全国考研数学三真题版.docx

1、全国考研数学三真题版WORD 格式 整理2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题 :1 8 小题每小题 4 分，共 32 分1 cosf (x) axx,x 01若函数 在x 0处连续，则b, x 0（A）1ab （B）21ab （C）ab 0 （D）ab 222二元函数 z xy(3 x y) 的极值点是（ ）（A）(0,0) （B）(0,3) （C）(3,0) （D）(1,1)3设函数 f ( x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0，则（A） f (1) f ( 1) （B） f (1) f ( 1)（C） f (1) f ( 1) （D） f (1

2、) f ( 1)4 若级数n 21 1sin k ln(1 )n n收敛，则 k （ ）（A）1 （B）2 （C） 1 （D） 25设 为n 单位列向量， E为n 阶单位矩阵，则（A）TE 不可逆 （B）TE 不可逆T T（C）E 2 不可逆 （D） 2 E 不可逆2 0 0 2 1 0 1 0 06已知矩阵A 0 2 1 ，B 0 2 0 ，C 0 2 0 ，则0 0 1 0 0 1 0 0 2（A） A,C 相似， B,C 相似 （B） A,C 相似， B,C 不相似（C） A,C 不相似， B,C 相似 （D）A,C 不相似， B,C 不相似7设 A,B ，C 是三个随机事件，且 A,C

3、 相互独立， B,C 相互独立，则 A B与C 相互独立的充分必要条件是（ ）学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理（A） A, B 相互独立 （B） A, B 互不相容（C） AB, C 相互独立 （D） AB,C 互不相容8设X1, X2, , Xn (n 2) 为来自正态总体 N( ,1)的简单随机样本，若n1X Xini 1，则下列结论中不正确的是（ ）（A）n2( X ) 服从i2 分布 （B）22X X 服从n 12 分布i 1（C）n2( X X ) 服从i2 分布 （D）2n( X ) 服从2 分布i 1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案

4、填在题中横线上）93 2 2(sin x x )dx t10差分方程 y 1 2y 2 的通解为 t tQ11设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 e ，其中产量为 Q，则边际成本为 .y y12设函数 f ( x, y)具有一阶连续的偏导数，且已知 ( , ) (1 ) df x y ye dx x y e dy ，f (0,0) 0，则 f (x, y)1 0 113设矩阵A 1 1 2 ， 1, 2, 3 为线性无关的三维列向量，则向量组 A 1, A 2, A 30 1 1的秩为 14设随机变量 X 的概率分布为1P X 2 ，P X 1 a，P X 3 b，若EX 0，2则DX 学习

5、 参考 资料 分享WORD 格式 整理三、解答题15（本题满分 10 分）求极限limx 0x0tx te dt3x16（本题满分 10 分）计算积分D3y2 4 2(1 x y )dxdy，其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与x 轴为边界的无界区域17（本题满分 10 分）求nk klim ln 12nn nk 1学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理18（本题满分 10 分）已知方程1 1ln(1 x) xk在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理19（本题满分 10 分）设1a 1,a 0,a (na a )(n 1,2,3

6、 ),0 1 n 1 n n 1n 1，S( x) 为幂级数n 0na x 的和函数n（1）证明na x 的收敛半径不小于 1nn 0（2）证明 (1 x)S (x) xS(x) 0( x ( 1,1) ，并求出和函数的表达式学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理20（本题满分 11 分）设三阶矩阵A 1, 2 , 3 有三个不同的特征值，且 3 1 2 2.（1）证明： r( A) 2 ；（2）若1 2 , 3 ，求方程组 Ax 的通解21（本题满分 11 分）设二次型2 2 2f (x , x ,x ) 2x x ax 2x x 8x x 2x x 在正交变换 x Qy 下的标准形1

7、2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3为2 21 y1 2 y2 ，求 a的值及一个正交矩阵 Q 学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理22（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为1P X 0 P X 2 ，Y 的概率密度2为f (y)2 y,0 y 10,其他（1）求概率 P（Y EY）；（2）求 Z X Y的概率密度学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理23（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量结果X1, X2 , , Xn 相互独立且均服从正态分布2N

8、( , ). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 ,( 1,2, , )Z X i n ，利用 Z1, Z2 , ,Zn 估计参数i i（1）求Z 的概率密度；i（2）利用一阶矩求 的矩估计量；（3）求参数 最大似然估计量学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题答案一、选择题 :1 8 小题每小题 4 分，共 32 分1解：1 x1 cos x 2 1lim f ( x) lim limax ax 2ax 0 x 0 x 0，lim f (x) b f (0) ，要使函数在 x 0x 0处连续，必须满足1 1 b ab2a 2所以应

9、该选（ A）2解：zx2y(3 x y) xy 3y 2xy y，zy23x x 2xy， 2 2 2 2 z z z z 2 2y, 2 2x, 3 2xx y x y y x解方程组zxzy23y 2xy y 023x x 2xy 0，得四个驻点 对每个驻点验证2AC B ，发现只有在点(1,1) 处满足2 3 0AC B ，且 A C 2 0，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）3解：设2g(x) ( f ( x) ，则g (x) 2 f (x) f (x) 0 ，也就是2f (x) 是单调增加函数也就得到2 2f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) ，所以应该

10、选（ C）4解：iv n 时21 1 1 1 1 1 1 1 k 1 1sin k ln(1 ) k o (1 k) o2 2 2n n n n 2 n n n 2 n n显然当且仅当 (1 k) 0 ，也就是 k 1时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（ C）5解：矩阵T 的特征值为 1和n 1个0 ，从而 E T , E T , E 2 T ,E 2 T 的特征值分别为 0,1,1, 1；2,1,1, ,1 ； 1,1,1, ,1；3,1,1, ,1显然只有TE 存在零特征值，所以不可逆，应该选（ A）学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理6解：矩阵 A, B 的

11、特征值都是 1 2 2, 3 1是否可对解化，只需要关心 2的情况0 0 0对于矩阵 A， E A ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A属于特征值 2存在两2 0 0 10 0 1个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 A C 0 1 0对于矩阵 B ， E B ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A属于特征值 2只有一2 0 0 00 0 1个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 B,C 不相似故选择（ B）7解：P( A B)C ) P( AC AB) P( AC) P( BC) P( ABC ) P( A) P(C) P( B)P(C) P( ABC )P(A B) P(C) (P(

12、A) P(B) P( AB ) P(C) P(A) P(C) P( B)P(C ) P(AB)P(C )显然， A B与C 相互独立的充分必要条件是 P( ABC ) P( AB)P(C)，所以选择（ C ）8解 ：（ 1 ） 显 然2 2( Xi ) N (0,1) ( Xi ) (1),i 1,2, n 且 相互 独 立， 所以n2( X ) 服从i2(n) 分布，也就是（ A）结论是正确的；i 1（2）n22 2 2(n 1)S( ) ( 1) ( 1)X X n S n ，所以（ C）结论也是正确的；i 2i 1（3）注意12 2X N( , ) n(X ) N (0,1) n( X

13、) (1) n，所以（ D）结论也是正确的；（4）对于选项（ B）：X X 1n 1 2 2( X X ) N (0, 2) N (0,1) ( X X ) (1)，所n 1 n 12 2以（B）结论是错误的，应该选择（ B）学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9解：由对称性知33 2 2 2 2(sin x x )dx 2 x dx 0210解：齐次差分方程xy 1 2y 0的通解为 y C2 ；t tt t设 y 1 2y 2 的特解为 y at2 ，代入方程，得t t t1a ；2t所以差分方程

14、y 1 2y 2 的通解为t t1t ty C2 t 2. 2Q11解：答案为 1 (1 ) Q e Q Q平均成本 C(Q) 1 e ，则总成本为 C(Q) QC (Q) Q Qe ，从而边际成本为QC (Q) 1 (1 Q)e .y y y y 12解： ( , ) (1 ) ( )df x y ye dx x y e dy d xye ，所以 f (x, y) xye C ，由 f (0, 0) 0 ，y得C 0，所以 ( , ) f x y xye 1 0 1 1 0 1 1 0 113解：对矩阵进行初等变换 A ，知矩阵 A 的秩1 1 2 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1

15、1 0 0 0为 2，由于1, 2 , 3 为线性无关，所以向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为 214解：显然由概率分布的性质，知 1 1a b21EX 2 1 a 3 b a 3b 1 0 ，解得21 1a ,b4 42 9EX 2 a 9b ，22 2 9DX EX E (X ) 2三、解答题15（本题满分 10 分）解：令 x t u ，则t x u , dt du ，x xt x ux te dt ue du0 0x x xt x u u xx te dt e ue du ue du xe2 0 0 0lim lim lim lim3 3 3 3 3x 0 x 0 x 0 x

16、 0x x x x 216（本题满分 10 分）学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理解：D3 3y yx dxdy dx dy2 4 2 0 0 2 4 2(1 x y ) (1 x y )2 41 d(1 x y )xdx2 4 24 (1 x y )0 01 1 1 2dx 1 2 24 0 1 1 2 8 2x x17（本题满分 10 分）解：由定积分的定义n nk k 1 k k1lim ln 1 lim ln 1 x ln(1 x )dx2 0 n nn n n n n k 1 k 11 11 2ln(1 x) dx2 4018（本题满分 10 分）解：设1 1f (x) ,

17、x (0,1)ln(1 x) x，则f (x)2 21 1 (1 x) ln (1 x) x2 2 2 2(1 x) ln (1 x) x x (1 x) ln (1 x)令2 2g (x) (1 x )ln (1 x) x ，则2g (0) 0, g(1) 2ln 2 12g (x) ln (1 x) 2ln(1 x) 2x, g (0) 02(ln(1 x) x)g (x) 0,x (0,1)1 x，所以 g (x)在(0,1) 上单调减少，由于 g (0) 0，所以当 x (0,1) 时， g (x) g 0) 0，也就是 g( x) g (x)在(0,1) 上单调减少，当x (0,1)

18、 时，g( x) g (0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0，也就是 f (x) 在(0,1) 上单调减少1 1 x ln(1 x) 1lim f (x) lim limln(1 x) x x ln(1 x) 2x 0 x 0 x 0，1f (1) 1 ， 也 就 是 得 到ln 21 11 k ln 2 219（本题满分 10 分）解：（1）由条件1a (na a ) (n 1)a na an 1 n n 1 n 1 n n 1n 1学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理也就得到(n 1)(an an ) (an an ) ，也就得到1 1a an 1 na a

19、 nn n 11, n 1,2,1a a a a a a a a 1n 1 n n 1 n n n 1 2 1 n( 1)a a a a a a a a (n 1)!1 0 n n 1 n 1 n 2 1 0也就得到1n 1a a ( 1) ,n 1,2,n 1 n(n 1)!nka (a a ) (a a ) (a a ) a ( 1)n 1 n 1 n n n 1 2 1 1k 211k!n1 1 1nnlim a lim lim e 1，所以收敛半径 R 1nn n n2! 3! n!（2）所以对于幂级数n 0na x ， 由和函数的性质，可得nn 1S ( x) na x ，所以nn

20、1n 1 n 1 n(1 x)S (x) (1 x) na x na x na xn n n n 1 n 1 n 1n n(n 1)a x na xn 1 nn 0 n 1n a (n 1)a na )x1 n 1 nn 1n n 1 na x a x x a x xS( x)n 1 n nn 1 n 0 n 0也就是有 (1 x)S (x) xS( x) 0(x ( 1,1) 解微分方程 (1 x)S (x) xS( x) 0 ，得 ( )S xxCe1 x，由于S(0) a 1，得 C 10xe所以 ( )S x 1 x20（本题满分 11 分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，

21、所以 A是非零矩阵，也就是 r (A) 1假若r (A) 1时，则r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r (A) 2，又因为3 1 2 2 0，也就是 1, 2, 3 线性相关， r ( A) 3 ，也就只有 r( A) 2 （2）因为 r( A) 2，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理13 1 2 2 0，所以基础解系为 x 2 ；11又由 1 2 , 3 ，得非齐次方程组 Ax 的特解可取为 1；11 1方程组 Ax 的通解为 x k 2 1 ，其中 k 为任意常数1 121（本题满分 11 分）2 1 4解：二次

22、型矩阵 A 1 1 14 1 a因为二次型的标准形为2 21 y1 2 y2 也就说明矩阵 A有零特征值，所以 A 0，故a 2.1 1 4E A 1 1 1 ( 3)( 6)4 1 2令 E A 0得矩阵的特征值为 1 3, 2 6, 3 0 13111通过分别解方程组 ( i E A)x 0 得矩阵的属于特征值 1 3 的特征向量 1，12101， 3 0 的特征向量 316121属于特征值特征值 2 6 的特征向量 2 ，1 1 13 2 6所以1 2Q , , 0 为所求正交矩阵1 2 3 3 61 1 13 2 622（本题满分 11 分）解：（1）212EY yf ( y) dy

23、2y dy .Y03学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理所以22 4P Y EY P Y ydy3 2 .3 90（2）Z X Y的分布函数为F (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2ZP X 0,Y z P X 2,Y z 21 1 PY z P Y z 22 212F (z) F (z 2)Y Y故Z X Y的概率密度为1f ( z) F (z) f (z) f (z 2)Z Z2z, 0 z 1z 2,2 z 30,其他23（本题满分 11 分）解：（1）先求 Zi 的分布函数为F (z) P Z z P X z PZ i iX zi

24、当z 0时，显然 ( ) 0F z ；ZX z zi当z 0时， F (z) P Z z P X z P 2 1；Z i i所以Z 的概率密度为i2f (z) F (z) 2Z Z2z22e , z 00, z 0（2）数学期望2z2 22EZ zf z dz ze dz ，( ) 2i0 02 2令n1EZ Z Zini 1，解得 的矩估计量n2 2Z Zi2 2ni 1（3）设 Z1, Z2 , ,Zn 的观测值为 z1, z2 , , zn 当 zi 0,i 1,2, n时似然函数为n1n n z22i22L( ) f (z , ) e i 1 ，i n( 2 )i 1学习 参考 资料 分享WORD 格式 整理取对数得：nn 12ln L( ) nln 2 ln(2 ) nln z2 i2 2i 1d ln L( ) n 13dni 12z