实验13向量行列式矩阵与线性方程组实验2.docx

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实验13向量行列式矩阵与线性方程组实验2

实验13向量行列式矩阵与线性方程组实验

[学习目标]

1．会用Mathematica进行向量的计算；

2．能用Mathematica进行行列式的计算；

3．会利用Mathematica进行矩阵的运算与初等变换；

4．能利用Mathematica解线性方程组。

线性代数的数值计算程序并不稀奇，早有大量的算法和软件。

然而这里是进行准确的符号运算，学习了本节以后，就可以摆脱繁琐的矩阵运算了。

本节介绍用Mathematica实现线性代数运算的各种专用函数，它们基本上满足了线性代数计算的需求。

读者将会看到，以下的一些计算功能是十分出色的。

但从我国的教材来看，还有个别计算功能没有涉及，留有继续开发的余地。

一、矩阵的输入与输出

在Mathematica中向量和矩阵就是一个表。

{a1，a2，…，an}表示一个向量。

{{a11，a12，…，a1n}，{a21，a22，…，a2n}，…，{am1，am2，…，amn}}表示一个m行n列的矩阵，其中每一个子表表示矩阵的一行。

1．直接输入矩阵

直接输入矩阵的方法有3种，如下所述。

（1）按表的形式输入矩阵

既然矩阵和向量都是表，表的一般操作对于矩阵和向量仍然适用。

但是，按表的格式键入矩阵和向量，会让人很不习惯。

因此，Mathematica也提供了矩阵和向量的常规形式的输入、输出方法。

（2）由模板输入矩阵

基本输入模板中有输入2阶方阵的模板，单击该模板输入一个空白的2阶方阵。

按“Ctrl+”使矩阵增加一列，按“Ctrl+Enter”使矩阵增加一行。

如果矩阵不大，此法较方便。

（3）由菜单输入矩阵

如果输入行、列数较多的矩阵，可以打开主菜单的Input项，其中CreateTable/Matrix/Palette可用于建立一个矩阵，单击该项出现一个的对话框。

选择Make：

Matrix，再输入行数和列数，单击OK按钮，于是一个空白矩阵被输入到工作区窗口。

空白矩阵的每个小方块代表一个元素的位置，光标所在的小方块与众不同，可以用Tab键将光标从一个方块跳到下一个方块，也可以用鼠标选中一个方块。

2．以矩阵形式输出矩阵

不管用何种方法输入矩阵，矩阵总是按表的形式输出。

这既违背常规，又难于阅读。

因此，Mathematica提供了以矩阵形式输出矩阵的函数：

MatrixForm[list]将表list按矩阵的形式输出。

例1观察下面矩阵的输出。

In[1]：

=a={{1，2，3}，{4，5，6}}

Out[1]={{1，2，3}，{4，5，6}}

In[2]：

=MatrixForm[a]

Out[2]//MatrixForm=

In[3]：

=a={{1，2，3}，{4，5，6}}//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=

Out[4]={{1，2}，{3，4}，{5，6}}

In[5]：

=%//MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

说明：

由上例可以看出，不管输入的形式是否为矩阵，必须使用MatrixForm才能使输出为矩阵形式。

这不合习惯且费事，解决的方法是自制一个模板：

//MatrixForm，以便快速输入。

使用函数MatrixForm又会出现另一个问题，可以通过以下例子来说明。

例2观察下面矩阵的输出。

In[1]：

=a=

Out[1]={{1，2}，{3，4}}

In[2]：

=b=

//MatrixForm

Out[2]//MatrixForm=

In[3]：

=Inverse[a]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=Inverse[b]//MatrixForm

Out[4]//MatrixForm=

Inverse

说明：

以上In[3]和In[4]是求逆矩阵，Mathematica求出a的逆矩阵，对b却失败！

变量a形式上是表，但能被Mathematica作为矩阵处理。

而变量b虽然表示常规形式的矩阵，但不能对b进行各种矩阵计算，务必注意。

技巧：

使用括号能够改变表达式的含义，解决上述问题。

例3观察下面矩阵的输出

In[1]：

=

//MatrixForm

Out[1]//MatrixForm=

In[2]：

=Inverse[b]//MatrixForm

Out[2]//MatrixForm=

应该特别注意Mathematica不区分行向量与列向量，在运算时会自动处理。

可以通过函数ColumnForm[list]将一个向量显示成列向量。

3．用函数建立矩阵

也可以通过函数建立一些有规律的矩阵，除了在讲表时已经介绍过的函数Table外，还有以下专用函数：

Array[a，{m，n}]创建一个m行、n列的矩阵，元素为a[i，j]。

IdentityMatrix[n]创建一个n阶单位矩阵。

DiagonalMatrix[list]创建一个对角线上为表list的元素的方阵。

例4观察下面矩阵的输出。

In[1]：

=Array[a，{2，3}]//MatrixForm

Out[1]//MatrixForm=

In[2]：

=Array[a，{2，3}，{0，0}]//MatrixForm

Out[2]//MatrixForm=

In[3]：

=IdentityMatrix[3]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=DiagonalMatrix[{1，2，3}]//MatrixForm

Out[4]//MatrixForm=

说明：

函数Array加上第三个参数用于规定起始下标，起始下标可以取任何整数。

此外Array可以类似创建有任意层数的表，其调用格式如下：

Array[a，n]创建一个元素为a[i]的有n个元素的表（向量）。

Array[a，{n1，n2，n3}]创建一个元素为a[i1，i2，i3]的有n1×n2×n3个元素的3层表。

例5观察下面矩阵的输出。

In[1]：

=Array[a，5]

Out[1]={a[1]，a[2]，a[3]，a[4]，a[5]}

In[2]：

=Array[a，{2，2，2}]

Out[2]={{{a[1，1，1]，a[1，1，2]}，{a[1，2，1]，a[1，2，2]}}，

{{a[2，1，1]，a[2，1，2]}，{a[2，2，1]，a[2，2，2]}}}

4．提取矩阵的元素

提取或引用矩阵的元素的方法与函数，都已经在表的操作中介绍过，只要注意矩阵是一个2层表而每行是一个子表。

还有三个矩阵专用的函数，如下所示：

M[[All，j]]提取矩阵M的第j列元素组成一个表。

Tr[M，List]提取矩阵M的主对角线元素组成一个表。

Dimensions[M]求矩阵M的行、列数。

例6观察下面矩阵运算。

In[1]：

=a=

；

b=

；

In[3]：

=b[[All，3]]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=Tr[a，List]

Out[4]={1，4}

In[5]：

=Dimensions[a]

Out[5]={2，2}

In[6]：

=Dimensions[b]

Out[6]={2，3}

二、矩阵、向量的运算

1．加法与数乘

除两个矩阵相加外，还有一个数与矩阵相加，都使用加号。

一个数与矩阵相加就是矩阵的每个元素都加上该数，一个数与矩阵相乘就是矩阵的每个元素都乘上该数。

例7已知A=

，B=

，求

（1）A+B，

（2）2+A，（3）2A。

解：

In[1]：

=a=

；

b=

；

a+b//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=2+a//MatrixForm

Out[4]//MatrixForm=

In[5]：

=2a//MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

2．乘法

句号作为两个矩阵相乘或两个向量内积的运算符。

例8已知A=

，B=

，C=（1，2，3），D=（1，-1，1），求

（1）AB，

（2）CD，（3）AD。

解：

In[1]：

=a=

；

b=

；

a.b//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=c={1，2，3}；

d={1，-1，1}；

c.d//MatrixForm

Out[6]//MatrixForm=

2

In[7]：

=a.d//MatrixForm

Out[7]//MatrixForm=

说明：

上例中求a.d时，Mathematica会自动将d理解为列向量。

下面是求两个向量的向量积的函数，其调用格式如下：

Cross[a，b]求a×b。

例9已知向量a={2，1，-1}，b={1，-1，2}，求a×b。

解：

In[1]：

=a={2，1，-1}；

b={1，-1，2}；

Cross[a，b]

Out[3]={1，-5，-3}

In[4]：

=a×b

Out[4]={1，-5，-3}

提示：

求向量积也可以使用基本输入模板上的小乘号。

模板上有两个乘号，容易搞错，大乘号是将对应的元素相乘。

3．矩阵的转置

矩阵的转置操作使用函数：

Transpose[M]将矩阵M转置。

提示：

可以将此函数自制成模板。

4．求行列式

求一个方阵的行列式使用函数：

Det[A]求方阵A的行列式。

例10计算行列式：

（1）

，

（2）

。

解：

In[1]：

=a=

；

Det[a]

Out[2]=-18

In[3]：

=b=

；

Det[b]

Out[3]=5+9λ+3λ2-λ3

5．求逆矩阵

求一个方阵的逆矩阵使用函数：

Inverse[A]求A的逆矩阵，自动判断是否可逆。

例11已知A=

，求A的逆矩阵。

解：

In[1]：

=a=

；

b=Inverse[a]

Out[2]=

In[3]：

=a.b//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=a-1

Out[4]=

注意：

a-1不表示逆矩阵。

还有函数：

MatrixPower[A，n]求An（其中n为整数），当n=-1时即求逆矩阵。

例12已知A=

，求

（1）A5，

（2）A-1，（3）A0。

解：

In[1]：

=a=

；

MatrixPower[a，5]//MatrixForm

Out[2]//MatrixForm=

In[3]：

=MatrixPower[a，-1]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=Inverse[a]//MatrixForm

Out[4]//MatrixForm=

In[5]：

=MatrixPower[a，0]//MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

注意：

在Mathematica中直接输入符号An是将矩阵A的每个元素求n次幂。

6．特征值与特征向量

求矩阵的特征值与对应的特征向量的函数是：

Eigenvalues[A]求方阵A的全部特征值。

Eigenvectors[A]求方阵A的一组线性无关的特征向量。

Eigensystem[A]求全部特征值和对应的线性无关的特征向量组。

例13求矩阵A=

的特征值和特征向量。

解：

In[1]：

=a=

；

Eigenvalues[a]

Out[2]={-1，-1，5}

In[3]：

=Eigenvectors[a]

Out[3]={{-1，0，1}，{-1，1，0}，{1，1，1}}

In[4]：

=Eigensystem[a]

Out[4]={{-1，-1，5}，{{-1，0，1}，{-1，1，0}，{1，1，1}}}

In[5]：

=Eigensystem[a]//MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

提示：

由上例可知，函数Eigensystem最好用，输出的结果含义十分清楚，通常使用这个函数就足够了。

如果输入A的元素时使用了小数点，或者参数改为N[A]，则求近似解。

例14求矩阵A=

和B=

的特征值和特征向量。

解：

In[1]：

=a=

；

Eigensystem[a]//MatrixForm

Out[2]//MatrixForm=

In[3]：

=Eigensystem[N[a]]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

In[4]：

=Eigensystem[

]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

还有以下特殊情况应当说明，示例如下：

In[1]：

=Eigensystem[

]//MatrixForm

Out[1]//MatrixForm=

注意：

这个例子中属于特征值1的线性无关的特征向量只有一个，这时不能找到n个线性无关的特征向量（不相似于对角矩阵）。

遇到这种情况，Mathematica总是补上零向量！

但零向量不是特征向量，与常规不一致，不要产生误解。

三、解线性方程组

专门用于解线性方程组的函数有3个：

RowReduce[M]消元得到矩阵M的行最简形矩阵。

NullSpace[M]求齐次线性方程组Mx=0的一个基础解系。

LinearSolve[M，b]求线性方程组Mx=b的一个特解。

例15求解线性方程组：

。

解：

In[1]：

=ab=

；

a=Take[ab，{1，3}，{1，4}]；

b=ab[[All，5]]；

RowReduce[ab]//MatrixForm

Out[4]//MatrixForm=

In[5]：

=NullSpace[a]

Out[5]={{1，0，2，1}，{1，1，0，0}}

In[6]：

=LinearSolve[a，b]

Out[6]=

说明：

在上例的In[1]中首先给出了一个线性方程组的增广矩阵ab，再提取前4列得到系数矩阵a，提取第5列得到常数项b。

然后利用这三个函数分别求出：

行最简形矩阵、导出组的基础解系、非齐次方程组的一个特解，于是给出了线性代数课中人工求解线性方程组的关键结果。

提示：

从线性代数的内容知道，最有用的是RowReduce，由它的计算结果就能得到所有答案，不必再使用后两个函数。

这个函数还能用于求矩阵的秩和一个极大线性无关部分组。

当然也可以用解一般方程组的函数Solve解线性方程组，当方程组有自由未知量时，输出答案时用自由未知量表示其余未知量，也很实用。

习题十三

1．已知a={4，-2，4}，b={6，-3，2}，试求：

（1）a•b；

（2）（3a-2b）•（a+2b）。

2．求下列行列式的值：

（1）

；

（2）

。

3．已知A=

，B=

，求AB和BA。

4．已知A=

，I=

，求2A2+3A+5I。

5．求下列矩阵的秩。

（1）

；

（2）

。

6．解下列方程组。

（1）

；

（2）

。

7．求下列矩阵的特征值和特征向量。

（1）

；

（2）

。