-t-43.61
冲43,61-233^L3・却"一
Q2二"
JT-15?
T-10
5—70乂5=?
2
3X48~I—一曲
0=85——二_--X5=8SJ
10
P-D=——7?
=825
分组
人数
向上
累计
向下
養计
切以下
10
*10
164
60—70
19
29
154
70-80
50
79
135
&0-90
36
115
85
9Ck-1O0
27
142
49
100-110
14
156
22
T10以上
8
164
8
164
■—
—
四分位差计算案例
2、计算方法
注意：
v0的位置
则Q生第三爼,
冥70』勺位舊
则0在第五红
空…
4
即
164
70-80
4
50-100级
29—3<10
O.=4-4—■
s50
72,40（f克）
的一115
10
二亨O十一°x
士27
=90+2,%=93污旅干克】
Ae，n=2,-6,
=92.96「72M=20.56（千克）
也有人认为：
四分位距就是75%百分位数与25%百分位数间的距离.它代表分布中间50%的距离.
四分位距（IQR）=Q3-Q1
semi-interquartilerange:
四分位距的一半（interquartilerange）.
SIQR=（Q3-Q1）/2
3、四分位距的应用及优缺点
优点：
四位位距简明易懂，计算简便，较少受两极端数值的影响，比全距可靠得多。
缺点：
但它忽略了左右共50%数据的差异，又不适合代数运算，因而限制了它的应用。
使用：
当一组数据用中位数表示集中量时，就要用四分位距表示差异量。
因为它们同属于百分体系。
四分位距与中位数一样，适用于有特大或特小两极端数值，有个别数值不确切、不清楚，以及用等级的数据等情况
三、百分位距
1、概念：
百分位点位置
百分位数数值
百分位差段距离
百分位距是指两个百分位数之差。
常用的百分位距有两种：
一种是：
第90与第10百分位数之差，用P90-P10表示。
即按一定顺序排列的一组数据中间部位80%个频数的距离。
一种是：
第93与第7百分位数之差，用P93-P7表示。
是按一定顺序排列的一组数据中间部位86%个频数的距离。
2、计算方法：
先计算百分位数：
百分位数的计算方法我们第二章讲中位数时，涉及到了百分位数的计算方法。
然后计算百分位距：
百分位距的计算方法很简单，即P90-P10或P93-P7计算。
1）百分位数的计算
Pu-厶+（-^-xV-/）X—
p§100fp
其中：
Pp表示百分位数
p表示与百分位数相对应的比数
N表示总频数
Lp表示百分位数所在组的下限
n表示小于百分位数所在组下限的频数总和
fp表示百分位数所在组的频数
i表示组距
例
组别
甘算方淳
65—
1
求百令盘数:
E.Pbb-
£
側
d
1闘斗却轉珂5■讯
a
UE
i貯咒=
JS—19
16!
131
4074
24
U2
u.5_|_rp-3C~?
x5«id.6+2-3：
-13.72
35-3ft
9d
9&
9
输一制
EE
S4
14.b+155^435
£5-as
11
43
V
-d^5+141r9Q^13SXS-^05+aDG-&1.E«
9
越
JO—li
7
7
6
C5-7
.
2）百分位差
P90-P10=
P80-P20=
Px—Py=
3、适用条件
用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。
在计算频数分布峰态量时，要用到上述的百分位距。
四百分等级（相对地位量数）
一）概念
在一个团体中，不管人数多少，如果我们要问：
某一个人在一百个人中胜过多少人；或者问假使把这一团体分为一百等，这一个人占第几等。
回答这样的问题，用一个人的原分数或等第都不行。
因为在一班学生中的成绩，单独一个原来的分数，最多只能表示分数的高低，不能表示他在全班中的地位。
例如某个学生名列第十五名，我们不能知道他的成绩究竟如何，要了解他的成绩在班上的地位，还必须知道他同班同学有多少人。
如果全班有60名学生，他名列第十五名，其成绩还是比较好的。
如果全班只有30名学生，第十五名就是中等成绩。
如果全班只有20名学生，第十五名就是较差的。
可见，普通等第是看不岀优劣的。
平时所用的等第，也只能表示一个学生成绩的高低次序，而不能表示他在全班中的地位。
而百分等级则不同，它能表示一个分数在它所属团体中的地位。
如一个学生的分数之百分等级为70，就是表示这个学生的分数超过他所在团体的70%。
所以百分等级是一种相对地位量数，是教育、心理研究中较常用的一种量数。
在按分数高低大小顺序排列的情况下,它可以表示任何一个分数在该团体中酌相对地位。
什么是百分等级呢？
所谓百分等级就是把一班学生的得分依高低次序排列，然后算岀一个人在一百人中超过多少人，
或算岀这个人以下占多少百分比，表示这种关系的量数，在统计学中，就称为百分等级。
换言之，百分等级是把全班人数按照一百来计算，从他所得的分数决定他在全班所占的地位。
分数的百分等级越大，代表等级越高。
百分等级越小，代表等级越低。
如某学生的分数之百分等级为90，表示比他差的有90%，如果百分等级为20，表示比他差的只有20%。
百分等级的符号为PR。
二）百分等级的计算
1•未分组数据计算百分等级的方法是：
将团体中各个体，按他们所得分数之高低排列成等第。
如第一名、第二、?
|以R代表之，第一名，R=1;第二名，
R=2;?
|?
|余类推。
以全体人数除100，即100/N，表示百分量表上每人应占的分数。
第一名占第一个100/N，第二个占第二个100/N,..
故求第几名百分等级，即以100R/N代表。
无论是第几名百分等级，都应以每个分数的占位置的中点来代表它，所以把每段的距离减去半段，即减去50/N,而成（100R/N）-（50/N）=（100R-50）/N
（100R-50）/N是每个分数在百分表上的位置，这个位置是按一般等第排列的，其成绩越高，代表等第的数字越小；其成绩越差，其代表的数字越大。
故须从100减去（100R-50）/N，成成为：
100-（100R-50）/N
未分组数据计算百分等级的公式是：
PR=100-（100R-50）/N
其中：
PR表示某个分数的百分等级
R表示某个分数所在团体中按大小排列的等第。
N个数。
例10名学生的作文成绩依次排列为：
56、64、68、69、73、75、78、79、83、86分，试求得分为78分的百分等级。
作文成绩得78分的学生是第4名，故R=4，总人数N=10，代入公式得：
PR=100-（100R-50）/N=100-（100X4-50）/10=65
即该生的百分等级为65，即在100名学生中，该生的作文成绩胜达65名学生。
例试分别计算20名学生、80名学生数学成绩的第1名、第2名和第15名的百分等级。
20名学生时：
P1=100-（100X1-50）/20=98
P2=100-（100X2-50）/20=92
P15=100-（100X15-50）/20=25
80名学生时：
P1=100-（100X1-50）/80=99
P2=100-（100X2-50）/80=98
P15=100-（100X15-50）/80=82
根据以上计算，我们说在20名学生的数学成绩中，第一名的百分等级为98，第二名的百分等级为92，第十五名的百分等级为26。
而在80名学生的数学成绩中，第一名的百分等级为99，第二名的百分等级为98，第十五名的百分等级为82。
可见，团体的总人数不同，同一等第的百分等级并不一样。
2•分组资料（频数分布表）计算百分等级
PR百分等级
N总频数
Fb该分数所在组以下的次数和
f该分数所在组的频数
X给定的原始分数
Lb该分数所在组的精确下限
i组距
例156名学生的语文考试成绩分布如表，求66分的百分等级
劳数（勧
次数＜n
JR积抚数（CuoJ）
S5—99
1
15fi
90~甜
4
155
阳一89
6
15L
$0—圖
8
145
乃一阳
IS
Hr
7174
24
r12L
65_弱
30
ft?
讯一洌
25,
57
SB—59
21
41
召0~弱
w
:
20
46—49
7
}ia
加一44
3・
3
100
i&e
（87+
解释：
在156名学生中有48.7%的学生的分数在66分以下例表中原始分数为52的百分等级
1
f
at数
S5—G9
1
157
GO■—64
4
I5fi
66—59
6
152
50—54
8
14C
45-19
16
:
138
40—H
1122
35—39
30—34
2S—25
16
j竝
20—24
Id
27
15—19
i9
10—）4
7
157'」
100”
计⑷
[57
WA
百分等级也可以从累加百分曲线图上求得。
只耍把上面确定百分位数的过程倒转过来即可
LW
«N-
JOf
山,/
»/
tvirafiavvbntiirn
>（T
如分布中，P10亦即第10百分位之值为19.33分，那么，我们就可以把19.33分或其成绩为19.33分的学生，说成是居于第10百分位的位置；P90亦即第90百分位之值为51.56分，我们就可以把51.56分说成是居于第90百分位的位置。
统计学中习惯上都把这个百分位置称为某某分数的百分等级，如说19.33的百分等级为10.00，51.56分或得51.56分的学生其百分等级为90.00，等等。
其它任何一个给定的分数也都可以转化为百分等级。
3•求一组的百分等级
一组的百分等级是以每组的组中值的百分等级来代表，其方法是；先分别求岀每组精确上、下限的百分等级，然后将上、下限百分等级相加，以2除之，即为每组组中值的百分等级。
求每组精确上、下限的百分等级的方法是：
首先将次数分布表由下而上求岀各组的累积次数；然后从最低组起计算每组精确上限的百分等级。
即以总次数（N）除100，再乘以累积次数。
用公式表示为：
PR=100fcp/N
其中：
PR表示每组上限的百分等级
fcp表示每组的累加次数
N表示总数
例求各组的百分等级
:
1
-
r
tCum*f>1
百
芬爭
紐上跟桁
组下限的
组中值的
89
-r
87j
1
50\
100
£0—dd
fl2
2
gg
S4
1
95
75—Tfl
ir?
:
4
無1
94
时
7T1
5
43]
861
恥
01
旌一騙
16¥
R
3B
7G
Wi
G8
国百—84
畀
10
30
QQ
44
5G
55—59
5?
e
20
4Q
28
34
5»—M
阴
1
4
14
2S
・20
24
4S—4ft
47
4
$u•
50
12
18
*0—44
i3
6
|3
ie
d|—*4
|筋
a
_.
A
2
6
3C—St
1
2
1°
1
蕭一，从表中址低粗算翹.C3O-34>K*
磧上限为别JR粗反IR为1，代入公式*
P_100fiP„100xi_4
此2工为上一组（35—39J的下限百令零SL
諮二（35—39）一粗的槽确上限那乩已JRKJftJt为
此。
又为上一组（40—44）箭下限的百分竽鍍.
第三，其也各爼上r下I®的百分等墩、均可找此迭计算卩
第四卜将备组上・下限的百分等级棚加除凰乩即得各组逬申愷帕咅丹零皺.如最低翅（30-345组甲值的百分簪
级为乡~=1，上一组&5-39）组中值的百介警缴为
-^—5.芬抱各iflifl中直的百分等均可艄优袪
計锻
三）百分等级的应用
在教育和心理方面运用百分等级主要是运用“百分等级常模。
百分等级常模特别适用于教育成就测验，加语文成就测验、算术成就测验一…，在这类测验里，通常要测量非常多的学生，然后才可以把常模求岀来。
根据常模就可知道得分多少，百分等级是多少；也可知道占某百分等级时，须得分多少。
这样一个换算表上所列数
字便是百分等级常模。
假如我们知道某一学生的语文成就测验成绩为76分，算术成就测验成绩为94分，则我们无法知道他在团体中所占的地位，也就是说无法知道他的成绩比别人好或坏。
此时，我们可以查阅百分等级常模。
假定查得语文成就测验得分为76分时，PR相当于70，而算术成就测验得分为94分时、PR相当于68，则我们便知道该生的语文成就较70%学生为高，但算术成就只较68%的学生为高而已。
升级会员 