圆的一般方程和标准方程的转换含每步提示和答案解析材料.docx
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圆的一般方程和标准方程的转换含每步提示和答案解析材料
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圆的一般方程和标准方程的转换含每步提示和答案解析材料
圆的标准方程与一般方程的转换
1.已知方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：
（x+
）2+（y+
）2=
提示①：
将原方程配方并整理
x2+Dx+（
）2+y2+Ex+（
）2-（
）2-（
）2+F=0
（x+
）2+（y+
）2-
=0
提示②：
将常数项移至方程右边。
（x+
）2+（y+
）2=
2.将圆的方程（x-a）2+（x-b）2=r2化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
提示①：
将原方程去掉括号并整理
x2+y2-2ax-2by+a2+b2=r2
提示②：
将方程右边化为0
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
3.已知圆的一般方程为x2+y2+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A、（x-3）2+（y-4）2=25B、（x-3）2+（y-4）2=5
C、（x+3）2+（y-4）2=25D、（x-3）2+（y-4）2=5
答案：
C
提示①：
将原方程配方x2+6x+32+y2-8y+42-32-42=0
（x+3）2+（y-4）2-25=0
提示②：
将常数项移至方程右边
（x+3）2+（y-4）2=25
4.方程2（x+5）2+2y2=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
A、2x2+2y2+20x+47=0B、2x2+2y2+20x=-47
C、x2+y2+10x+
=0D、2x2+2y2+20x=-
答案：
C
提示①：
将原方程去括号并整理
2x2+2y2+20x+50=3
提示②：
将方程右边化为0
2x2+2y2+20x+47=0
提示③：
将x2、y2系数化为1
x2+y2+10x+
=0
5.圆C的方程为：
x2+y2+4x-4y+4=0，则圆C的圆心坐标为___。
A、（-4,4）B、（4,-4）
C、（2,-2）D、（-2,2）
答案：
D
提示①：
将原方程配方并整理
x2+4x+22+y2-4y+22-22-22+4=0
（x+2）2+（y-2）2-4=0
提示②：
将常数项移至方程右边
（x+2）2+（y-2）2=4
提示③：
根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心坐标为（a，b），题中圆的圆心坐标为（-2，2），选D。
6.已知圆的方程为x2+y2-6x-16=0，那么该圆的半径为______。
答案：
5
提示①：
将原方程配方并整理
x2-6x+32+y2-32-16=0
（x-3）2+y2-25=0
提示②：
将常数项移至方程右边
（x-3）2+y2=25
提示③：
根据圆的标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的半径为r，所以r2=25，r=5.
7.已知圆的标准方程为x2+（y+4）2=1，那么圆的一般方程形式为___________。
答案：
x2+y2+8y+15=0
提示①：
将原方程括号散开并整理
x2+y2+8y+16=1
提示②：
将方程右边化为0
x2+y2+8y+15=0
8.圆心坐标为（1，-2），半径为3的圆的一般方程为___。
A、x2+y2+2x-4y+2=0B、x2+y2-2x+4y+2=0
C、x2+y2+2x-4y-4=0D、x2+y2-2x+4y-4=0
答案：
D
提示①：
根据题意圆的标准方程为
（x-1）2+（y+2）2=32
提示②：
将方程去掉括号并整理
x2+y2-2y+4y+5=9
提示③：
将方程右边化为0
x2+y2-2x+4y-4=0
9.若下列方程在直角坐标系中对应的曲线为一个圆，那么圆心在x轴上的是___。
A、x2+y2+2x+1=0B、x2+y2+2x-1=0
C、x2+y2+2x+2y+1=0D、x2+y2+2y-1=0
答案：
B
提示①：
圆心在x轴上，则圆心的纵坐标为0，所以圆的一般方程的y的一次系数为0，排除C、D两项。
提示②：
将A、B配方后化成标准方程的形式分别为
A:
（x+1）2+y2=0，B:
（x+1）2+y2=2
提示③：
A方程所表示的不是圆，选B。
10.已知方程x2+y2+mx+ny=0是一个圆的方程，且圆心为（-1，-2），则m=___,n=___。
答案：
2，4
提示①：
将方程配方并整理
x2+
x+（
）2+y2+
y+（
）2-（
）2-（
）2=0
（x+
）2+（y+
）2=
提示②：
根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），-
=-1，-
=-2，所以m=2，n=4.
11.已知圆C的方程为x2+y2+4mx-（2m-2）y-n2=0，其圆心在直线x+y=3上，则m=___。
答案：
-4
提示①：
将方程配方并整理
x2+4mx+（2m）2+y2-（2m-2）y+（m-1）2-（2m）2-（m-1）2-n2=0
（x+2m）2+[y-（m-1）]2=（2m）2+（m-1）2+n2
提示②：
根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），可知题中圆C的圆心坐标为（-2m，m-1）
提示③：
圆心过直线x+y=3，将圆心坐标代入直线方程
-2m+m-1=3
解得m=-4.
12.若圆x2+y2+2kx-2y+2=0与两坐标轴无公共点，那么k的取值范围是____。
A、-
＜k＜
B、-
≤k≤
C、k≤-
或k≥
D、k＜-
或k＞
答案：
D
提示①：
将圆的方程配方并写成标准方程形式
x2+2kx+k2+y2-2y+12-k2-12+2=0
（x+k）2+（y-1）2=k2-1
提示②：
根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），可知题中圆心坐标为（-k，1）
提示③：
圆与坐标周无公共点，圆心的横坐标和纵坐标的绝对值都小于半径。
（-k）2＜k2-1且12＜k2-1
k＜-
或k＞
，选D。
13.圆
的方程为x2+y2-4x+6y+4=0,圆
与圆
关于坐标原点对称，则圆
一般方程为___。
A、x2+y2+4x-6y+4=0B、x2+y2-4x-6y+4=0
C、x2+y2+4x+6y+4=0D、x2+y2-4x+6y+4=0
答案：
提示①：
将圆
的方程配方并化为标准方程形式
x2-4x+4+y2+6y+9-4-9+4=0
（x-2）2+（y+3）2=32
提示②：
圆
的圆心坐标为（2，-3），圆
与圆
关于原点对称，圆
的圆心坐标为（-2，3），半径与圆
相同为3。
圆
的标准方程为
（x+2）2+（y-3）2=32
提示③：
将标准方程化为一般方程为x2+y2+4x-6y+4=0，选A。
14.若方程x2+y2+4kx-2y+5=0表示一个圆，那么k的取值范围是___。
A、k＜-1或k＞1B、-1≤k≤1
C、k≤-1或k≥1D、-1＜k＜1
答案：
A
提示①：
将方程配方并化成标准方程的形式
x2+4kx+（2k）2+y2-2y+12-（2k）2-12+5=0
（x+2k）2+（y-1）2=4k2-4
提示②：
圆标准方程右边表示半径平方，需大于0，4k2-4＞0
解得k＜-1或k＞1，选A。
15.圆心坐标为（3，4）且过原点的圆的一般方程为____。
答案：
x2+y2-6x-8y=0
提示①：
圆心的坐标（3，4），原点的坐标（0，0），其距离为
=5，圆的半径为5
提示②：
圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2=52
提示③：
去掉括号并化为一般方程为x2+y2-6x-8y=0
16.已知圆的方程为（3x+1）2+（3y-1）2=11，那么圆的一般方程为_________。
答案：
x2+y2+
x-
y-1=0
提示①：
将方程去掉括号9x2+6x+1+9y2-6y+1=11
提示②：
将方程右边常数移到左边并整理9x2+9y2+6x-6y-9=0
提示③：
将二次项系数化为1，x2+y2+
x-
y-1=0
17.如果下面各方程能对应的曲线是圆，那么原点在圆内的是__。
A、x2+y2-4x-4y=0B、x2+y2-4x-5=0
C、x2+y2-4y+5=0D、x2+y2-4x-4y+5=0
答案：
B
提示①：
选项A的方程不含常数项，将原点坐标（0，0）代入后方程成立，则原点在A所示的曲线上，A不满足。
提示②：
将B、C、D的方程分别配方并写成圆标准方程的形式
B：
（x-2）2+y2=9，C：
x2+（y-2）2=-1，D：
（x-2）2+（y-2）2=3
提示③：
C右边小于0，方程表示的不是圆，C排除。
将原点坐标（0，0）分别代入B、D方程。
B左边=4＜9，原点在圆内；D左边=8＞3，原点在圆外。
选B。
18.下列圆中，必过原点的是___。
A、x2+y2=1B、x2+y2+x+y=1
C、x2+y2+x+y=0D、（x+1）2+（y+1）2=1
答案：
C
提示①：
将原点的坐标（0，0）分别代入A、B、C、D个方程中，只有C成立，选C。
19．圆心坐标为（-1，2），且与x轴相切的圆是___。
A、x2+y2+2x-4y+1=0B、x2+y2+2x-4y+4=0
C、x2+y2-2x+4y+1=0D、x2+y2-2x+4y+4=0
答案：
A
提示①：
圆与x轴相切，则圆的半径为圆心纵坐标的绝对值，圆心坐标为（-1，2），r=2.
提示②：
圆的标准方程为（x+1）2+（y-2）2=22
提示③：
将方程去掉括号并化为一般方程的形式x2+y2+2x-4y+1=0，选A。
20．圆心坐标为（3，4），且与y轴相切的圆是___。
A、x2+y2+6x+8y+16=0B、x2+y2+6x+8y+9=0
C、x2+y2-6x-8y+16=0D、x2+y2-6x-8y+9=0
答案：
C
提示①：
圆与y轴相切，则圆的半径为圆心横坐标的绝对值，圆心坐标为（3，4），r=3.
提示②：
圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2=32
提示③：
将方程去掉括号并化为一般方程的形式x2+y2-6x-8y+16=0，选C。
21.与圆（x+a）2+（y+b）2=r2是同心圆的是___。
A、x2+y2+2ax-2by=0B、x2+y2-2ax-2by=0
C、x2+y2-2ax-2by=0D、x2+y2+2ax+2by=0
答案：
D
提示①：
将（x+a）2+（y+b）2=r2散开并化为一般方程
x2+y2+2ax+2by+a2+b2-r2=0
提示②：
只有D项的一次系数和一般方程相同，选D.
22.与圆x2+y2-6x-4y=0半径相同的圆是___。
A、x2+y2-8x-2y=0B、x2+y2-2x-12=0
C、x2+y2-4x-4y=0D、x2+y2=169
答案：
B
提示①：
将原方程配方并化为标准方程（x-3）2+（y-2）2=13，半径r=
提示②：
将A、B、C、D分别配方并化为标准方程
A:
（x-4）2+（y-1）2=17，B：
（x-1）2+y2=13，
C：
（x-2）2+（y-2）2=8，D：
x2+y2=169
只有B所示的圆的半径为
，选B.
23.圆x2+y2+2mx-2ny-1=0的圆心为（1，1），则m=__,n=__。
答案：
-1，1
提示①：
将方程配方并化为标准方程（x+m）2+（y-n）2=m2+n2+1
提示②：
圆的坐标为（-m，n），-m=1，n=1.
所以m=-1，n=1
24.圆x2+y2+ax+b=0的圆心必在___轴上。
答案：
x
提示①：
将方程配方化为标准方程的形式（x+
）2+y2=-b+（
）2，圆心坐标为（-
，0），必在x轴上。
提示②：
圆的一般方程不含y的一次项，则圆心的纵坐标为0，圆心在x轴上。
25.圆x2+y2+ay+b=0的圆心必在___轴上。
答案：
y
提示①：
将方程配方化为标准方程的形式x2+（y+
）2=-b+（
）2，圆心坐标为（0，-
），必在y轴上。
提示②：
圆的一般方程不含x的一次项，则圆心的横坐标为0，圆心在y轴上。
26.圆x2+y2+b=0的圆心必为___。
答案：
原点
提示①：
题中圆的标准方程为x2+y2=-b，根据标准方程（x-a）2+（x-b）2=r2的圆心为（a，b），圆心为原点（0，0）
27.圆x2+y2+ay+by=0必过___。
答案：
原点
提示①：
题中圆的一般方程不含常数项，将（0，0）代入方程，方程成立，圆必过原点。
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