最新初二动态几何问题.docx

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最新初二动态几何问题

初二动态几何问题

一、动态几何问题涉及的几种情况

动态几何问题就其运动对象而言，有：

1、点动（有单动点型、多动点型）.

2、线动（主要有线平移型、旋转型）。

线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.

3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）

二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：

动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点:

1、把握运动变化的形式及过程；

2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；

3、动中取静：

（最重要的一点）

要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量;

4、找等量关系：

利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式;

5、列方程：

将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；

（某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。

在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解）

6、是否以及怎么分类讨论：

将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，

7、确定变化分界点：

若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。

例：

如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm.

.解答下列问题：

（1）当t=3秒时，求S的值；

（2）当t=5秒时，求S的值；

（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.

实验操作

【要点导航】

通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法.实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.

【典例精析】

例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：

先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：

再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：

沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究：

（1）△AEF是什么三角形？

证明你的结论；

（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？

请说明你的理由．

例2已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，M为BC中点．操作：

将三角板的90°角的顶点与点M重合，并绕着点M旋转，角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F．

（1）探究1：

线段BE、EF、FC是否能构成三角形？

如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？

请证明你的猜想．

（2）探究2：

若改变为：

“角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？

请画出对应的图形并请证明你的猜想．

【训练】

1.★★★如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．

（1）操作：

由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？

并证明你所得到的结论；

（2）连结DF，如果正方形的边长为2，设AE=，△DFG的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果正方形的边长为2，FG的长为，求点C到直线DE的距离．

2.★★★操作：

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

探究：

设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？

试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

3.★★★在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在

（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立？

（不用说明理由）

4.★★如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5,3）、C（-2,5）关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标：

、；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a,b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为（不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1,-3）、E（-1,-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

探索性问题

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：

（1）条件探索型问题；

（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

条件探索

【要点导航】

“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。

由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用．

【典例精析】

例1如图，在线段的同侧作正方形和正方形（），连结并延长交于点，过作，垂足为，交于点．设正方形的边长为1．

（1）证明△CMG≌△NBP；

（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

（3）如果按照题设方法作出的四边形是菱形，求BE的长．

（4）联结PG，若能否成为直角三角形？

如果能，求BE的长；

如果不能，请说明理由．

（5）联结AC、AF、CF，求证△ACF的面积为定值．

〖思路分析〗

1．第（3）小题把四边形是菱形作为条件探索BE的长．

2．中∠PBG始终是45°，而∠BPG和∠PGB有可能为90°，要分情况讨论．

3．第（5）小题即可用割补法求也可用利用AC∥BF将△ACF的面积转化为△ABC的面积．

例2在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1所示，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；（不必证明）

（2）如图2所示，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3所示，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝2，则Q＝（用含有L的式子表示）．

【训练】

1.★★★如图1所示，直线AB交x轴于点A（A，0），交y轴于点B（0，B），且A、B满足．

（1）如图1，若C的坐标为（－1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；

（2）如图2，连接OH，求证：

∠OHP＝45°；

（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

2.★★★已知、分别是的边、边上的高，是边的中点，分别联结、、．

（1）当时，垂足、分别落在边、上，如图1．求证：

．

（2）当时，垂足、分别落在边、所在的直线上，如图2，问

（1）中的结论是否依然成立？

无需说明理由，直接写出答案即可；若，试判断的形状，简写解答过程．

（3）设的度数为，的度数为，求与之间的函数关系式．

3.★★★如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　　°，猜想∠QFC=°；

（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．

结论探索

【要点导航】

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：

（1）条件探索型问题；

（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：

一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、等．其中用几何图形的某些特殊性质：

勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．

【典例精析】

例1如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN，NE⊥AB，垂足为点