高考数学第三次模拟考试1.docx
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高考数学第三次模拟考试1
09届高考数学第三次模拟考试（数学）2009.5
注意事项：
1．本试卷共160分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
一组数据的方差
，其中
为这组数据的平均数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y2≤2，y∈Z}，则M∩N＝▲．
2．在复平面内，复数
对应的点与原点之间的距离是▲．
3．已知命题p：
函数y＝lgx2的定义域是R，命题q：
函数y＝
的值域是正实数集，给出命题：
①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命题有▲个．
4．已知数列{an}是等差数列，a4＝7，S9＝45，则过点P（2，a3），Q（4，a6）的直线的斜率
等于▲．
5．右边的流程图最后输出的n的值是▲．
6．若x，y满足约束条件
N
则z＝2x－y＋4的取值范围是▲．
7．已知正四棱锥的体积是48cm3，高为4cm，
则该四棱锥的侧面积是▲cm2．
8．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，
七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个
最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为▲．
9．当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax－By＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是▲．
10．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，且f（
）＝0，则不等式f（log2x）＜0的解集为▲．
11．椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）的焦点F1，F2分别在双曲线
－
＝1的左、右准线上，
则椭圆的离心率e＝▲．
12．函数y＝tan（
x－
）的部分图像如图所示,则（
－
）⋅
＝▲．
13．在△ABC中，D为BC中点，∠BAD＝45︒，∠CAD＝30︒，AB＝
，则AD＝▲．
14．已知x，y都在区间（0，1]内，且xy＝
，若关于x，y的方程
＋
－t＝0有两组不同的解（x，y），则实数t的取值范围是▲．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
已知0＜α＜
＜β＜π，tan
＝
，cos（β－α）＝
．
（1）求sinα的值；
（2）求β的值．
16．（本题满分14分）
在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C为矩形，四边形BB1C1C为菱形．
AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，D，E分别为A1B1，CC1中点．
求证：
（1）DE∥平面AB1C；
（2）BC1⊥平面AB1C．
17．（本题满分14分）
A地产汽油，B地需要汽油．运输工具沿直线AB从A地到B地运油，往返A，B一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的
．如果在线段AB之间的某地C（不与A，B重合）建一油库，则可选择C作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A地运到C地，然后再由同样的运输工具将油从C地运到B地．设
＝x，往返A，C一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的
．往返C，B一趟所需的油耗等于从C地运出总油量的
．不计装卸中的损耗，定义：
运油率P＝
，设从A地直接运油到B地的运油率为P1，从A地经过C中转再运油到B地的运油率为P2．
（1）比较P1，P2的大小；
（2）当C地选在何处时，运油率P2最大？
18．（本题满分16分）
已知抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1．点P在抛物线上，以P圆心，P到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆P存在内接矩形ABCD，满足AB＝2CD，直线AB的斜率为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线AB在y轴上截距的最大值，并求此时圆P的方程．
1.
19．（本题满分16分）
已知函数f（x）＝lnx＋
，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，＋∞）内不是单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝
an＋1－
an，其中n∈N*．设数列{bn}满足bn＝an＋1－
an，n∈N*．
（1）证明：
数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令cn＝
，n∈N*，求证：
c1＋c2＋…＋cn＜2．
南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试
数学附加卷2009.5
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：
PF＝PQ．
B．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵M＝
，N＝
，求直线y＝2x＋1在矩阵MN的作用下变换所得到的直线方程．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
已知⊙C：
ρ＝cosθ＋sinθ，直线l：
ρ＝
．求⊙C上点到直线l距离的最小值．
D．选修4—5：
不等式选讲
已知关于x的不等式∣x＋1∣＋∣x－1∣≤
＋
＋
对任意正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。
现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只．
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设
表示所得的分数，求
的分布列和期望值．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（an＋2，Sn＋1）在直线y＝4x－5上，其中n∈N*，令bn＝an＋1－2an，且a1＝1．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）若f（x）＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f'
（1）的表达式，并比较f'
（1）与8n2－4n的大小．
南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试
数学试卷参考答案2009.5
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．{0，1}2．13．24．－35．56．[2，5]
7．608．49．
10．（
，
）11．
12．4
13．
14．（
，
]
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
解：
（1）tanα＝
＝
，…………………………………………3分
所以
＝
，又因为sin2α＋cos2α＝1，
解得sinα＝
．………………………………………………………7分
（2）因为0＜α＜
＜β＜π，所以0＜β－α＜π．
因为cos（β－α）＝
，所以sin（β－α）＝
．……………………9分
所以sinβ＝sin[（β－α）＋α]
＝sin（β－α）cosα＋cos（β－α）sinα＝
×
＋
×
＝
，……12分
因为β∈（
，π），
所以β＝
．………………………………………………………14分
16．（本题满分14分）
证明：
（1）取AB1中点F，连结DF，CF．因为D为A1B1中点，
所以DF
AA1．
因为E为CC1中点，AA1
CC1，
所以CE
DF．
所以四边形CFDE为平行四边形．
所以DE∥CF．…………………………………………………4分
因为CF⊂平面ABC，DE
平面ABC，
所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分
（2）因为AA1C1C为矩形，所以AC⊥CC1．
因为BB1C1C为菱形，所以CC1＝CB．B1C⊥BC1．…………8分
因为AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，
所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，
所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分
所以AC⊥BC．
所以AC⊥平面BB1C1C．…………………………………12分
所以AC⊥BC1．
所以BC1⊥平面AB1C．……………………………………14分
17．（本题满分14分）
解：
（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于
a，
所以B地收到的油量为（1－
）a．
所以运油率P1＝
＝
．……………………………………3分
而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为（1－
）a，
B地收到的油量（1－
）（1－
）a，
所以运油率P2＝
＝（1－
）（1－
）＝（
＋
）（1－
）．…………………………7分
所以P2－P1＝
x（1－x），因为0＜x＜1，
所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分
（2）因为P2＝（
＋
）（1－
）≤
＝
．
当且仅当
＋
＝1－
，即x＝
时，取“＝”．
所以当C地为AB中点时，运油率P2有最大值．……………………………………14分
18．（本题满分16分）
解：
（1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1，
所以抛物线开口向右，且－
＝－1，所以p＝2．
所以所求的抛物线方程为y2＝4x．…………………………………………4分
（2）设P（x0，y0），则y02＝4x0，半径r＝PF＝x0＋1，
圆P的方程为（x－x0）2＋（y－y0）2＝（x0＋1）2，……………………………6分
设AB的方程为y＝2x＋b，由AB＝2CD得，
圆心P到直线AB的距离2d＝
，……………………………6分
所以5d2＝r2，即
d＝r．
因为r＝|x0＋1|，d＝
，
代入得∣2x0－y0＋b∣＝∣x0＋1∣．…………………………………8分
即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1．
所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0．
因为y02＝4x0，所以x0＝
y02，
代入得
y02－y0＋（b－1）＝0或
y02－y0＋（b＋1）＝0．……………………10分
方程
y02－y0＋（b－1）＝0关于y0有解⇔1－（b－1）≥0，b≤2．
方程
y02－y0＋（b＋1）＝0．关于y0有解⇔1－3（
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