人教a版高中数学选修1132导数与函数的单调性极值最值教案.docx

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人教a版高中数学选修1132导数与函数的单调性极值最值教案

§3.2　导数与函数的单调性、极值、最值

1．函数的单调性

在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

（1）判断f（x0）是极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤

①求f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f（x）在（a，b）内的极值；

②将f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）f′（x）>0是f（x）为增函数的充要条件．（　×　）

（2）函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．（　×　）

（3）函数的极大值不一定比极小值大．（　√　）

（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件．（　×　）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（　√　）

（6）函数f（x）＝xsinx有无数个极值点．（　√　）

2．函数f（x）＝x2－2lnx的单调减区间是（　　）

A．（0,1）B．（1，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－1,1）

答案　A

解析　∵f′（x）＝2x－

＝

（x>0）．

∴当x∈（0,1）时，f′（x）<0，f（x）为减函数；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）为增函数．

3．（2013·浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（ex－1）（x－1）k（k＝1,2），则（　　）

A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极大值

答案　C

解析　当k＝1时，f′（x）＝ex·x－1，f′

（1）≠0.

∴x＝1不是f（x）的极值点．

当k＝2时，f′（x）＝（x－1）（xex＋ex－2）

显然f′

（1）＝0，且x在1的左边附近f′（x）<0，

x在1的右边附近f′（x）>0，

∴f（x）在x＝1处取到极小值．故选C.

4．函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为（　　）

A．（－1,1）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）

答案　B

解析　设m（x）＝f（x）－（2x＋4），

∵m′（x）＝f′（x）－2>0，

∴m（x）在R上是增函数．

∵m（－1）＝f（－1）－（－2＋4）＝0，

∴m（x）>0的解集为{x|x>－1}，

即f（x）>2x＋4的解集为（－1，＋∞）．

5．函数f（x）＝x3＋ax－2在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案　[－3，＋∞）

解析　f′（x）＝3x2＋a，f′（x）在区间（1，＋∞）上是增函数，

则f′（x）＝3x2＋a≥0在（1，＋∞）上恒成立，

即a≥－3x2在（1，＋∞）上恒成立．∴a≥－3.

题型一　利用导数研究函数的单调性

例1

　已知函数f（x）＝ex－ax－1.

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）是否存在a，使f（x）在（－2,3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

思维启迪　函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．

解　f′（x）＝ex－a，

（1）若a≤0，则f′（x）＝ex－a≥0，

即f（x）在R上单调递增，

若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.

因此当a≤0时，f（x）的单调增区间为R，

当a>0时，f（x）的单调增区间是[lna，＋∞）．

（2）∵f′（x）＝ex－a≤0在（－2,3）上恒成立．

∴a≥ex在x∈（－2,3）上恒成立．

又∵－2

当a＝e3时，f′（x）＝ex－e3在x∈（－2,3）上，

f′（x）<0，即f（x）在（－2,3）上为减函数，∴a≥e3.

故存在实数a≥e3，使f（x）在（－2,3）上为减函数．

思维升华　

（1）利用导数的符号来判断函数的单调性；

（2）已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；

（3）f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

（1）设函数f（x）＝

x3－（1＋a）x2＋4ax＋24a，其中常数a>1，则f（x）的单调减区间为________．

答案　（2,2a）

解析　f′（x）＝x2－2（1＋a）x＋4a＝（x－2）（x－2a），

由a>1知，当x<2时，f′（x）>0，

故f（x）在区间（－∞，2）上是增函数；

当2

故f（x）在区间（2,2a）上是减函数；

当x>2a时，f′（x）>0，

故f（x）在区间（2a，＋∞）上是增函数．

综上，当a>1时，

f（x）在区间（－∞，2）和（2a，＋∞）上是增函数，

在区间（2,2a）上是减函数．

（2）已知a>0，函数f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是________．

答案　（0,3]

解析　∵f′（x）＝3x2－a，f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，

∴f′（x）≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.

又a>0，可知0

题型二　利用导数求函数的极值

例2

　设a>0，函数f（x）＝

x2－（a＋1）x＋a（1＋lnx）．

（1）求曲线y＝f（x）在（2，f

（2））处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

思维启迪　

（1）通过f′

（2）的值确定a；

（2）解f′（x）＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．

解　

（1）由已知，得x>0，f′（x）＝x－（a＋1）＋

，

y＝f（x）在（2，f

（2））处切线的斜率为1，

所以f′

（2）＝1，即2－（a＋1）＋

＝1，

所以a＝0，此时f

（2）＝2－2＝0，

故所求的切线方程为y＝x－2.

（2）f′（x）＝x－（a＋1）＋

＝

＝

.

①当00，

函数f（x）单调递增；

若x∈（a,1），f′（x）<0，函数f（x）单调递减；

若x∈（1，＋∞），f′（x）>0，函数f（x）单调递增．

此时x＝a是f（x）的极大值点，x＝1是f（x）的极小值点，

函数f（x）的极大值是f（a）＝－

a2＋alna，

极小值是f

（1）＝－

.

②当a＝1时，f′（x）＝

>0，

所以函数f（x）在定义域（0，＋∞）内单调递增，

此时f（x）没有极值点，故无极值．

③当a>1时，若x∈（0,1），f′（x）>0，函数f（x）单调递增；

若x∈（1，a），f′（x）<0，函数f（x）单调递减；

若x∈（a，＋∞），f′（x）>0，函数f（x）单调递增．

此时x＝1是f（x）的极大值点，x＝a是f（x）的极小值点，

函数f（x）的极大值是f

（1）＝－

，

极小值是f（a）＝－

a2＋alna.

综上，当0

a2＋alna，

极小值是－

；

当a＝1时，f（x）没有极值；

当a>1时，f（x）的极大值是－

，极小值是－

a2＋alna.

思维升华　

（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．

（2）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

　设f（x）＝

，其中a为正实数．

（1）当a＝

时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

解　对f（x）求导得f′（x）＝ex·

.①

（1）当a＝

时，若f′（x）＝0，则4x2－8x＋3＝0，

解得x1＝

，x2＝

.结合①，可知

x

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以x1＝

是极小值点，x2＝

是极大值点．

（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a（a－1）≤0，由此并结合a>0，知0

所以a的取值范围为{a|0

题型三　利用导数求函数的最值

例3

　已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a＝3，b＝－9时，若函数f（x）＋g（x）在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．

思维启迪　

（1）题目条件的转化：

f

（1）＝g

（1）且f′

（1）＝g′

（1）；

（2）可以列表观察h（x）在（－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b.

因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，

所以f

（1）＝g

（1）且f′

（1）＝g′

（1），即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，

解得a＝3，b＝3.

（2）记h（x）＝f（x）＋g（x），当a＝3，b＝－9时，

h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′（x）＝3x2＋6x－9.

令h′（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1.

h′（x），h（x）在（－∞，2]上的变化情况如下表所示：

x

（－∞，－3）

－3

（－3,1）

1

（1,2）

2

h′（x）

＋

0

－

0

＋

＋

h（x）

↗

28

↘

－4

↗

3

由表可知当k≤－3时，函数h（x）在区间[k,2]上的最大值为28；

当－3

因此k的取值范围是（－∞，－3]．

思维升华　

（1）求解函数的最值时，要先求函数y＝f（x）在[a，b]内所有使f′（x）＝0的点，再计算函数y＝f（x）在区间内所有使f′（x）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

（2）可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．

　已知函数f（x）＝xlnx.

（1）求函数f（x）的极值点；

（2）设函数g（x）＝f（x）－a（x－1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）．

解　

（1）f′（x）＝lnx＋1，x>0，

由f′（x）＝0得x＝

，

所以f（x）在区间（0，

）上单调递减，在区间（

，＋∞）上单调递增．

所以，x＝

是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．

（2）g（x）＝xlnx－a（x－1），

则g′（x）＝lnx＋1－a，

由g′（x）＝0，得x＝ea－1，

所以，在区间（0，ea－1）上，g（x）为递减函数，

在区间（ea－1，＋∞）上，g（x）为递增函数．

当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，

所以g（x）的最小值为g

（1）＝0.

当1

当ea－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，

所以g（x）的最小值为g（e）＝a＋e－ae.

综上，当a≤1时，g（x）的最小值为0；

当1

当a≥2时，g（x）的最小值为a＋e－ae.

利用导数求函数的最值问题

典例：

（12分）已知函数f（x）＝（x－k）ex.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间[0,1]上的最小值．

思维启迪　

（1）解方程f′（x）＝0列表求单调区间；

（2）根据

（1）中表格，讨论k－1和区间[0,1]的关系求最值．

规范解答

解　

（1）由题意知f′（x）＝（x－k＋1）ex.

令f′（x）＝0，得x＝k－1.[2分]

f（x）与f′（x）的情况如下：

x

（－∞，k－1）

k－1

（k－1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）

↘

－ek－1

↗

所以，f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1）；单调递增区间是（k－1，＋∞）．[6分]

（2）当k－1≤0，即k≤1时，f（x）在[0,1]上单调递增，

所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f（0）＝－k；[8分]

当0

f（x）在[0，k－1）上单调递减，在（k－1,1]上单调递增，

所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1；

当k－1≥1，即k≥2时，f（x）在[0,1]上单调递减，

所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f

（1）＝（1－k）e.[10分]

综上，当k≤1时，f（x）在[0,1]上的最小值为f（0）＝－k；

当1

当k≥2时，f（x）在[0,1]上的最小值为f

（1）＝（1－k）e.[12分]

答题模板

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以

下几步答题：

第一步：

求函数f（x）的导数f′（x）；

第二步：

求f（x）在给定区间上的单调性和极值；

第三步：

求f（x）在给定区间上的端点值；

第四步：

将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，

确定f（x）的最大值与最小值；

第五步：

反思回顾：

查看关键点，易错点和解题规范．

温馨提醒　

（1）本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[0,1]上的最值，属常规题型．

（2）本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．

（3）思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.

方法与技巧

1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．

2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．

3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

失误与防范

1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．

2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．

3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′（x）＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题

1．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能

为（　　）

答案　C

解析　根据f′（x）的符号，f（x）图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′（x）＝0的点可以排除B.

2．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是（　　）

A．（

，

）B．（π，2π）

C．（

，

）D．（2π，3π）

答案　C

解析　y′＝（xsinx＋cosx）′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，

当x∈（

，

）时，恒有xcosx>0.故选C.

3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（　　）

A．a<－1B．a>－1

C．a>－

D．a<－

答案　A

解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.

4．设函数f（x）＝

x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

A．1

C．a≤2D．0

答案　A

解析　∵f（x）＝

x2－9lnx，∴f′（x）＝x－

（x>0），

当x－

≤0时，有0

∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

5．函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是（　　）

A．－2B．0C．2D．4

答案　C

解析　∵f′（x）＝3x2－6x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.

∴f（x）在[－1,0）上是增函数，f（x）在（0,1]上是减函数．

∴f（x）max＝f（x）极大值＝f（0）＝2.

二、填空题

6．函数f（x）＝x＋

的单调减区间为________．

答案　（－3,0），（0,3）

解析　f′（x）＝1－

＝

，

令f′（x）<0，解得－3

故单调减区间为（－3,0）和（0,3）．

7．函数f（x）＝x3＋3ax2＋3[（a＋2）x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．

答案　a>2或a<－1

解析　∵f（x）＝x3＋3ax2＋3[（a＋2）x＋1]，

∴f′（x）＝3x2＋6ax＋3（a＋2）．

令3x2＋6ax＋3（a＋2）＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.

∵函数f（x）有极大值和极小值，

∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．

即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1.

8．设函数f（x）＝x3－

－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f（x）>a，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，

）

解析　f′（x）＝3x2－x－2，令f′（x）＝0，得3x2－x－2＝0，

解得x＝1或x＝－

，

又f

（1）＝

，f（－

）＝

，f（－1）＝

，f

（2）＝7，

故f（x）min＝

，∴a<

.

三、解答题

9．已知函数f（x）＝

＋lnx．求函数f（x）的极值和单调区间．

解　因为f′（x）＝－

＋

＝

，

令f′（x）＝0，得x＝1，又f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x

（0,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）

↘

极小值

↗

所以x＝1时，f（x）的极小值为1.

f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）．

10．已知函数f（x）＝x2＋bsinx－2（b∈R），F（x）＝f（x）＋2，且对于任意实数x，恒有F（x）－F（－x）＝0.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）已知函数g（x）＝f（x）＋2（x＋1）＋alnx在区间（0,1）上单调递减，求实数a的取值范围．

解　

（1）F（x）＝f（x）＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，

依题意，对任意实数x，恒有F（x）－F（－x）＝0.

即x2＋bsinx－（－x）2－bsin（－x）＝0，

即2bsinx＝0，所以b＝0，所以f（x）＝x2－2.

（2）∵g（x）＝x2－2＋2（x＋1）＋alnx，

∴g（x）＝x2＋2x＋alnx，

g′（x）＝2x＋2＋

.

∵函数g（x）在（0,1）上单调递减，∴在区间（0,1）内，

g′（x）＝2x＋2＋

＝

≤0恒成立，

∴a≤－（2x2＋2x）在（0,1）上恒成立．

∵－（2x2＋2x）在（0,1）上单调递减，∴a≤－4为所求．

B组　专项能力提升

（时间：

25分钟，满分：

43分）

1．已知f（x）是可导的函数，且f′（x）

A．f

（1）e2014f（0）

B．f

（1）>ef（0），f（2014）>e2014f（0）

C．f

（1）>ef（0），f（2014）

D．f

（1）

答案　D

解析　令g（x）＝

，

则g′（x）＝（

）′＝

＝

<0，

所以函数g（x）＝

是单调减函数，

所以g

（1）

即

<

，

<

，

故f

（1）

2．如图是函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x

＋x

等于（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　由图象可得f（x）＝x（x＋1）（x－2）＝x3－x2－2x，

又∵x1、x2是f′（x）＝3x2－2x－2＝0的两根，

∴x1＋x2＝

，x1x2＝－

，

故x

＋x

＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（

）2＋2×

＝

.

3．已知函数f（x）＝－

x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

答案　（0,1）∪（2,3）

解析　由题意知f′（x）＝－x＋4－

＝

＝－

，

由f′（x）＝0得函数f（x）的两个极值点为1,3，

则只要这两个极值点有一个在区间（t，t＋1）内，

函数f（x）在区间[t，t＋1]上就不单调，

由t<1

4．（2013·课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

解　

（1）f′（x）＝ex（ax＋b）＋aex－2x－4

＝ex（ax＋a＋b）－2x－4

∵y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4，

∴f′（0）＝a＋b－4＝4，f（0）＝b＝4，

∴