全等三角形培优竞赛讲义全集学生版.docx

1、全等三角形培优竞赛讲义全集学生版例题精讲板块一、截长补短【例1】（06年北京中考题）已知 ABC中，A 60, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点 （点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 数量关系？【变式拓展训练】 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与Z ABC外角的平分线交于点 N , MD与MN有怎样的数量关系?AMB【例3】 已知：如图，ABC是正方形，/ FAD=Z

2、FAE求证：BEfDF=AEDFC【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边于点0 .求证：OA平分 DOE .ABD、 ACE，连结 CD、BE 相交E【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题 ）如图所示， ABC是边长为1的正三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别 在AB、AC上，求 AMN的周长.【例 6】 五边形 ABCD中，AE=AE BQDE=CD / AB(+Z AED180 求证：AD平分/ CDE板块二、全等与角度【例 7】如图，在 ABC中， BAC 60 , AD是 BAC的平分线，且 AC AB BD , 求 A

3、BC的度数.【例8在等腰 ABC中，AB AC,顶角 A 20，在边AB上取点D，使AD BC， 求 BDC.AC 20，【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 又M在AC上，N在BC上，且满足）如图所示，在 ABC中，AC BC ,BAN 50， ABM 60，求 NMB CM_NA BADB 76， BDC 28，【例10】在四边形ABCD中，已知AB AC， ABD 60， 求 DBC的度数DAC 12，【例10】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中，CAB 36， ABD 48， DBC 24，求 ACD 的度数.【例11】（北京市数学竞赛试题内一点，使得（河南省数学竞赛试

4、题）在正 在ABC外取一点E，使）如图所示，在ABC中,MCA 30，MACBACBCA 44 , M 为 ABC16 ,求（1） 证明线段（或角）相等例1：如图，已知 AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出 ACD ABE，而BF和FC分别位于厶DBF和厶EFC中, 因此先证明 ACD BA ABE，再证明A DBF A ECF，既可以得到 BF=FC.(2) 证明线段平行例2:已知：如图， DE丄AC, BF丄AC，垂足分别为 E、F, DE=BF , AF=CE.求证:AB / CD(3) 证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3:

5、如图，在 ABC中，AB=AC，延长 AB至U D，使BD=AB，取AB的中点 E, 连接CD和CE.求证：CD=2CE(4) 证明线段相互垂直例4:已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上， ADC、 BDO为等腰三角形, AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。5、中考点拨：例1.如图，在 ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点 E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF = DE ,连结FC . 求证：/ F = Z A.例2如图，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使AE=BD ,连接CE、DE.求证：EC=

6、EDE八F/、 jf n IA/ ； BCD题型展示: 例 1 如图， ABC 中，/ C = 2/ B，/ 1 = Z 2。求证：AB = AC + CD .【实战模拟】1. 下列判断正确的是( )(A )有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(B )有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等(C) 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D) 有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CD丄AB于点D,BE丄AC于点E,BE、CD交于点0,且AO平分/ BAC.求证：0B= 0C.3. 如图，已知 C为线段AB上的一点，相交于F点，BM和CN交于E点。求证:

7、ACM和 CBN都是等边三角形， AN和CMCEF是等边三角形。14如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线.求证： AD H例4.已知：如图4所示,AB = AC , Z A 90 , AEBF, BD DC。求证：FD丄ED例5.已知：如图 6所示在 ABC中， B 60，/ BAC、/ BCA的角平分线 AD、CE 相交于0。 求证：AC = AE + CD例6.已知：如图7所示，正方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上， EAF 45。求证：EF = BE + DFG BE C4、中考题：如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使 AE = BD，连结

8、 CE、DE。求证：EC= ED例题：已知：如图 9所示， 1 2 , AB AC。求证：BDD CCB DE图91.已知：于E,且有如图AC11所示，ABC中，AD CE。求证：CDE90，11 CD2D是AB上一点，DE丄CD于D，交BCC訓.”EAD 图11B2已知：如图12所示，在 ABC中， A 2 B , CD是/ C的平分线。求证：BC = AC + ADAD /3.已知：如图13所示，过 ABC的顶点A，在/ A内任引一射线，过 B、C作此射线的 垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP = MQJ-P图134. ABC 中， BAC 90BC 于 D，求证：AD 丄 AB

9、 AC BC4例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点,CE=CD , DM丄BC，垂足为M。M是BE的中点。求证:E例2.如图，已知： ABC中，AB AC , D是BC上一点，且AD DB , DC CA ,求 BAC的度数。例3.已知：如图,ABC 中，AB AC , CD1如图, ABC 中，AB = AC,/ A = 36DAB于D。求证:BAC 2 DCB 。ACBD、CE分别为/ ABC与/ ACB的角平分线，且相交于点 F，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个 B. 7个D. 9个C. 8个2.）已知：如图，在 ABC中，AB = AC , D

10、是BC的中点，DE丄AB , DF丄AC , E、F分别是垂足。求证： AE = AF 。C例 1如图， ABC 中，AB AC, A 100 , BD 平分 ABC。 求证：AD BD BC。5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（)A. 2 cmB. 8cmC. 2cm 或 8cm1.选择题：等腰三角形底边长为D.以上都不对2.如图，ABC是等边三角形,CBD 90，BD BC，贝V 1的度数是3.求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上4. ABC 中，AB AC， A 120，AB的中垂线交 AB于D，交CA延长线于E，求证：DE1 -BC 。2AE . D