要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题。
f（x）=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2（sinx1）2+33,
∴a+5>3即>a+2
上式等价于或，解得a<8.
说明：
注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：
a+cos2x<54sinx+即
a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],
整理得2t24t+4a+>0,（t[1,1]）恒成立。
设f（t）=2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,
f（x）在[1，1]内单调递减。
只需f
（1）>0,即>a2.（下同）
例2．已知函数f（x）在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（ksinx）f（k2sin2x）对一切实数x恒成立？
并说明理由。
分析：
由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于
对于任意x∈R恒成立。
不等式
（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤（1+sin2x）min=1,即1≤k≤1----------（3）
不等式
（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[（sinx）2]max=,
即k≤1或k≥2,-----------（4）
由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。
说明：
抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：
本题中，绝大多数同学不难得到：
=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：
其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
思路1:
从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
所求量的取值范围
把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA=f（k），xB=g（k）
得到所求量关于k的函数关系式
求根公式
AP/PB=—（xA/xB）
由判别式得出k的取值范围
解1：
当直线垂直于x轴时，可求得；
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：
，代入椭圆方程，消去得，
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以===.
由,解得，
所以，
综上.
思路2:
如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：
判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA+xB=f（k），xAxB=g（k）
构造所求量与k的关系式
关于所求量的不等式
韦达定理
AP/PB=—（xA/xB）
由判别式得出k的取值范围
解2：
设直线的方程为：
，代入椭圆方程，消去得
（*）
则令，则，
在（*）中，由判别式可得，
从而有，所以，
解得.结合得.
综上，.
说明：
范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
二、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1（A）（B）（C）（D）
图1
图2
分析:
《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索,动手实践,并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动,03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念．本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以．由于在四个选择支中只有C含有，故选C．
x
y
o
1
2
y1=（x-1）2
y2=logax
当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．
说明由本题可见,0３年试题强调实验尝试,探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．
例5．当x（1,2）时，不等式（x1）2分析：
若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：
设y1=（x1）2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x（1,2）,y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,1例6．函数y=（x1）loga6xlog3a+x+1，其中在x[0,1]时函数恒正，求a的范围。
解：
排除对数log3a的干扰，选x为“主元”化函数为
y=f（x）=（log32a6log3a+1）x+1log32a,x∈[0,1].
一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x轴的上方。
故有：
说明：
给定一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0）,若y=f（x）在[m,n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f（x）<0，则有
例7．对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：
在不等式中出现了两个字母：
x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：
不等式即（x1）p+x22x+1>0,设f（p）=（x1）p+x22x+1,则f（p）在[2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<1或x>3.
例8.设f（x）=x22ax+2,当x[1,+）时，都有f（x）a恒成立，求a的取值范围。
分析：
题目中要证明f（x）a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[1,+）时恒大于0的问题。
解：
设F（x）=f（x）a=x22ax+2a.
ⅰ）当=4（a1）（a+2）<0时，即2ⅱ）当=4（a1）（a+2）0时由图可得以下充要条件：
-1
o
x
y
即
得3a2;
综合可得a的取值范围为[3，1]
说明：
若二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
4
o
x
y
例9．关于x的方程9x+（4+a）3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析：
题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+（4+a）t+4=0有正根。
即
解得a8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
4
o
x
y
即要求t2+（4+a）t=0有正根。
设f（x）=t2+（4+a）t+4.
10.=0,即（4+a）216=0,∴a=0或a=8.
a=0时，f（x）=（t+2）2=0,得t=2<0，不合题意；
a=8时，f（x）=（t2）2=0,得t=2>0,符合题意。
∴a=8.
20.>0,即a<8或a>0时，
∵f（0）=4>0,故只需对称轴，即a<4.
∴a<8
综合可得a8.
三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。
由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。
为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。
在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。
解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。
充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）。
研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。
解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。
而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。
1．几何法：
若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。
2．代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。
求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。
例10．已知椭圆C:
和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.
分析：
这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？
一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是
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