7.解:
(1)证明:
由题意得:
Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0,
∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.
(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-
x2=5.
由|x1-x2|=6,得
=6.
解得m=1或m=-
.
(3)由
(2)得,当m>0时,m=1.
此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,
其对称轴为直线x=2.
由题意知,P,Q关于直线x=2对称.
∴
=2,∴2a=4-n.
∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.
8.解:
(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,
∴A(-1,0),B(0,4).
∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,
∴C(0+5,4),即C(5,4).
(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,
∴a-b-3a=0.∴b=-2a.
∴抛物线的对称轴为直线x=-
=-
=1,即对称轴为直线x=1.
(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).
①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥
.
②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-
.
③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:
综上,a的取值范围是a≥
或a<-
或a=-1.
9.解:
(1)证明:
当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.
当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
10.D [解析]在抛物线y=-x2+x+6中,令y=0时,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即抛物线y=-x2+x+6与x轴交点坐标分别为(-2,0),(3,0).∵抛物线y=-x2+x+6沿x轴翻折到x轴下方,∴此时新抛物线y=x2-x-6(y<0)与y轴交点坐标为(0,-6).当直线y=-x+m过(-2,0),(0,-2)时,m=-2.此时直线y=-x+m与x轴下方图象只有三个交点.如图所示,要使直线y=-x+m与新图象有4个交点,需y=-x+m与y=x2-x-6有两个交点,则-x+m=x2-x-6有两个不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6时,直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6有两个交点,m的取值范围是-611.-2≤m<-1 [解析]当x=1时,y=x2-4=1-4=-3.
所以在第四象限内在二次函数y=x2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).
当反比例函数y=
(m<0)的图象经过点(1,-2),
即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2个,
当反比例函数y=
(m<0)的图象经过点(1,-1),
即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为3个,
∵在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,
∴m的取值范围为-2≤m<-1.
12.[解析]
(1)根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),将坐标代入y=4x+1,问题得解;
(2)由题意知B(0,5),二次函数图象过点B,代入解析式可求得b的值,求得A点坐标,再利用函数图象比较大小;
(3)先通过点M在△AOB内得到b的取值范围,再根据抛物线的对称性和增减性解决y1,y2大小关系.
解:
(1)∵点M坐标是(b,4b+1),
∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,
∴点M在直线y=4x+1上.
(2)如图①,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B坐标为(0,5).
又∵B(0,5)在抛物线上,
∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b1=b2=2,
∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,
当y=0时,得x1=5,x2=-1.∴A(5,0).
观察图象可得,当mx+5>-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5.
(3)如图②,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB表达式为y=-x+5,
解方程组
得
∴点E
又∵F(0,1).
点M在△AOB内,
∴0
.
当点C,D关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,
b-
=
-b,∴b=
.
且二次函数图象的开口向下,根据二次函数图象的对称性和增减性可知.
①当0
时,y1>y2;
②当b=
时,y1=y2;
③当
时,y1