初二奥数教材 《第09讲 一元二次方程》.docx

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初二奥数教材《第09讲一元二次方程》

第九讲一元二次方程

　　一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．

　　方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为一元二次方程．

　　一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．

　　对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

　　当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

　　当△＜0时，方程无实数根．

　　分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．

　　因为

　　所以

　　例2解关于x的方程：

　　x2-（p2+q2）x+pq（p+q）（p-q）=0．

　　解用十字相乘法分解因式得

　　[x-p（p-q）][x-q（p+q）]=0，

　　所以x1=p（p-q），x2=q（p+q）．

　　例3已知方程（2000x）2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．

　　解由方程（2000x）2-2001×1999x-1=0得

（20002x+1）（x-1）=0，

（x+1999）（x-1）=0，

　　故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以

α-β=1-（-1999）=2000．

　　例4解方程：

（3x-1）（x-1）=（4x+1）（x-1）．

　　分析本题容易犯的错误是约去方程两边的（x-1），将方程变为

3x-1=4x+1，

　　所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：

用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．

　　解（3x-1）（x-1）-（4x+1）（x-1）=0，

　　（x-1）[（3x-1）-（4x+1）]=0，

　　（x-1）（x+2）=0，

　　所以x1=1，x2=-2．

　　例5解方程：

x2-3｜x｜-4=0．

　　分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．

　　解法1显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1（舍去）．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1（舍去）．

　　所以原方程的根为x1=4，x2=-4．

　　解法2由于x2=｜x｜2，所以

　　｜x｜2-3｜x｜-4=0，

　　所以（｜x｜-4）（｜x｜+1）=0，

　　所以｜x｜=4，｜x｜=-1（舍去）．

　　所以x1=4，x2=-4．

　　例6已知二次方程

　　3x2-（2a-5）x-3a-1=0

　　有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．

　　解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以

　　3×22-（2a-5）×2-3a-1=0，

　　故a=3．原方程为

　　3x2-x-10=0，即（x-2）（3x+5）=0，

　　例7解关于x的方程：

ax2+c=0（a≠0）．

　　分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．

　　当c=0时，x1=x2=0；

　　当ac＞0（即a，c同号时），方程无实数根．

　　例8解关于x的方程：

　　（m-1）x2+（2m-1）x+m-3=0．

　　分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况（不能认为方程一定是一元二次方程）；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．

　　解分类讨论．

（1）当m=1时，原方程变为一元一次方程

x-2=0，

　　所以x=2．

（2）当m≠1时，原方程为一元二次方程．

　　△=（2m-1）2-4（m-1）（m-3）=12m-11．

　　例9解关于x的方程：

　　a2（x2-x+1）-a（x2-1）=（a2-1）x．

　　解整理方程得

　　（a2-a）x2-（2a2-1）x+（a2+a）=0．

（1）当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为

　　[ax-（a+1）][（a-1）x-a]=0，

（2）当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．

　　例10求k的值，使得两个一元二次方程

　　x2+kx-1=0，x2+x+（k-2）=0

　　有相同的根，并求两个方程的根．

　　解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有

　　a2+ka-1=0，①

　　a2+a+（k-2）=0．②

　　①-②有

　　ka-1-a-（k-2）=0，

　　即（k-1）（a-1）=0，

　　所以k=1，或a=1．

（1）当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根

　　没有相异的根；

（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为

x2-1=0，x2+x-2=0．

　　解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．

　　例11若k为正整数，且关于x的方程

　　（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0

　　有两个不相等的正整数根，求k的值．

　　解原方程变形、因式分解为

　　（k+1）（k-1）x2-6（3k-1）x+72=0，

　　[（k+1）x-12][（k-1）x-6]=0，

　　即

4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．

　　例12关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．

　　解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得

｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，

　　符合要求，所以m2≤1．

　　例13设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：

△ABC一定是直角三角形．

　　证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则

　　两式相加得

　　若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-（a＋c）．把x0=-（a＋c）代入①式得

（a+c）2-2a（a+c）+bg2=0，

　　整理得

a2=b2+c2

　　所以△ABC为直角三角形．

　　例14有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．

　　解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有（x-2）个球．此时正三角形共有球

　　此时正方形共有（x-2）2个球，所以

　　即x2-9x+8=0，

　　x1=1，x2=8．

　　因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球（x-2）2=36个．

练习九

　　1．解方程：

（2）20x2+253x+800=0；

　　（3）x2+｜2x-1｜-4=0．

　　2．解下列关于x的方程：

（1）abx2-（a4+b4）x+a3b3=0；

（2）（2x2-3x-2）a2+（1-x2）b2=ab（1+x2）．

　　3．若对任何实数a，关于x的方程

x2-2ax-a+2b=0

　　都有实数根，求实数b的取值范围．

　　4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求（a+b）2000的值．

　　5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程

　　4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．