全国考研数学三真题版.docx
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全国考研数学三真题版
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2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题
一、选择题:
1—8小题．每小题4分，共32分．
1cos
f（x）ax
x
x0
1．若函数在x0处连续，则
b,x0
（A）
1
ab（B）
2
1
ab（C）ab0（D）ab2
2
2．二元函数zxy（3xy）的极值点是（）
（A）（0,0）（B）（0,3）（C）（3,0）（D）（1,1）
3．设函数f（x）是可导函数，且满足f（x）f（x）0，则
（A）f
（1）f
（1）（B）f
（1）f
（1）
（C）f
（1）f
（1）（D）f
（1）f
（1）
4．若级数
n2
11
sinkln
（1）
nn
收敛，则k（）
（A）1（B）2（C）1（D）2
5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）
T
E不可逆（B）
T
E不可逆
TT
（C）E2不可逆（D）2
E不可逆
200210100
6．已知矩阵
A021，B020，C020，则
001001002
（A）A,C相似，B,C相似（B）A,C相似，B,C不相似
（C）A,C不相似，B,C相似（D）A,C不相似，B,C不相似
7．设A,B，C是三个随机事件，且A,C相互独立，B,C相互独立，则AB与C相互
独立的充分必要条件是（）
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（A）A,B相互独立（B）A,B互不相容
（C）AB,C相互独立（D）AB,C互不相容
8．设
X1,X2,,Xn（n2）为来自正态总体N（,1）的简单随机样本，若
n
1
XX
i
n
i1
，则
下列结论中不正确的是（）
（A）
n
2
（X）服从
i
2分布（B）
2
2
XX服从
n1
2分布
i1
（C）
n
2
（XX）服从
i
2分布（D）
2
n（X）服从
2分布
i1
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
9．
322
（sinxx）dx．
t
10．差分方程y12y2的通解为．
tt
Q
11．设生产某产品的平均成本C（Q）1e，其中产量为Q，则边际成本为.
yy
12．设函数f（x,y）具有一阶连续的偏导数，且已知（,）
（1）
dfxyyedxxyedy，
f（0,0）0，则f（x,y）
101
13．设矩阵
A112，1,2,3为线性无关的三维列向量，则向量组A1,A2,A3
011
的秩为．
14．设随机变量X的概率分布为
1
PX2，PX1a，PX3b，若EX0，
2
则DX．
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三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限
lim
x0
x
0
t
xtedt
3
x
16．（本题满分10分）
计算积分
D
3
y
242
（1xy）
dxdy
，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界
区域．
17．（本题满分10分）
求
n
kk
limln1
2
n
nn
k1
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18．（本题满分10分）
已知方程
11
ln（1x）x
k
在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围．
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19．（本题满分10分）
设
1
a1,a0,a（naa）（n1,2,3）,
01n1nn1
n1
，S（x）为幂级数
n0
n
ax的和函数
n
（1）证明
n
ax的收敛半径不小于1．
n
n0
（2）证明（1x）S（x）xS（x）0（x（1,1）），并求出和函数的表达式．
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20．（本题满分11分）
设三阶矩阵
A1,2,3有三个不同的特征值，且3122.
（1）证明：
r（A）2；
（2）若
12,3，求方程组Ax的通解．
21．（本题满分11分）
设二次型
222
f（x,x,x）2xxax2xx8xx2xx在正交变换xQy下的标准形
123123121323
为
22
1y12y2，求a的值及一个正交矩阵Q．
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22．（本题满分11分）
设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为
1
PX0P{X2}，Y的概率密度
2
为
f（y）
2y,0y1
．
0,其他
（1）求概率P（YEY）；
（2）求ZXY的概率密度．
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23．（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质
量是已知的，设n次测量结果
X1,X2,,Xn相互独立且均服从正态分布
2
N（,）.该工
程师记录的是n次测量的绝对误差,（1,2,,）
ZXin，利用Z1,Z2,,Zn估计参数
ii
．
（1）求
Z的概率密度；
i
（2）利用一阶矩求的矩估计量；
（3）求参数最大似然估计量．
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2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题答案
一、选择题:
1—8小题．每小题4分，共32分．
1．解：
1
x
1cosx21
limf（x）limlim
axax2a
x0x0x0
，
limf（x）bf（0），要使函数在x0
x0
处连续，必须满足
11
bab
2a2
．所以应该选（A）
2．解：
z
x
2
y（3xy）xy3y2xyy
，
z
y
2
3xx2xy
，
2222
zzzz
22y,22x,32x
xyxyyx
解方程组
z
x
z
y
2
3y2xyy0
2
3xx2xy0
，得四个驻点．对每个驻点验证
2
ACB，发现只有在点
（1,1）处满足
230
ACB，且AC20，所以（1,1）为函数的极大值点，所以应该
选（D）
3．解：
设
2
g（x）（f（x）），则g（x）2f（x）f（x）0，也就是
2
f（x）是单调增加函数．也
就得到
22
f
（1）f
（1）f
（1）f
（1），所以应该选（C）
4．
解：
ivn时
2
11111111k11
sinkln
（1）ko（1k）o
222
nnnn2nnn2nn
显然当且仅当（1k）0，也就是k1时，级数的一般项是关于
1
n
的二阶无穷小，级数
收敛，从而选择（C）．
5．解：
矩阵
T的特征值为1和n1个0，从而ET,ET,E2T,E2T的
特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有
T
E存在零特
征值，所以不可逆，应该选（A）．
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6．解：
矩阵A,B的特征值都是122,31．是否可对解化，只需要关心2的情
况．
000
对于矩阵A，EA，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2存在两
2001
001
个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C．
010
对于矩阵B，EB，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2只有一
2000
001
个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）．
7．
解：
P（（AB）C）P（ACAB）P（AC）P（BC）P（ABC）P（A）P（C）P（B）P（C）P（ABC）
P（AB）P（C）（P（A）P（B）P（AB））P（C）P（A）P（C）P（B）P（C）P（AB）P（C）
显然，AB与C相互独立的充分必要条件是P（ABC）P（AB）P（C），所以选择（C）．
8．
解：
（1）显然
22
（Xi）~N（0,1）（Xi）~
（1）,i1,2,n且相互独立，所以
n
2
（X）服从
i
2（n）分布，也就是（A）结论是正确的；
i1
（2）
n
2
222
（n1）S
（）
（1）~
（1）
XXnSn，所以（C）结论也是正确的；
i2
i1
（3）注意
1
22
X~N（,）n（X）~N（0,1）n（X）~
（1）
n
，所以（D）结论也是
正确的；
（4）对于选项（B）：
XX1
n122
（XX）~N（0,2）~N（0,1）（XX）~
（1），所
n1n1
22
以（B）结论是错误的，应该选择（B）
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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
9．解：
由对称性知
3
32222
（sinxx）dx2xdx．
0
2
10．解：
齐次差分方程
x
y12y0的通解为yC2；
tt
tt
设y12y2的特解为yat2，代入方程，得
ttt
1
a；
2
t
所以差分方程y12y2的通解为
tt
1
tt
yC2t2.
2
Q
11．解：
答案为1
（1）
Qe．
QQ
平均成本C（Q）1e，则总成本为C（Q）QC（Q）QQe，从而边际成本为
Q
C（Q）1（1Q）e.
yyyy12．解：
（,）
（1）（）
dfxyyedxxyedydxye，所以f（x,y）xyeC，由f（0,0）0，
y
得C0，所以（,）
fxyxye．
101101101
13．解：
对矩阵进行初等变换A，知矩阵A的秩
112011011
011011000
为2，由于
1,2,3为线性无关，所以向量组A1,A2,A3的秩为2．
14．解：
显然由概率分布的性质，知11
ab
2
1
EX21a3ba3b10，解得
2
11
a,b
44
29
EX2a9b，
2
229
DXEXE（X）．
2
三、解答题
15．（本题满分10分）
解：
令xtu，则txu,dtdu，
xx
txu
xtedtuedu
00
xxx
txuux
xtedteueduueduxe
2000
limlimlimlim
33333
x0x0x0x0
xxxx
2
16．（本题满分10分）
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解：
D
33
yy
x
dxdydxdy
24200242
（1xy）（1xy）
24
1d（1xy）
x
dx
242
4（1xy）
00
1112
dx122
4011282
xx
17．（本题满分10分）
解：
由定积分的定义
nn
kk1kk
1
limln1limln1xln（1x）dx
20nn
nnnnnk1k1
11
12
ln（1x）dx
24
0
18．（本题满分10分）
解：
设
11
f（x）,x（0,1）
ln（1x）x
，则
f（x）
22
11（1x）ln（1x）x
2222
（1x）ln（1x）xx（1x）ln（1x）
令
22
g（x）（1x）ln（1x）x，则
2
g（0）0,g
（1）2ln21
2
g（x）ln（1x）2ln（1x）2x,g（0）0
2（ln（1x）x）
g（x）0,x（0,1）
1x
，所以g（x）在（0,1）上单调减少，
由于g（0）0，所以当x（0,1）时，g（x）g0）0，也就是g（x）g（x）在（0,1）上单调减
少，当x（0,1）时，g（x）g（0）0，进一步得到当x（0,1）时，f（x）0，也就是f（x）在
（0,1）上单调减少．
11xln（1x）1
limf（x）limlim
ln（1x）xxln（1x）2
x0x0x0
，
1
f
（1）1，也就是得到
ln2
11
1k．ln22
19．（本题满分10分）
解：
（1）由条件
1
a（naa）（n1）anaa
n1nn1n1nn1
n1
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也就得到
（n1）（anan）（anan），也就得到
11
aa
n1n
aan
nn1
1
n1,2,
1
aaaaaaaa1
n1nn1nnn121n
（1）
aaaaaaaa（n1）!
10nn1n1n210
也就得到
1
n1
aa
（1）,n1,2,
n1n
（n1）!
n
k
a（aa）（aa）（aa）a
（1）
n1n1nnn1211
k2
1
1
k!
n
111
n
n
limalimlime1，所以收敛半径R1
n
nnn
2!
3!
n!
（2）所以对于幂级数
n0
n
ax，由和函数的性质，可得
n
n1
S（x）nax，所以
n
n1
n1n1n
（1x）S（x）（1x）naxnaxnax
nnnn1n1n1
nn
（n1）axnax
n1n
n0n1
na（（n1）ana）x
1n1n
n1
nn1n
axaxxaxxS（x）
n1nn
n1n0n0
也就是有（1x）S（x）xS（x）0（x（1,1））．
解微分方程（1x）S（x）xS（x）0，得（）
Sx
x
Ce
1x
，由于
S（0）a1，得C1
0
x
e
所以（）
Sx．
1x
20．（本题满分11分）
解：
（1）证明：
因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r（A）1．
假若r（A）1时，则r0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r（A）2，又因为
31220，也就是1,2,3线性相关，r（A）3，也就只有r（A）2．
（2）因为r（A）2，所以Ax0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于
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1
31220，所以基础解系为x2；
1
1
又由12,3，得非齐次方程组Ax的特解可取为1
；
1
11
方程组Ax的通解为xk21，其中k为任意常数．
11
21．（本题满分11分）
214
解：
二次型矩阵A111
41a
因为二次型的标准形为
22
1y12y2．也就说明矩阵A有零特征值，所以A0，故a2.
114
EA111（3）（6）
412
令EA0得矩阵的特征值为13,26,30．
1
3
1
1
1
通过分别解方程组（iEA）x0得矩阵的属于特征值13的特征向量1
，
1
2
1
0
1
，30的特征向量3
1
6
1
2
1
属于特征值特征值26的特征向量2，
111
326
所以
12
Q,,0为所求正交矩阵．
123
36
111
326
22．（本题满分11分）
解：
（1）
2
1
2
EYyf（y）dy2ydy.
Y
0
3
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所以
2
24
PYEYPYydy
32.
39
0
（2）ZXY的分布函数为
F（z）PZzPXYzPXYz,X0PXYz,X2
Z
PX0,YzPX2,Yz2
11
P{Yz}PYz2
22
1
2
F（z）F（z2）
YY
故ZXY的概率密度为
1
f（z）F（z）f（z）f（z2）
ZZ
2
z,0z1
z2,2z3
0,
其他
23．（本题满分11分）
解：
（1）先求Zi的分布函数为
F（z）PZzPXzP
Zii
Xz
i
当z0时，显然（）0
Fz；
Z
Xzz
i
当z0时，F（z）PZzPXzP21；
Zii
所以
Z的概率密度为
i
2
f（z）F（z）2
ZZ
2
z
2
2
e,z0
．
0,z0
（2）数学期望
2
z
22
2
EZzfzdzzedz，
（）2
i
00
22
令
n
1
EZZZ
i
n
i1
，解得的矩估计量
n
22
ZZ
i
22n
i1
．
（3）设Z1,Z2,,Zn的观测值为z1,z2,,zn．当zi0,i1,2,n时
似然函数为
n
1
nnz
2
2
i
2
2
L（）f（z,）ei1，
in
（2）
i1
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取对数得：
n
n1
2
lnL（）nln2ln
（2）nlnz
2i
22
i1
dlnL（）n1
3
d
n
i1
2
z
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