟踪训练1　在等比数列{an}中．

（1）已知a1＝3，q＝－2，求a6；

（2）已知a3＝20，a6＝160，求an.

命题角度2　等比数列的实际应用

例2　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？

（精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）

反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．

跟踪训练2　某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？

（结果保留到个位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079）

类型二　等比数列的性质

命题角度1　序号的数字特征

例3　已知{an}为等比数列．

（1）若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

（2）若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

反思与感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．

跟踪训练3　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.

命题角度2　未知量的设法技巧

例4　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

反思与感悟　合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

跟踪训练4　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．

1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为________．

2．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝________.

3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．

4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则an＝__________________________________.

1．借助通项公式或其推广形式列方程组是求等比数列基本量a1，q，n的常用方法．

2．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　an＝a1··…＝a1·q·q…＝a1qn－1.

思考2　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，

所以an＝amqn－m（n，m∈N*）．

思考3　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1），所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．

知识点二

思考　由定义可判断出

（1），（3），（4）正确．

知识点三

思考　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，

∴a1a9＝aq8＝（a1q4）2＝a，

∴a＝a1a9成立．

同理a＝a3a7成立，a＝an－2an＋2也成立．

题型探究

例1　解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么

②÷①，得q＝，将q＝代入①，得a1＝.

因此，a2＝a1q＝×＝8.

综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.

跟踪训练1　解　

（1）由等比数列的通项公式得，

a6＝3×（－2）6－1＝－96.

（2）设等比数列的公比为q，

那么解得

所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.

例2　解　设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，

由条件可得，数列{an}是一个等比数列．

其中a1＝0.84，q＝0.84，

设an＝0.5，则0.84n＝0.5.

两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，用计算器算得n≈4.

答　这种物质的半衰期大约为4年．

跟踪训练2　解　记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，＝1.2（n≥2且n∈N*），

从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，

故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85.

故n＝11.

答　从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．

例3　解　

（1）a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝（a3＋a5）2＝25，∵an>0，

∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.

（2）根据等比数列的性质，

得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴a1a2…a9a10＝（a5a6）5＝95，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

＝log3（a1a2…a9a10）＝log395＝10.

跟踪训练3　128

解析　∵a3a5＝a＝4，an>0，∴a4＝2.

∴a1a2a3a4a5a6a7＝（a1a7）·（a2a6）·（a3a5）·a4＝43×2＝128.

例4　解　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，

由条件得

解得或

所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

跟踪训练4　解　设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，

则由题意得

解得或

故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.

当堂训练

1．2　2.3　3.8　4.4·（－）n－1

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