届河北省神州智达高考数学信息卷理科解析版.docx

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届河北省神州智达高考数学信息卷理科解析版

2016年神州智达高考数学信息卷（理科）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的横坐标为（　　）

A．2B．4C．6D．8

2．（5分）已知z1=1+i（其中i为虚数单位），设

为复数z1的共轭复数，

=

+

，则复数z2在复平面所对应点的坐标为（　　）

A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）

3．（5分）（2015秋•吉林校级期末）在等差数列{an}中，2a9=a12+6，则数列{an}的前11项和S11=（　　）

A．24B．48C．66D．132

4．（5分）（2016•邢台校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题为（　　）

A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面

B．若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直

C．若异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直

D．若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行

5．（5分）已知集合A={x|y=

}，B={x|3x=4}，则（　　）

A．A∪B=AB．（∁RA）∩B=∅

C．若α∈A，则f（x）=xα为增函数D．若α∈B，3α+3﹣α=1

6．（5分）某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：

2：

1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（5分）（2016•邢台校级模拟）若关于x，y的不等式组

（k≠0）表示的平面区域形状是直角三角形，则该区域的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）（2016•邢台校级模拟）运行如图所示的程序，如果输入的n是2016，那么输出的S是（　　）

A．2015•22016+2B．2016•22016+2C．2015•22017+2D．2017•22017+2

9．（5分）已知（1﹣2x）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=（　　）

A．1008B．2016C．4032D．0

10．（5分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，该三棱锥的外接球的表面积记为S1，俯视图绕底边AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积记为S2，则S1：

S2=（　　）

A．4

B．2

C．4D．2

11．（5分）已知命题p：

函数f（x）=

是奇函数的充分必要条件为k=1；命题q：

曲线x2+y2=1围成的面积大于π．下列是真命题的是（　　）

A．p∧qB．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q

12．（5分）设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f（x）=

，若f（x）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）

A．a＜0或a=

B．0≤a＜

C．a＞

D．不存在实数a

二.填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知角θ+

的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tanθ=______．

14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为线段CD（含端点）上一动点，则

•

的最大值为______．

15．（5分）已知F1（﹣c，0）为双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y=kx与双曲线交于A，B两点，若|

|=

|

|，则双曲线的离心率的取值范围是______．

16．（5分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=

+1（n∈N*），数列{bn}满足b1=a6400，bn=

（k∈N*），则数列{bn}的前n项和Sn的最大值为______．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知函数f（x）=2sin2（x﹣

）+

cos2x﹣3．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若在△ABC中，AB=2|f（

）|，AC=

BC，求△ABC面积的最大值．

18．（12分）一次研究性学习有“整理数据”、“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班研究性学习有甲、乙两个小组．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为

，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q．若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成任务数都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．

（Ⅰ）若q=

，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；

（Ⅱ）设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望Eξ≥1，求q的取值范围．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．

（Ⅰ）证明：

平面BAP⊥平面DAP；

（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．

20．（12分）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，线段AB是圆x2+y2﹣2x﹣y+m=0的一条直径也是椭圆C的一条弦，已知直线AB斜率为﹣1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设M，P是椭圆C上的两点，点M关于x轴的对称点为N，当直线MP，NP分别交x轴于点M1，N1，求证：

|OM1|•|ON1|为定值．

21．（12分）若函数f（x）的反函数记为f﹣1（x），已知函数f（x）=ex．

（Ⅰ）设函数F（x）=f﹣1（x）﹣f（x），试判断函数F（x）的极值点个数；

（Ⅱ）当x∈[0，

]时，f（x）•sinx≥kx，求实数k的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：

几何证明选讲]．

22．（10分）（2016•邢台校级模拟）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD．过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB=AD=3，BE=2，

（1）求证：

梯形ABCD为等腰梯形；

（2）求弦BD的长．

[选修4-4：

坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ=3，直线l与曲线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求线段AB的长．

[选修4-5：

不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|的最小值为m．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若正实数a，b，c满足a（2a+2c+b）=m﹣bc，求3a+b+c的最小值．

2016年神州智达高考数学信息卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的横坐标为（　　）

A．2B．4C．6D．8

【分析】由抛物线y2=8x可得2p=8，解得p．可得焦点，准线l的方程．设所求点P的坐标为（x0，y0），利用抛物线定义求解即可．

【解答】解：

由抛物线y2=8x可得2p=8，解得p=4．

∴焦点F（2，0），准线l的方程为x=﹣2．

设所求点P的坐标为（x0，y0），则|PF|=x0+

=x0+2．

∵|PF|=6，∴x0+2=6，解得x0=4．

故选：

B．

【点评】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．

2．（5分）已知z1=1+i（其中i为虚数单位），设

为复数z1的共轭复数，

=

+

，则复数z2在复平面所对应点的坐标为（　　）

A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）

【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的定义进行化简即可得到结论．

【解答】解：

∵z1=1+i，

∴

=1﹣i，

则由

=

+

得，

=

+

=

=

=

=1，

则z2=1，即复数z2在复平面所对应点的坐标为（1，0），

故选：

B

【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．

3．（5分）（2015秋•吉林校级期末）在等差数列{an}中，2a9=a12+6，则数列{an}的前11项和S11=（　　）

A．24B．48C．66D．132

【分析】由等差数列通项公式求出a1+5d=6，由此能求出数列{an}的前11项和．

【解答】解：

∵在等差数列{an}中，2a9=a12+6，

∴2（a1+8d）=a1+11d+6，

解得a1+5d=6，

∴数列{an}的前11项和：

S11=

=

=11（a1+5d）=11×6=66．

故选：

C．

【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

4．（5分）（2016•邢台校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题为（　　）

A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面

B．若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直

C．若异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直

D．若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行

【分析】A．根据直线共面的性质进行判断；

B．根据线面垂直的定义进行判断．；

C．根据异面直线的定义和性质进行判断；

D．根据线面平行的性质进行判断．

【解答】解：

A．直线a和b共面，直线b和c共面，a和c可能平行、相交也可能异面，故a和c不一定共面，故A错误，

B．若直线a与平面α不垂直，如果直线a也在平面α内，则a与平面α内的有无数条直线都垂直，故B错误；

C．假设过a的平面α与b垂直，由线面垂直的定义，则a⊥b，这与异面直线a、b不垂直相矛盾，故C正确，

D．若直线a与平面α不平行，则直线a也可能在平面α内，则此时a与平面α内的无数条直线平行，故D错误；

故选：

C

【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及空间直线和平面，直线和直线平行或垂直的判断，要证明一个结论是正确的，要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，只要举出反例即可．

5．（5分）已知集合A={x|y=

}，B={x|3x=4}，则（　　）

A．A∪B=AB．（∁RA）∩B=∅

C．若α∈A，则f（x）=xα为增函数D．若α∈B，3α+3﹣α=1

【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的并集，求出A补集与B的交集，将A与B中元素代入选项C与D中判断即可．

【解答】解：

由A中y=

，得到﹣x2+6x﹣9≥0，

整理得：

x2﹣6x+9≤0，即（x﹣3）2≤0，

解得：

x=3，即A={3}，

由B中3x=4，得到x=log34，即B={log34}，

∴A∪B={3，log34}；（∁RA）∩B={log34}；

若α=3∈A，则f（x）=x3为增函数；若α=log34∈B，3α+3﹣α=4﹣4=0，

故选C

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

6．（5分）某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：

2：

1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，