全等三角形培优竞赛讲义全集学生版.docx
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全等三角形培优竞赛讲义全集学生版
例题精讲
板块一、截长补短
【例1】（06年北京中考题）已知ABC中，A60°,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.
【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作
DMN60，射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？
【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN
DM且与ZABC
外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系?
A
M
B
【例3】已知：
如图，ABC［是正方形，/FAD=ZFAE求证：
BEfDF=AE
D
F
C
【例4】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边
于点0.求证：
OA平分DOE.
ABD、ACE，连结CD、BE相交
E
【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC
是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.
【例6】五边形ABCD中，AE=AEBQDE=CD/AB（+ZAED180求证：
AD平分/CDE
板块二、全等与角度
【例7】如图，在ABC中，BAC60,AD是BAC的平分线，且ACABBD,求ABC的度数.
【例8］在等腰ABC中，ABAC,顶角A20，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.
A
C20，
【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题又M在AC上，N在BC上，且满足
）如图所示，在ABC中，ACBC,
BAN50，ABM60，求NMB•
C
M
_N
AB
ADB76，BDC28，
【例10】在四边形ABCD中，已知ABAC，ABD60，求DBC的度数•
DAC12，
【例10】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中，
CAB36，ABD48，DBC24，求ACD的度数.
【例11】（北京市数学竞赛试题
内一点，使得
（河南省数学竞赛试题）在正在ABC外取一点E，使
）如图所示，在ABC中,
MCA30，
MAC
BAC
BCA44,M为ABC
16,求
（1）证明线段（或角）相等
例1：
如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：
BF=FC
分析：
由已知条件可证出△ACDABE，而BF和FC分别位于厶DBF和厶EFC中,因此先证明△ACDBAABE，再证明ADBF^AECF，既可以得到BF=FC.
（2）证明线段平行
例2:
已知：
如图，DE丄AC,BF丄AC，垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:
AB//CD
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3:
如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB至UD，使BD=AB，取AB的中点E,连接CD和CE.求证：
CD=2CE
（4）证明线段相互垂直
例4:
已知：
如图，A、D、B三点在同一条直线上，△ADC、△BDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？
证明你的结论。
5、中考点拨：
例1.如图，在△ABC中，AB=AC,E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交
BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF=DE,连结FC.求证：
/F=ZA.
例2如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E,并且使AE=BD,
连接CE、DE.求证：
EC=ED
E
八
F
/、［\
jfnI
A
/\；\\
BCD
题型展示:
例1如图，△ABC中，/C=2/B，/1=Z2。
求证：
AB=AC+CD.
【实战模拟】
1.下列判断正确的是（）
（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2.已知：
如图，CD丄AB于点D,BE丄AC于点E,BE、CD交于点0,且AO平分/BAC.求
证：
0B=0C.
3.如图，已知C为线段AB上的一点，
相交于F点，BM和CN交于E点。
求证:
ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM
CEF是等边三角形。
1
4•如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证：
AD<2（AB+AC）
5.如图，在等腰RtAABC中，/C=90°,D是斜边上AB上任一点，AE丄CD于E,
BF丄CD交CD的延长线于F,CH丄AB于H点，交AE于G.
求证：
BD=CG.
例1.已知：
如图1所示，ABC中，C90,ACBC,ADDB,AECF。
求证：
DE=DF
A
E
D
例2.已知：
如图2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。
求证：
/E=ZF
E
JI
/\
/1
/1
AD
/I、\/
/'：
BC
1\/t/
V
F
图2
例3.如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的
垂线。
求证：
KH//BC
A
A
/\\
QP
K>H
例4.
已知：
如图
4所示,
AB=AC,ZA90,AE
BF,BDDC。
求证：
FD丄ED
例5.已知：
如图6所示在ABC中，B60，/BAC、/BCA的角平分线AD、CE相交于0。
求证：
AC=AE+CD
例6.已知：
如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。
求证：
EF=BE+DF
GBEC
4、中考题：
如图8所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E,并且
使AE=BD，连结CE、DE。
求证：
EC=ED
例题：
已知：
如图9所示，12,ABAC。
求证：
BDDC
C
BD
E
图9
1.已知：
于E,且有
如图
AC
11所示，ABC中，
ADCE。
求证：
C
DE
90，
1
1CD
2
D是AB上一点，DE丄CD于D，交BC
C
訓.”
E
A
D图11
B
2•已知：
如图12所示，在ABC中，A2B,CD是/C的平分线。
求证：
BC=AC+AD
A
D/
3.已知：
如图13所示，过ABC的顶点A，在/A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。
设M为BC的中点。
求证：
MP=MQ
■J-
P
图13
4.ABC中，BAC90
BC于D，求证：
AD丄ABACBC
4
例1.如图，已知在等边三角形
ABC
中，D是AC的中点，E为
BC
延长线上一点,
CE
=CD,DM丄BC，垂足为M。
M是BE的中点。
求证:
E
例2.如图，已知：
ABC中，ABAC,D是BC上一点，且ADDB,DCCA,
求BAC的度数。
例3.已知：
如图,
ABC中，ABAC,CD
1•如图,
△ABC中，AB=AC,/A=36
D
AB于D。
求证:
BAC2DCB。
A
C
BD、CE分别为/ABC与/ACB的
角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A.6个B.7个
D.9个
C.8个
2.）已知：
如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE丄AB,DF丄AC,E、
F分别是垂足。
求证：
AE=AF。
C
例1•如图，ABC中，ABAC,A100,BD平分ABC。
求证：
ADBDBC。
5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为
3cm，
则腰长为（
）
A.2cm
B.8cm
C.2cm或8cm
1.选择题：
等腰三角形底边长为
D.以上都不对
2.如图，ABC是等边三角形,
CBD90，BDBC，贝V1的度数是
3.求证：
等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上
4.ABC中，
ABAC，A120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，
求证：
DE
1-BC。
2
A
E..D
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