第二章有理数的运算2127教案.docx
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第二章有理数的运算2127教案
2.1 有理数的加法（第1课时）
【教学目标】
Ø知识目标：
1、让学生理解和掌握有理数的加法法则；
2、能运用数轴来解释有理数的加法法则；
3、能熟练的进行简单的有理数的加法运算；
Ø能力目标：
培养学生的分类、归纳、概括能力；将有理数的加法转化为小学的数的加法运算，渗透化归的思想方法，应鼓励学生用自己的语言加以叙述；
Ø情感目标：
鼓励学生利用加法的运算律进行简便的计算，在运算中培养学生的良好的学习习惯和独立思考、勇于探索的精神。
【教学重点、难点】
Ø重点：
有理数的加法法则和有理数的加法运算的步骤；
Ø难点：
有理数加法的符号的确定；
【教学过程】
一、情景设置：
一建筑工地仓库记录星期一和星期二水泥的进货和出货数量如下，其中进货为正，出货为负（单位：
吨）
进出货情况
库存变化
星期一
＋5
－2
星期二
＋3
－4
合计
问一：
列出算术表示这两天水泥进货和出货的合计数量，并算出结果。
问二：
上述问题中，星期一该建筑工地仓库的水泥库存是增加了还是减少了？
星期二呢？
二、师生互动：
问一：
［学生回答］水泥进货的合计为（＋5）＋（＋3）＝＋8；
水泥出货的合计为（－2）＋（－4）＝－6；
［教师讲解］也可以在数轴上表示水泥进货的合计：
在数轴上表示水泥出货的合计：
［教师小结］同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；
问二：
［学生回答］星期一该建筑工地仓库的水泥库存增加了3吨，
用算式表示为（＋5）＋（－2）＝＋3；
星期二该建筑工地仓库的水泥库存减少了1吨，
用算式表示为（＋3）＋（－4）＝－1；
［教师讲解］也可以在数轴上表示星期一、星期二的库存变化结果：
［教师小结］异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
三、知识讲解：
有理数的加法法则：
一般地，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数；
学生练习
（一）：
（口答）确定下列各题中的符号，并说明理由：
（1）（＋5）＋（＋7）；
（2）（－3）＋（－10）；
（3）（＋6）＋（—5）；（4）（＋3）＋（－7）；
（5）（－
）＋（＋
）；（6）0＋（－
）；
有理数加法运算的步骤：
先确定结果的符号，再计算结果的绝对值。
四、例题板演：
例1：
计算下列各式：
（1）（－11）＋（－9）；
（2）（－3.5）＋（＋7）；
（3）（－1.08）＋0；（4）（＋
）＋（－
）；
解：
（1）原式＝－（11＋9）＝－20；
（2）原式＝＋（7－3.5）＝＋3.5；
（3）原式＝－1.08；（4）原式＝0；
学生练习
（二）：
计算下列各式：
（1）（－
）＋（－
）；
（2）（＋3）＋（－12）；（3）（—2
）＋（＋3
）；（4）（－1.625）＋（＋1
）；（5）0＋（－1.25）；（6）（＋19
）＋（－11
）；
学生练习（三）：
在数轴上表示下列有理数的运算，并求出计算结果：
（1）（－2）＋（—4）；
（2）（－5）＋4；
例2：
某家庭工厂一月份收支结余为－1200.50元，二月份收入为2000.70元，问二月底家庭工厂的收支结余情况如何？
解：
（－1200.50）＋（＋2000.70）＝＋（2000.70－1200.50）＝＋800.20（元）
答：
二月底家庭工厂的收支结余为收入800.20元。
学生练习（四）：
冬天的某一天，哈尔滨的气温为－38℃，北京的气温比比哈尔滨高32℃，问当天北京的气温为多少度？
五、思考题：
1、下列两个有理数相加：
①两个正数；②两个负数；③一正一负，但正数的绝对值较大；④一正一负，但正数的绝对值较小；⑤零与正数；⑥零与负数；那么，
（1）和为正数的是（填入代号，下同）；
（2）和为负数的是；
（3）和的绝对值等于加数绝对值的和的是；
（4）和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是；
（5）和等于其中一个加数的是；
2、两个有理数相加，和是否一定大于每一个加数？
请举例说明。
六、课堂小结：
1、有理数的加法法则：
一般地，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数；
2、有理数加法运算的步骤：
先确定结果的符号，再计算结果的绝对值。
七、作业：
必做题：
书本P30A组1、2、3、4；选做题：
书本P31A组5和B组6；
2.1 有理数的加法（第2课时）
【教学目标】
Ø知识目标：
1、让学生熟练掌握三个或三个以上有理数相加的运算；
2、加法的交换律和结合律在有理数运算中仍然成立，并能灵活运用加法的交换律和结合律使运算简便；
Ø能力目标：
培养学生简便计算的能力，培养学生的类比能力；
Ø情感目标：
使学生逐渐形成事物变化、相互联系和相互转化的观点，并在学习中培养学生良好的学习习惯、独立思考、勇于探索的精神。
【教学重点、难点】
Ø重点：
运用加法的交换律和结合律进行有理数的加法运算；
Ø难点：
灵活运用运算律，使运算简便；
【教学过程】
一、情景设置：
引例1：
已知一辆卡车从A站出发，先向东行驶15千米，再向西行驶25千米，然后又向东行驶20千米，问卡车最后停在何处？
分析：
如果规定向东为“正”，则向东行驶15千米记作＋15千米，向西行驶25千米记作－25千米，向东行驶20千米记作＋20千米，则（＋15）＋（－25）＋（＋20）＝？
，问题成了三个有理数相加，一般地，三个或三个以上有理数相加，一般是依次相加，对于有括号的式子，应先进行括号里面的运算。
所以（＋15）＋（－25）＋（＋20）＝（—10）＋（＋20）＝＋10，所以卡车最后停在A站东面的10千米处。
引例2：
计算：
，
；
，
；
学生回答：
，
；
，
；
教师启发：
发现
，
；
要求学生再换几对不同的有理数试一试，结果如何？
教师小结：
发现加法的交换律和结合律在有理数运算中仍然成立。
二、知识点讲解：
在有理数运算中，
加法的交换律：
两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，即
；
加法的结合律：
三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，
即
；
在引例1中的运算中，如果运用加法的交换律和结合律，则（＋15）＋（－25）＋（＋20）＝［（＋15）＋（＋20）］＋（－25）＝（＋35）＋（—25）＝＋10，显然这样的运算要比前面更好。
所以三个或三个以上有理数相加，一般是依次相加，对于有括号的式子，应先进行括号里面的运算，但能运用运算律的要运用运算律，这样会使运算简便。
三、例题讲解：
例1：
计算：
（1）（＋14）＋（－4）＋（－1）＋（＋16）＋（－5）
（2）（－2.48）＋4.33＋（－7.52）＋（－4.33）
（3）
解：
（1）原式＝［（＋14）＋（＋16）］＋［（－4）＋（－1）＋（－5）］
＝（＋30）＋（－10）＝＋20
一般地，多个有理数相加，可以把正数或负数分别结合在一起相加；
（2）原式＝［（－2.48）＋（－7.52）］＋［4.33＋（－4.33）］
＝（—10）＋0＝－10
一般地，多个有理数相加，有相反数的先把相反数相加，能凑整的先凑整；
（3）原式＝
＝
＝
＝
一般地，多个有理数相加，有分母相同的，先把同分母的数相加；
学生练习
（一）：
计算：
（1）（－3.5）＋［3＋（－1.5）］
（2）（－18.65）＋（－7.25）＋（＋18.15）＋（＋7.25）
（3）
（4）
例2：
小明遥控一辆玩具赛车，让它从A地出发，先向东行驶15米，再向西行驶25米，然后又向东行驶20米，再向西行驶35米，问玩具赛车最后停在何处？
一共行驶了多少米？
解：
规定向东为“正”，则（＋15）＋（－25）＋（＋20）＋（—35）
＝［（＋15）＋（＋20）］＋［（－25）＋（－35）］
＝（＋35）＋（－60）＝－25（米）
一共行驶的路程为｜＋15｜＋｜－25｜＋｜＋20｜＋｜－35｜＝95（米）
答：
玩具赛车最后停在A地向西25米处，一共行驶了95米。
学生练习
（二）：
小明记录了一星期每天的最低温度如下表：
星期
一
二
三
四
五
六
日
温度
－2℃
－1℃
＋2℃
＋6℃
＋4℃
＋1℃
－3℃
这个星期的平均最低温度为多少摄氏度？
四、思考题：
数扩展到有理数后，下面这些结论还成立吗？
请说明理由（如果认为结论不正确，请举例说明）：
（1）若两个数的和是0，则这两个数都是0；
（2）任何两数相加，和不小于任何一个加数；
五、小结：
（1）一般地，三个或三个以上有理数相加，一般是依次相加，对于有括号的式子，应先进行括号里面的运算；
（2）灵活运用加法的交换律和结合律进行有理数的加法运算；
（3）一般地，多个有理数相加，可以把正数或负数分别结合在一起相加；
一般地，多个有理数相加，有相反数的先把相反数相加，能凑整的先凑整；
一般地，多个有理数相加，有分母相同的，先把同分母的数相加；
六、作业：
必做题：
书本P34A组1、2、3和B组4；选做题：
书本P34C组5；
2.2 有理数的减法（第1课时）
【教学目标】
Ø知识目标：
掌握有理数的减法法则，熟练地进行有理数的减法运算。
Ø能力目标：
培养学生观察、归纳的数学能力及初步掌握数学学习转化的数学思想。
Ø情感目标：
过积极参与探索有理数的减法法则及其应用的数学活动，体会相应的数学思想、数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高学生的学习兴趣。
【教学重点、难点】
Ø重点：
有理数的减法的运算法则，以及法则的应用。
Ø难点：
在实际生活中，正、负关系的确定以及原有知识的掌握。
【教学方法】观察、归纳、合作交流、对比、类比等。
【教学过程】
一、创设情境，激发兴趣
一天,厦门的最高温度是9℃，哈尔滨的最高气温是-7℃，那么这一天厦门的最高温度比哈尔滨的最高气温高多少摄氏度？
列出算式.
由学生回答结果，在学生回答的基础上，让学生用式子加以表示:
9－（－7）＝16.
提出问题：
怎么进行这里的减法运算呢？
有理数的减法法则是什么？
二、合作学习，共同归纳
1．不妨我们看一个简单的问题：
9－（－7）＝16. 9 ＋（？
）＝16.
大家注意观察上面的两个算式，你能发现什么规律？
先个人研究，而后交流． 比较两式，可以发现：
9“减去－7”与“加上＋7”结果是相等的，即
减法变加法
变相反数
2．归纳：
全班交流，从上述结果我们可以发现规律：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
这就是有理数减法法则，由此可见，有理数的减法运算实质转化为加法运算．
三、实践应用，拓展延伸
应用1：
计算：
（1）5－（－5）
（2）0－7－5 （3）（－1.3）－（－2.1）
（4）1－2 （5）（－6）＋（－5）
在学生口答的基础上，由教师引导归纳：
：
（1）有理数减法是转化为有理数加法实施的．在进行减法运算时，首先应弄清减数的符号（是“+”号，还是“－”号）；
（2）将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：
一个是运算符号由“－”变以“+”号；另一个是减数的性质符号．
应用2：
某天北京中午的气温是零上3℃，到午夜气温下降了9℃，那么北京午夜的气温是多少摄氏度？
此例说明，在有理数范围内，不存在“不够减”的减法。
四、尝试反馈，巩固练习
1．计算
（1）（－2.5）－1.5
（2）－（－） （3）（－1）－（－4）－3
（4）1－2 （5）[8＋（－7）]－15
2．填空：
（1）温度3℃比－8℃高___________；
（2）温度－9℃比－1℃低_____________；
（3）海拔－20m比－30m高________；（4）从海拔22m到－10m，下降了______．
3．已知一个数与3的和是－10，求这个数．
4．求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离：
（1）3与－2.2
（2）4与2 （3）－4与－4.5（4）－3与2
你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？
五、交流反思，形成结构（师生共同完成）
1．通过上面的练习，你能总结出有理数减法与小学里学过的减法的不同点吗？
（1）被减数可以小于减数．如：
1－5 ；
（2）差可以大于被减数，如：
（+3）－（－2）；
（3）有理数相减，差仍为有理数；
（4）大数减小数，差为正数；小数减大数，差为负数；
2．根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算．
六、布置作业
作业本中的相应部分。
2.2 有理数的减法（第2课时）
【教学目标】
Ø知识目标：
理解有理数加减法可以互相转化,会进行加减混合运算；
Ø能力目标：
培养观察、讨论、积极思维探索的能力及计算的准确能力．
Ø情感目标：
激发学生对数学的兴趣，培养学生热爱数学的情感．
【教学重点、难点】
Ø重点：
写成省略加号的和的形式及熟练地进行有理数的加减混合运算．
Ø难点：
能灵活运用加法运算律进行有理数的加减混合运算．
【教学方法】比较、归纳、探索、练习等．
【教学过程】
一、创设情境，激发兴趣
（－1）－（－2）＋（－3）－（－4）＋（－5）－（－6）…（－49）－（－50）
在学生讨论交流下，提出问题
（1）如何解该题？
（2）如何将减号进行转变？
二、合作学习，共同归纳
根据上题，我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法
1．提出问题：
－（＋）＋（－）－（－）如何统一成加号？
学生回答：
＋（－）＋（－）＋（＋）
2．省略加号如何表示？
由教师讲解：
在一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加法省略不写．
形如：
－－＋
3．如何读呢？
总结读法：
按和式读做“正、负、负与正的和”
按运算意义读做“减减加”
4．你认为如何计算：
－（＋）＋（－）－（－）
由学生合作交流，教师引导下得出有理数加减混合运算步骤：
（1）利用减法法则，将减法统一为加法．
（2）省略加号的和的形式，简化算式．
（3）运用加法交换律、结合律，使运算简单．
三、实践应用，拓展延伸
应用1：
把写下式成省略加号的和的形式，并把它读出来．
（－3）＋（－8）－（－6）＋（－7）
由学生完成，并用两种方法读出．
应用2：
计算：
（1）（＋16）＋（－29）－（－7）－（＋11）＋（＋9）；
（2）（－3.1）－（－4.5）＋（＋4.4）－（＋10.3）＋（－4.5）；
（3）（＋）－（＋5）＋（－）－（＋）＋（＋4）；
（4）（－2
）－（－4.7）－（＋0.5）＋（－3.2）．
法一：
按正常顺序来解（从左到右）法二：
运用简便方法来解（加法交换律和结合律）
问：
该如何灵活运用？
根据上述解题过程，师生共同归纳．
（1）使符号相同的加数放在一起．
（2）互为相反数的放在一起．
（3）使和为整数的加数放在一起．（4）使分母相同的加数放在一起．
应用3：
一储蓄所在某时段内共理了8项现款储蓄业务：
取出63.7元，存入150元，取出200元，存入120元，
存入300元，取出112元，取出300元，存入100.2元．
问该储蓄所在这一时段内现款增加或减少了多少元？
由师生共同合作、交流来完成。
四．尝试反馈，巩固练习
1．把下列各式中的减法转化为加法，再写成省略加号的和的形式，并把它读出来：
（1）（－7）＋（－8）－（－9）；
（2）（－32）－（＋17）－（－65）－（－24）
2．计算：
（1）7.8＋（－1.2）－（－0.2）；
（2）－5.3－（－6.1）－（－3.4）＋7；
（3）－＋－－； （4）－5.75－[（－3）＋（－5）]－3.125；
3．一电脑公司仓库8月1日库存某种型号的电脑20台，8月2日到6日该种型号的
电脑进出记录如下表，问到8月6日止，库存该种电脑多少台？
记运进为正，单位：
台
日期
8月2日
8月3日
8月4日
8月5日
8月6日
进出数量
30
－21
－16
0
－9
4.某检修小组乘汽车沿公路检修路线，约定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走路线（单位：
千米）为：
＋10,－3,＋4,＋2,－8,＋13,－2,＋12,＋8,＋5
（1）问收工时距A地多远?
（2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升?
五．交流反思，形成结构（师生共同完成）
1．有理数加减混合运算步骤：
（1）利用减法法则，将减法统一为加法．
（2）省略加号的和的形式，简化算式．
（3）运用加法交换律、结合律，使运算简单
2．进行有理数加减混合运算使用交换律、结合律的简便方法
（1）使符号相同的加数放在一起．
（2）互为相反数的放在一起．
（3）使和为整数的加数放在一起．（4）使分母相同的加数放在一起．
六、布置作业
作业本中的相应部分。
2.3 有理数的乘法（第1课时）
【教学目标】
Ø知识与能力：
在理解有理数乘法意义的基础上，掌握有理数的乘法法则，并正确地进行乘法运算。
理解几个有理数相乘，积的符号如何确定。
理解有理数的倒数定义。
Ø过程与方法：
让学生通过相同数的加法体验乘法运算法则，会类比出若干个相同负数的加法运算（即负数的乘法运算）。
通过对特例的归纳，鼓励学生自主探索有理数的乘法法则。
经历有理数的乘法法则的实验与探索过程，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强运算能力。
Ø情感态度与价值观：
提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。
在经历有理数的乘法法则的自主探究，合作交流，归纳总结，使其充分体会到知识产生、规律发现的过程，感受生活中乘法运算的存在与价值，让学生融入到数学学习中来，融身到数学活动中去。
【教学重点、难点】
Ø重点：
了解有理数乘法法则的发现以及形成过程，掌握乘法法则的关键，运用乘法法则准确地进行有理数的运算。
Ø难点：
掌握有理数乘法法则中的符号规则，并能准确、熟练地应用于有理数乘法运算中去。
【教学准备】电脑、投影
【设计思路】本节课是在小学已接触到的乘法、初中刚学习过的有理数的加减法基础上进行的。
通过对实际问题的解决，引入有理数的乘法法则。
本课程十分注重学生的自主探究，合作交流，归纳总结，使其充分体会到知识产生、规律发现的过程，让学生融入到数学学习中来，融身到数学活动中去。
【教学过程】
（一）创设情景，提出问题
人类因为没有保护好环境，连续几年全球气温都在不断的上升，今年也不例外。
自七月份宁波市进入高温天气以来，几乎没有下过一场雨。
由于高温，据市某水文观测站测得的数据显示：
我市某水库的水位在某段高温天气以每天3.5cm的速度下降，问连续四天高温该水库的水位下降了多少？
这个实际问题与有理数的乘法有什么联系呢？
让我们来共同研究吧。
由上面的问题可知，该水库的水位到第四天下降了3.5×4＝14cm。
根据生活经验及前面的结果，如果把下降记为“－”，则有（－3.5）×4＝－14。
（二）合作交流，探索新知
1、根据上述结果，结合生活中的经验，自编一道类似的实际问题，并把要求的结果写成像（－3.5）×4＝－14这样的算式。
2、由上面的问题所写的负数与正数的乘法运算方法，计算：
（－3）×4=；（－3）×3=；（－3）×2=；（－3）×1=.
结合课本，用数轴表示上述相应算式的几何意义。
3、计算下列各式，并回答：
若一个因数继续逐级减少，下面的积会有什么变化？
（－3）×（－1）=；（－3）×（－2）=；（－3）×（－3）=；（－3）×（－4）=.
此外，如果有一个因数是0,所得的积还是0。
如：
0×（－3）=0，×0=0，0×（－3）＝0。
思考：
如何确定两个有理数的积的符号和绝对值？
从以上得出的几个算式，你能发现什么规律？
通过特例的归纳，鼓励学生自己总结有理数的乘法法则。
并运用自己的语言加以描述，与同伴交流共同完成。
综合以上各种情况，我们有有理数的乘法法则：
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积为零。
例如：
（－5）×（－3）………………………………同号两数相乘
（－5）×（－3）=＋（）……………………………得正
5×3=15…………………………………………把绝对值相乘
所以（－5）×（－3）=15。
（－6）×4………………………………………异号两数相乘
（－6）×4=－（）……………………………………得负
6×4=24…………………………………………把绝对值相乘
所以（－6）×4=－24。
（三）指导应用，深化理解
例1计算
（1）×1；
（2）（－2.5）×4；（3）（－5）×0×；（4）（－）×（－3）；
（5）（－6）×（－）×（－4）（6）（－）×1；（7）（－7）×（－1）。
按课本讲解、板书。
（组织学生口头回答例题的解答。
有理数乘法运算分两步：
确定积的符号；把绝对值相乘。
）
探究以下三个问题：
问题1:
与这两数有何关系？
－与－3呢？
类比小学学过的有关倒数的定义。
在小学我们学过，两个正有理数乘积为1时，称这两个正有理数互为倒数。
同样，这个规定在负数中仍然适用。
若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。
例如，是的倒数，也是的倒数，－与－3互为倒数。
0没有倒数。
问题2：
几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？
有一个因数为0时，积是多少？
有多个不为零的有理数相乘时，可以先确定符号，再将绝对值相乘。
当相乘的数中，负数有奇数个时，积为负；负数有偶数个时，积为正。
若其中一个乘数为零时，积为零。
问题3：
做完第（6）、（7）题，能发现什么规律？
一个数与－1相乘，积是多少？
一个数与1相乘，积是多少？
让学生自己总结：
一个数乘以1都等于它本身；一个数乘以-1都等于它的相反数．+（-5）可以看成是1×（-5），-（-5）可以看成是（-1）×（-5）．同时教师强调指出，a可以是正数，也可以是负数或0；-a未必是负数，也可以是正数或0．
补充例题：
1.计算：
（-3）××（－1）×（－）
渗透化归思想，有理数的乘法实际上就是在确定完积的符号后，转化为小学中算术数的乘法。
2.某一物体温度每小时上升a度，现在温度是0度．问：
（1）t小时后温度是多少？
（2）当a，t分别是下列各数时的结果：
①a=3，t=2；②a=-3，t=2；②a=3，t=-2；④a=-3，t=-2；
教师引导学生检验一下
（2）中各结果是否合乎实际．
随堂练习：
1.课本例1下的课内练习第1、2、3题。
（可先让学生在课本上解答，再请学生回答。
若有错误，请其他同学及时纠正。
）
2.填空；
（1）一个数与它的相反数的积（大于0；小于0；不大于0；不小于0）。
（2）一个数与的积是它本身；一个数与的积是它的相反数。
（3）三个有理数的积为0,那么，这三个数中至少
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