六年级奥数讲义必备专题第10讲数论综合一学生版.docx

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六年级奥数讲义必备专题第10讲数论综合一学生版

第十讲

数论综合

（一）

教学目标

1.理清数论模块知识体系，建立起各版块知识间的有机联系；

2.重点掌握整除及约数倍数问题的常见题型．

知识点拨

数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．

例题精讲

模块一：

整除问题

两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和．

例题1

1

【巩固】若四位数

能被15整除，则

代表的数字是多少？

在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小．

例题2

2

（2008”数学解题能力展示”初赛）已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？

例题3

3

从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？

例题4

4

【巩固】请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？

11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？

例题5

5

三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：

．如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？

例题6

6

在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？

例题7

7

为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？

例题8

8

【巩固】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3和4所整除．试求出这个密码．

某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？

例题9

9

在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除．

例题10

10

将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？

例题11

11

1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和）．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？

例题12

12

有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：

只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：

⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．

例题13

13

已知：

．则？

例题14

14

一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为”十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？

例题15

15

【巩固】有一个九位数

的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数

可被2整除，三位数

可被3整除，四位数

可被4整除，……依此类推，九位数

可被9整除．请问这个九位数

是多少？

板块二约数倍数问题

一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？

例题16

16

已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．

例题17

17

（2008年101中学考题）已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则．

例题18

18

已知两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知有12个约数，有10个约数，求与的和．

例题19

19

【巩固】数360的约数有多少个？

这些约数的和是多少？

已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？

例题20

20

【巩固】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．

在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

例题21

21

（2008年仁华考题）1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．

例题22

22

家庭作业

在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？

练习1

1

有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．

练习2

2

已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

练习3

3

能被210整除且恰有210个约数的数有个．

练习4

4

月测备选

从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？

备选1

1

用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少？

备选2

2

现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

备选3

3

恰有8个约数的两位数有________个．

备选4

4