小学数学基本知识和概念.docx
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小学数学基本知识和概念
什么叫等式?
等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
定义:
数学术语,含有等号的式子叫做等式。
形式:
把相等的两个数（或字母表示的数用等号连接起来
等式的性质
性质1:
等式两边同时加上（或减去同一个数（或式子,结果仍相等。
若a=b那么a+c=b+c
性质2:
等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
若a=b那么有a²c=b²c或a÷c=b÷c（c≠0
性质3:
等式两边同时乘方（或开方,两边依然相等若a=b那么有a^c=b^c或（c次根号a=（c次根号b
性质4:
等式具有传递性。
若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an
什么叫方程式?
答:
含有未知数的等式叫方程式。
方程（英文:
equation是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算之间相等关系的一种等式,通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考,可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程等。
广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
含有未知数的等式叫方程,这是中学中的逻辑定义,方程的定义还有函数定义法,关系定义,而含未知数的等式不一定是方程,如0x=0就不是方程,应该这样定义,如f（x1,x2,x3......xn=g（x1,x2,x3......xn的等式,其中f（x1,x2,x3......xn和g（x1,x2,x3......xn是在定义域的交集内研究的两个解析式,且至少有一的不是常数。
等式的基本性质
等式两边同时加（或减同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式。
用字母表示为:
若a=b,c为一个数或一个代数式。
则:
（1a+c=b+c（2a-c=b-c
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
（3若a=b,则b=a（等式的对称性。
（4若a=b,b=c则a=c（等式的传递性。
用字母表示为:
若a=b,c为一个数或一个代数式（不为0。
则:
a³c=b³ca÷c=b÷c一元一次方程
人教版5年级数学上册第四章会学到,冀教版5年级数学下册第三章会学到,北师大版7年级上册第五章
苏教版5年级下第一章
定义
只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程（linearequationwithoneunknown。
通常形式是kx+b=0（k,b为常数,且k≠0。
一般解法
⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号。
但顺序有时可依据情况而定使计算简便。
可根据乘法分配律。
⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
（一般都是这样:
（比方从5x=4x+8得到5x-4x=8;把未知数移到一起!
~
⒋合并同类项将原方程化为ax=b（a≠0的形式。
⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。
⒍得出方程的解。
什么叫分数?
把整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。
把1平均分成分母份,表示这样的分子份。
分子在上分母在下,也可以把它当做除法来看,用分子除以分母,相反乘法也可以改为用分数表示。
百分数与分数的区别
（1意义不同,百分数只表示两个数的倍比关系,不能带单位名称;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可带单位名称。
（2百分数的分子可以是整数,也可以是小数;而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数;百分数不可以约分,而分数一般通过约分化成最简分数。
（3任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。
（4应用范围的不同,百分数在生产和生活中,常用于调查、统计、分析和比较,而分数常常在计算、测量中的不到整数结果时使用。
性质
1→分子-→分数线2→分母读作:
二分之一写作:
1/2
分数中间的一条横线叫做分数线,分数线上面的数叫做分子,分数线下面的数叫做分母。
读作几分之几。
分数可以表述成一个除法算式:
如二分之一等于1除以2。
其中,1分子等于被除数,-分数线等于除号,2分母等于除数,而0.5分数值则等于商。
分数还可以表述为一个比,例如;二分之一等于1比2,其中1分子等于前项,一分数线等于比号,2分母等于后项,而0.5分数值则等于比值。
分数的基本性质:
分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数,所得到的分数与原分数的大小相等。
a/b=a³k/b³k=a÷n/b÷n（b、k、n不等于零
分数可以分成:
真分数,假分数,带分数,百分数
或分成正分数和负分数。
但在数学界中一般只认同真分数和假分数这两种说法。
什么叫真分数?
分子比分母小的分数叫做真分数。
正真分数的值小于1。
分子比分母小,例:
1/3
什么叫假分数?
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
假分数的值大于1,或者等于1。
分子比分母大或相等（假分数包括带分数例:
5/3、7/7、带分数的值大于1。
什么叫带分数?
带分数是假分数的另外一种形式。
整数与真分数相加所成的分数（或真分数与假分数相加化简后的分数。
带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。
带分数也是分数的一
种。
注意:
不能将带分数写作整数部分+一个假分数。
书写形式如附图,读如三又四分之三,3是这个带分数的整数部分,3/4是这个带分数的分数部分。
带分数可以化为假分数,将整数部分与真分数部分的分母相乘的积与真分数的分子相加的和作为假分数的分子,分母不变,即化为假分数。
在代数学中,不用带分数,只用假分数。
所以,带分数变得比较少见。
带分数与假分数的互换
带分数化假分数:
分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和
假分数化带分数:
分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数
带分数不能化成真分数,因为带分数本身就是假分数
带分数后面有的可以带单位,例如表示具体数量的;有的不能带单位,例如表示分率的什么叫百分数?
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数,也叫百分率或百分比。
百分数通常不写成分数的形式,而采用符号“%”（叫做百分号来表示。
百分数在工农业生产、科学技术、各种实验中有着十分广泛的应用,特别是在进行调查统计、分析比较时,经常要用到百分数。
百分数与分数的区别
1.意义不同。
百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。
”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。
如:
可以说1米是5米的20%,不可以说“一段绳子长为20%米。
”因此,百分数后面不能带单位名称。
分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。
分数还可以表示两数之间的倍数关系。
2.应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。
而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
3.书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。
如:
百分之四十五,写作:
45%;百分数的分母固定为100,因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:
真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。
任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.
4.百分数不能带单位名称;当分数表示具体数时可带单位名称。
百分数一般有三种情况:
①100%以上,如:
增长率、增产率等。
②100%以下,如:
发芽率、成长率等。
③刚好100%,如:
正确率,合格率等。
什么叫倒数?
倒数（multiplicativeinverse读（d´oshù,是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数,记为1/x或x,过程为“乘法逆”,除了0以外的复数都存在倒数,倒数图将其以1除,便可得到倒数。
两个数乘积是1的数互为倒数,0没有倒数。
分数的倒数
找一个分数的倒数,例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。
则是4/3。
3/4是4/3的倒数,也可以说4/3是3/4的倒数。
对
于-2/3这样的,可以把分子看做-2。
整数的倒数
找一个整数的倒数,例如12;把12化成分数,即12/1;再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。
则是1/12,12是1/12的倒数。
也可以说1/12是12的倒数。
还有一种说法,12和1\12互为倒数。
0没有倒数。
本身是倒数的数是1。
（0除外
乘积是1的两个数互为倒数。
什么叫比例?
比例,在数学中,比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
表示两个比相等的式子叫做比例,如3:
6=9:
18
①表示两个比相等的式子叫做比例,如3:
4=9:
12、7:
9=21:
27
在3:
4=9:
12中,其中3与12叫做比例的外项,4与9叫做比例的内项。
比例有四个项,分别是两个内项和两个外项;在7:
9=21:
27中,其中7与27叫做比例的外项,9与21叫做比例的内项。
比例有四个项,分别是两个内项和两个外项。
②比如:
教师和学生的~已经达到要求。
③比如:
在所销商品中,国货的~比较大。
④比例写成分数的形式后,那么,左边的分母和右边的分子是内项,左边的分子和右边的分母是外项。
⑤在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
⑥正比例与反比例的相同点与不同点
什么叫正比例?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。
如:
y/x=k（k一定或kx=y
什么叫反比例?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。
如:
x³y=k（k一定或k/x=y
什么叫公约数?
公约数,亦称“公因数”。
它是几个整数同时均能整除的整数。
如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;公约数中最大的称为最大公约数。
公约数与公倍数相反,就是既是A的约数同时也是B的约数的数,12和15的公约数有1,3,最大公约数就是3。
再举个例子,30和40,它们的公约数有1,2,5,10,最大公约数是10
什么叫公倍数?
公倍数（commonmultiple指在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,这些倍数就是它们的公倍数。
这些公倍数中最小的,称为这些整数的最小公倍数。
A和BA/B=C如果A能被B整除,则A为B和C的公倍数两个数A和B,它们的公倍数就是既是A的倍数又是B的倍数的数,即能同时被A、B整除的数比如说:
12和15,它们的公倍数是60,120,180,等等在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍数,就是60。
如何求最小公倍数
1.分解质因数法
首先把两个数的质因数写出来,最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同,则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多,乘较多的次数。
比如求45和30的最小公倍数。
45=3*3*5
30=2*3*5
不同的质因数是2,3,5。
3是他们两者都有的质因数,由于45有两个3,30只有一个3,所以计算最小公倍数的时候乘两个3.
最小公倍数等于2*3*3*5=90
又如计算36和270的最小公倍数
36=2*2*3*3
270=2*3*3*3*5
不同的质因数是5。
2这个质因数在36中比较多,为两个,所以乘两次;3这个质因数在270个比较多,为三个,所以乘三次。
最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540
2.倍数关系
如果较大数是较小数的倍数,较大数就是它们的最小公倍数。
什么叫互质数?
定义及定理:
【对于两个数来看】公因数只有1的两个数,叫做互质数。
【对于多个数来看（教材定义】若干个最大公因数只有1的正整数,叫做互质数。
表达及运用注意
（1这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。
（2“公因数只有1”,不能误说成“没有公因数。
”
（3三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:
一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。
如2、3、5。
另一种不是两两互质的。
如6、8、9。
两个正整数（N,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2
判定互质数的方法汇总
直接分辨
（1两个不相同质数一定是互质数。
例如,2与7、13与19。
（2相邻的两个自然数是互质数。
例如15与16。
（3相邻的两个奇数是互质数。
例如49与51。
（4大数是质数的两个数是互质数。
例如97与88。
（5小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
例如7和16。
（62和任何奇数是互质数。
例如2和87。
（71和任何自然数（0除外都是互质数。
计算判定法
（1两个数都是合数（两数相差较大,小数所有的质因数,都不是大数的约数,这两个数是互质数。
如357与715,357=3³7³17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。
（2两个数都是合数（两数相差较小,这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数,这两个数是互质数。
如85和78。
85-78=7,7不是78的约数,这两个数是互质数。
（3两个数都是合数,大数除以小数的余数（不为“0”且大于“1”的所有质因数,都不是小数的约数,这两个数是互质数。
如462与221
462÷221=2……20,
20=2³2³5。
2、5都不是221的约数,这两个数是互质数。
（4减除法。
如255与182。
255-182=73,观察知73<182。
182-（73³2=36,显然36<73。
73-（36³2=1,
（255,182=1。
所以这两个数是互质数。
什么叫通分?
基本定义一:
根据分数的基本性质,把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数,叫做通分。
基本定义二:
把甲数与乙数之比、乙数与丙数之比,这两个不同的比,化成甲与乙与丙之比,也叫做通分。
通分方法
1.求出原来几个分数的分母的最小公倍数
2.根据分数的基本性质,把原来分数化成以这个最小公倍数为分母的分数
通分举例
①通分1/3和1/4
解:
3和4的最小公倍数为12
1/3=4/12
1/4=3/12
则通分结果为4/12和3/12
②比较7/9和8/11的大小
解:
7/9=7³11/9³11=77/99
8/11=8³9/11³9=72/99
∵77/99>72/99
∴7/9>8/11
③甲:
乙=2:
5=8:
20
乙:
丙=4:
7=20:
35
甲:
乙:
丙=8:
20:
35
什么叫约分?
意义:
把一个分数化成和它相等,但分子、分母都比较小的分数,叫做约分（reductionofafraction。
（即把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫约分。
最简分数:
分子、分母是互质数（分母不是1的分数,叫做最简分数（又叫既约分数。
注意:
约分时尽量用口算,一般用分子和把一个分数化成同它相等,但分子、分母都比较小的分数,叫做约分.分母的公约数（1除外去除分数的分子和分母;通常要除到得出最简分数为止。
（除过的数均划掉,如本例中的6、12、30、15
约分是一定要注意要找它的公约数,也就是分子和分母的公约数,不能只把分母化简或者分子化简,双数的公约数肯定有2,所以你可以先除以2,在慢慢除,然后将你所有除的数加起来就是他们的最大公约数。
把分数化成最简分数的过程就叫约分。
什么叫偶数?
定义:
整数中,能够被2整除的数,叫做偶数。
特别提示:
偶数包括正偶数、负偶数和0.
偶数=2n,奇数=2n+1（或-1,这里n是整数。
所有整数不是奇数（又称单数,就是偶数（又称双数。
若某数是2的倍数,它就是偶数,可表示为2n（n为整数;若非,它就是奇数,可表示为2n+1（n为整数,即奇数除以二的余数是一。
在十进制里,可以用看个位数的方式判定该数是奇数还是偶数:
个位为1,3,5,7,9的数是奇数;个位为0,2,4,6,8的数是偶数。
0是一个特殊的偶数。
小学规定0为最小的偶数,但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0就不是最小的偶数了.
50以内且大于等于0的偶数
0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50总共26个。
奇数偶数的性质
（1奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;
（2奇数跟奇数和是偶数;偶数跟奇数的和是奇数;任意多个偶数的和都是偶数;
（3两个奇（偶数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;
（4除2外所有的正偶数均为合数;
（5相邻偶数最大公约数为2,最小公倍数为它们乘积的一半。
（6奇数的积是奇数;偶数的积是偶数;奇数与偶数的积是偶数;
（7偶数的个位上一定是0、2、4、6、8;奇数的个位上是1、3、5、7、9。
偶数也叫双数,用2n表示,n为整数。
如2、4、6、8、10、12、14、16、18、20......
偶数其实就是2的倍数,及2乘几的倍数。
另外,0也是偶数（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。
-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20......为负偶数
两个偶数的和或差仍是偶数
两个奇数的和或差也是偶数
奇数和偶数的和或差是奇数
单数个奇数的和是奇数
双数个奇数的和是偶数
几个偶数的和仍是偶数
奇数与奇数的积是奇数
偶数与整数的积是偶数
任何一个奇数都不等于任何一个偶数
若干个奇数的连乘积永远是奇数
若干个整数的连乘积,如果其中有一个偶数,乘积必然是偶数
偶数的平方被4整除,奇数的平方被8除余1
即:
奇数和偶数加、减或乘时的规律:
偶±奇=奇奇±奇=偶偶±偶=偶奇³奇=奇偶³奇=偶偶³偶=偶
上述性质可通过对奇数和偶数的代数式进行相应运算得出
如证明;两个奇数的和或差为偶数
可令两奇数k1k2
则k1=2n1-1k2=2n2-1
k1+k2=（2n1-1+（2n2-1=2（n1+n2-1将括号内多项式整体看做一个式子则原命题可得证
什么叫奇数?
奇数（英文:
odd数学术语,整数中,能被2整除的数是偶数,不能被2整除的数是奇数,偶数可用2k表示,奇数可用2k+1表示,这里k是整数。
奇数包括正奇数、负奇数。
奇数和偶数的性质
（1两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数。
（2奇数跟奇数的和是偶数;偶数跟奇数的和是奇数;任意多个偶数的和是偶数。
补:
奇偶性相同的两数之和为偶数;奇偶性不同的两数之和为奇数。
（3两个奇（偶数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数。
（4若a、b为整数,则a+b与a-b有相同的奇偶性,即a+b与a-b同为奇数或同为偶数。
（5n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是偶数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数,即:
A*B*C*…*偶数*X*Y=偶数,式中A、B、C、…X、Y皆为整数,公式可简化为:
奇数*偶数=偶数。
（6奇数的个位是1、3、5、7、9;偶数的个位是0、2、4、6、8.（0是个特殊的偶数。
2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。
小学规定0为最小的偶数,但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0就不是最小的偶数了.
（7奇数的平方除以8余1
奇数就是单数,人们在日常生活中把单数叫做奇数。
如:
正奇数:
1、3、5、7、9.........
奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数
负奇数:
-1、-3、-5、-7、-9.........
什么叫质数?
质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数。
换句话说,只有两个正因数（1和自己的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
合数是由若干个质数相乘而得到的。
所以,质数是合数的基础,没有质数就没有合数。
这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。
历史上曾将1也包含在质数之内,但后来为了算术基本定理,最终1被数学家排除在质数之外,而从高等代数的角度来看,1是乘法单位元,也不能算在质数之内,并且,所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。
质数的分布
质数的分布是没有规律的,往往让人莫名其妙。
例如2、3、5、7、17、101、401、601、701都是质数,但与这些数类似的301（=7³43和901（=17³53却是合数。
如何简单的找出一些质数
例如,我想要找出100以内的质数,不借助他人,我怎么办呢?
利用筛法,我可以将100以内的整数写在纸上,划掉0,1留下2,划掉所有2的倍数,再划掉3的倍数,留下3,一直往后,到7（11*11>100,就可以找出来了。
当然,要的数越多,需要划掉x的倍数就越多。
质数的判断:
1:
只能被1和本身整除。
2:
不能被小于它的平方根的所有素数整除就是素数。
什么叫合数?
①两个数之间的最大公因数只是1的那两个数的乘积;
②两个数之间的公约数不只是1,用其中一个约数乘以最小的数,能整除,乘出来的那个数就是合数
合数又名合成数,是满足以下任一（等价条件的正整数:
1.是两个大于1的整数之乘积;
2.拥有某大于1而小于自身的因数（因子;
3.拥有至少三个因数（因子;
4.不是1也不是素数（质数;
5.有至少一个素因子的非合数。
6、两个或两个以上素数的乘积,可以组成一个合数,并且只可以组成一个合数。
反之,一个合数可以拆分为一组素数的乘积,并且只可以拆分为一组素数的乘积。
也就是说:
由三个以上素数的乘积组成的合数,不可以视为两个素数的乘积!
（也可以说除了1和它本身以外还有别的因数合数
7、合数指的是:
一个数除了1和它本身以外还有别的因数（第三个因数,这个数叫做合数。
8、"0"“1”既不是质数也不是合数
9、一个整数,其约数除了1和它本身外还能被其它的因数整除,这样的数叫做合数。
100以内的合数（包括1004.6.8.9.10.12.14.15.16.18.20.21.22.24.25.26.27.28.30.32.33.34.35.36.38.39.40.42.44.45.46.48.49.50.51.52.54.55.56.57.58.60.62.63.64.65.66.68.69.70.72.74.75.76.77.78.
80.81.82.84.85.86.87.88.90.91.92.93.94.95.96.98.99.100。
共74个。
什么叫利率?
利率又称利息率,表示一定时期内利息量与本金的比率,通常用百分比表示,按年计算则称为年利率。
其计算公式是:
利息率=利息量÷本金÷时间³100%
什么叫自然数?
用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数。
表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始（包括0,一个接一个,组成一个无穷的集体。
分类
①按能否被2整除分
可分为奇数和偶数。
1、奇数:
不能被2整除的数叫奇数。
2、偶数:
能被2整除的数叫偶数。
3、特别注意:
0是偶数。
（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国20
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