浙江省中考数学复习题型五几何探究题类型一动点问题针对演练2118.docx
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浙江省中考数学复习题型五几何探究题类型一动点问题针对演练2118
第二部分题型研究
题型五 几何探究题
类型一 动点问题
针对演练
1.（2017杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：
β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
（2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
第1题图
2.（2017烟台）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12cm，BD＝16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t（s）（t>0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN.
（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；
（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．
第2题图
3.（2015温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ∶AB＝3∶4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆孤于点E，在射线CD上取点F，使DF＝CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF，设AQ＝3x.
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF；
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；
（3）在点P的整个运动过程中．
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于另一点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
第3题图
4.（2017温州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，点D在线段CB的延长线上，且BD＝2，点P从点D出发沿着DC向终点C以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿着折线C－B－A往点A以每秒2个单位的速度运动，以PQ为直径构造⊙O，设运动的时间为t（t≥0）秒．
（1）当0≤t<3时，用含t的代数式表示BQ的长度；
（2）当点Q在线段CB上时，求⊙O和线段AB相切时t的值；
（3）在整个运动过程中，点O是否会出现在△ABC的内角平分线上？
若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
第4题图
5.（2017菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.
（1）如图①，若点M与点D重合，求证：
AF＝MN；
（2）如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.
①设BF＝ycm.求y关于t的函数表达式；
②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．
第5题图
6.（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A、C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：
点B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？
若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：
＝；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
第6题图
答案
1.解：
（1）β＝90°＋α，γ＝180°－α，
证明：
①如解图①，连接BG，
第1题解图①
∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，
又∵四边形ACBG内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，
即β＝90°＋α；
②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，
∴2∠ECB＋α＝γ，
∴2（180°－β）＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；
（2）如解图②，连接BG，
第1题解图②
∵γ＝135°，γ＝180°－α，
∴α＝45°，∴β＝90°＋α＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，
∴△ABG和△ECD都是等腰直角三角形，
又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，
∵CD＝3，∴CE＝3，∴BE＝CE＝3，AC＝，
∴AE＝4，
∵γ＝∠EAG＋∠EBA＝∠EAB＋α＋∠EBA＝135°，
∴∠EAB＋∠EBA＝135°－α＝135°－45°＝90°，
∴∠BEA＝90°，
∴由勾股定理得，AB＝＝＝5，
∴AG＝AB＝×5＝10，
∴r＝5，
∴⊙O的半径长为5.
2.解：
（1）由题意可得：
DN＝2t，BM＝t，BN＝16－2t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝6，
∴Rt△AOB中，AB＝＝10.
如解图①，过点M作MQ⊥BD交BD于点Q，
第2题解图①
∵∠MQB＝90°＝∠AOB，∠ABD＝∠MBQ，
∴△MQB∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴BQ＝t，
∵点M为圆心，MQ⊥BF，
∴BF＝2BQ＝t.
又∵2t＜16，t＜10，
∴t＜8，
∴0＜t＜8；
（2）如解图①，当线段EN与⊙M相切时，则EN⊥BE，∠BEN＝90°，
∵∠BEN＝∠AOB＝90°，∠EBN＝∠ABO，
∴△BEN∽△BOA，
∴＝，即＝，
解得t＝，
∴当t＝时，EN与⊙M相切，
（3）当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点，
如解图②，当EN⊥BD时，⊙M与线段EN此时有两个公共点，
第2题解图②
在Rt△BNE中，BN＝BE·cos∠ABO＝2t×＝t，
∵DN＝2t，
∴t＋2t＝16，
∴t＝，
当t＞时，EN在⊙M内部，此时⊙M与EN只有一个公共点，
又∵2t＜16，t＜10，
∴t＜8，
∴＜t＜8，
∴当0＜t≤或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
3.
（1）如解图①，AB与OD交于点H，在Rt△ABQ中，AQ∶AB＝3∶4，AQ＝3x，则AB＝4x，
由勾股定理得，BQ＝＝5x，
∵OD⊥m，l⊥m，
∴OD∥l，
又∵OB＝OQ，
∴点H为AB的中点，即AH＝BH＝AB＝2x.
∵l⊥m，AB⊥l，
∴∠BAC＝∠C＝CDH＝90°，
∴四边形AHDC为矩形，
故CD＝AH＝2x，
则DF＝CD＝3x.
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝6x＋4.
如解图①，过点O作OM⊥AQ于点M，
∴OM∥AB.
第3题解图①
∵BQ为⊙O的直径，
∴∠BAQ＝90°，
∵OM在⊙O的半径上，OM⊥AQ，
∴QM＝AM＝x.
∵∠OMC＝∠MCD＝∠CDO＝90°，
∴四边形OMCD为矩形，
故OD＝MC＝AM＋AP＋PC＝x＋4，
又∵OE＝BQ＝x，
∴ED＝OD－OE＝x＋4－x＝2x＋4.
∵S矩形DEGF＝DF·DE＝3x（2x＋4）＝6x2＋12x＝90，
即6x2＋12x－90＝6（x＋5）（x－3）＝0，
解得x1＝－5（舍去），x2＝3.
故AP＝3x＝9；
（3）①若矩形DEGF是正方形，
则ED＝FD.
（Ⅰ）如解图①所示，当点P在点A的右侧时，根据ED＝FD可得2x＋4＝3x，解得x＝4，
∴AP＝3x＝12.
（Ⅱ）当点P在点A的左侧时．
（ⅰ）如解图②所示，当C在点Q右侧时，若0∴AP＝3x＝.
若≤x<，如解图③所示，此时ED＝7x－4，FD＝3x，
∴7x－4＝3x，解得x＝1（不合题意，舍去）．
（ⅱ）当点C在点Q左侧时，即x≥，如解图④所示，∵DE＝7x－4，DF＝3x，
∴7x－4＝3x，解得x＝1，
∴AP＝3x＝3.
综上所述，当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形．
②AP的长为6或.
第3题解图②
第3题解图③
第3题解图④
4.解：
（1）由题意BQ＝BC－CQ＝6－2t；
（2）分两种情况讨论：
①当P，Q还未相遇时，如解图①，
第4题解图①
CQ＝2t，DP＝t，QP＝8－3t，
OE＝QP＝，
OB＝OP＋BP＝＋（t－2）＝，
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB.
∵sin∠ABC＝＝，
∴＝，
解得t＝.
②当P，Q相遇后，如解图②，
第4题解图②
BQ＝6－2t，PQ＝BP－BQ＝（t－2）－（6－2t）＝3t－8，
OE＝QP＝，OB＝OQ＋BQ＝，
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC＝＝，
∴＝，解得t＝.
综上所述，满足条件的t的值有t＝秒或秒．
（3）ⅰ）当点O在∠ABC的角平分线上时，如解图③，
第4题解图③
可得BQ＝BP，即2t－6＝t－2，
解得t＝4.
ⅱ）当点O在∠ACB的角平分线上时，如解图④，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H.
第4题解图④
则GQ＝AQ·sin∠BAC＝AQ＝，
同理可得GC＝QH＝BQ＝，
在梯形CPQG中，OF是中位线，则OF＝（GQ＋CP）＝[＋（8－t）]＝，
∵点O在∠ACB的角平分线上，
∴CF＝OF.
＝，解得t＝.
ⅲ）当点O在∠BAC的角平分线上时，如解图⑤，作∠BAC的角平分线交BC于点H，过点H做HI⊥AB于I.
第4题解图⑤
则HI＝CH.
∵sin∠ABC＝＝＝，
∴CH＝HI＝，
∴tan∠CAH＝，
由ⅱ）中得OF＝（GQ＋CP）＝，
CF＝，AF＝AC－CF＝，
∴tan∠CAH＝＝＝，
解得t＝.
综上所述，当t＝4秒或秒或秒时，点O会出现在△ABC的内角平分线上．
5.
（1）证明：
∵AF⊥MN，
∴∠HAD＋∠HDA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠FAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADN，
在Rt△ABF和Rt△DAN中，
，
∴△BAF≌△ADN，
∴AF＝DN，即AF＝MN；
（2）解：
①如解图，过点E作EG⊥BC于点G，
∵点E在BD上以cm/s的速度向D点移动，移动时间为t，
∴BE＝t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴BG＝GE＝t，
∵GE⊥BF，
∴GE∥AB，
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，
∴＝，
∵AB＝6cm，BF＝y，
∴＝，
∴y＝；
第5题解图
②∵BN＝2AN，BN＋AN＝AB＝6cm，
∴AN＝2cm，BN＝4cm.
由
（1）知∠AMN＝∠BAC，∠ABF＝∠MAN＝90°，
∴△AMN∽△BAF，
∴＝，
∵DM＝
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