中考数学压轴题专题复习圆的综合.docx
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中考数学压轴题专题复习圆的综合
2017中考专题复习——圆
题型一、勾股定理在圆中的应用
1、（2012成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过
切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：
KE=GE；
CD延长线上一点
E作⊙O的
（2）若
KG
2
=KD·GE，试判断
AC与
EF的位置关系，并说明理由；
3
（3）在
（2）的条件下，若sinE=，AK=23，求FG的长．
5
2、（2014?
孝感）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：
AC平分∠DAB；
（2）求证：
△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
3、（2015?
黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC
为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．
（1）求证：
∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？
若不发生变化，请求出
其值；若发生变化，请说明理由．
4、（2013?
成都模拟）已知：
如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中
点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．
（1）求证：
AM?
MB=EM?
MC；
（2）求sin∠EOB的值；
（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：
直线PE是⊙O的切线．
5、（2012?
杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT
交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT
于点B，已知∠EAT=30°，AE=3
，MN=2
．
（1
）求∠COB的度数；
（2
）求⊙O的半径R；
（3
）点F在⊙O上（
是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它
的两个顶点分别与点
另一个顶点在⊙O
E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？
你能在其中找出
上的三角形吗？
请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC
的周
6、（2011?
潍坊）如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
（1）求证：
△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
（3）求证：
当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．
专题二、三角函数在圆中的应用
1、（2014成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交
⊙O于另一点D，垂足为E.设P是⌒上异于A,C的一个动点，
AC
射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
（1）求证：
△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，⌒=⌒，求PD的长；
APBP
（3）在点P运动过程中，设AG
x，tanAFD
y，
BG
求y与x之间的函数关系式
.（不要求写出x的取值范围）
tanAFD
AE
，
FE
2、（2012?
襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点
的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接
E、F，过点BC，AF．
B作
PO
（1）求证：
直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
3、（2014?
武侯区校级自主招生）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O
于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F．
（1）求证：
PF2=EF?
FD；
（2
）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=
时，求PF的长；
（3
）在
（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？
并证明你的结论．
4、（2014?
盘锦）如图，△ABC中，∠
重合），以AG为直径的⊙O交AB于点
连结DE．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
C=90°，点G是线段
D，直线EF垂直平分
AC上的一动点（点G不与A、C
BD，垂足为F，EF交BC于点E，
（2）若
cosA=
，AB=8
，AG=2
，求
BE
的长；
（3）若cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围．
专题三、相似三角形与圆的综合应用
1、（2010）已知：
如图，
ABC内接于O，AB为直径，弦CE
AB于F，C是AD的
中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．
1
P是
ACQ
的外心；
（）求证：
（2）若tan
ABC
3,CF
8,求CQ的长；
4
（3）求证：
（FP
PQ）2
FPFG．
2、（2014?
镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，
∠EAB=∠ADB．
（1
）求证：
EA是⊙O的切线；
（2
）已知点B是EF的中点，求证：
以
A、B、C为顶点的三角形与
△AEF相似；
（3
）已知AF=4，CF=2．在
（2）条件下，求AE的长．
3、（2013?
桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：
点D在⊙O上；
（2）求证：
BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．
4、（2012?
泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，
AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1
）试判断线段
AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2
）若PC=2
，求⊙O的半径和线段
PB的长；
（3
）若在⊙O上存在点Q，使△QAC
是以AC为底边的等腰三角形，求⊙
O的半径r的取值范
围．
5、（2012?
德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作
⊙O的切线交直线AC于点
D，点E为CH
的中点，连接
AE
并延长交
BD
于点
F，直线
CF
交
AB的延长线于G．
（1）求证：
AE?
FD=AF?
EC；
（2）求证：
FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
6、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与三角形的三边切于点
D,E,F，连接
AD与内切圆相交于点P，连接PC,PE,PF,FD,ED，且PC⊥PF。
（1）求证：
△PFD∽△PDC；
（2）EP
PD
DE
DC
7、（2012?
十堰）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，
OD交⊙O于点E．
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：
以
O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．
8、（2004?
武汉）已知：
如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、
CE，∠CBD的平分线交CE于I点．
（1）求证：
BE=IE；
（2）若AI⊥CE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，
求AT?
AG的值；
（3）设P为线段AB
上的一个动点（异于
A、B），连接
PD交
y轴于
M点，过
P、M、B
三点
作⊙O1交y轴于另一点
N．设⊙
O1的半径为
R，当
时，给出下列两个结论：
①
MN
的长度
不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确
的结论并求出其值．
专题四、圆中的面积问题
（2013）如图，⊙
O
的半径
r
25
，四边形
ABCD
内接圆⊙
O
，
AC
BD
于点
1、
H，P为CA延长线上的一点，且
PDA
ABD.
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若tan
ADB
3
，PA
4
3
3
4
3
AH，求BD的
长；
（3）在
（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.
2、（2013?
钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与
AB
边相切于点
D，与
AC、BC
边分别交于点
E、F、G，连接
OD，已知
BD=2，AE=3，tan∠BOD=
．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：
AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
3、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:
CA
＝4:
3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：
AC·CD＝PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？
并求这个最大面积S．
C
A
D
OB
P
4、（四川省成都市2009）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O
交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，
连结OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：
AE＝BF；
（3）若OG·DE＝3（2－
2），求⊙O的面积．
F
CG
D
E
AOB
⌒
5、如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上的
任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以D为圆心、DE长为半径作⊙点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若
S
＝4
3，求△ABC的周长．
DE2
A
D，分别过
C
PD
B
E
O
6、如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2．
（1）求证：
四边形AO1BO2是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：
CE＝2O2D；
（3）在
（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．
专题五、中点在圆中的应用
1、（2011）已知：
如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K。
过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O
及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：
AE=CK；
1
（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK
3
的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH
的长．
2、（2014?
长沙）如图，以△ABC的一边
中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点
ABE．
为直径作⊙
O，⊙O
与
BC
边的交点恰好为
BC
的
（1）求证：
DE⊥AC；
（2）若
AB=3DE
，求
tan∠ACB
的值．
3、（2014?
广安）如图，AB为⊙O的直径，以BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE
（1）求证：
E是AC的中点；
AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
4、（2010?
苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC
长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：
OE∥AB；
（2）求证：
EH=AB；
（3）若，求的值．
5、011?
广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形
DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：
B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：
MN=
OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线
段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=
OM1是否成立？
若是，请证明；若不是，
说明理由．
6、（2011?
金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内
作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过
点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？
若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
/2015中考圆答案
1、（略）
2、（2014?
孝感）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂
足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：
AC平分∠DAB；
（2）求证：
△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
解答：
解：
（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．
（3）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，．
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
2
2
2
∵PC+OC=OP，
2
2
2
∴（4k）+7
=（3k+7），
∴k=6（k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．
3、（2015?
黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC
为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．
（1）求证：
∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？
若不发生变化，请求出
其值；若发生变化，请说明理由．
解答：
（1）证明：
连接AB，
∵OP⊥BC，∴BO=CO，∴AB=AC，又∵AC=AD，∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．
（2）解：
过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，
则AN=m，
∴∠ANB=∠AMC=90°，
在△ABN和△ACM中
，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）
∴BN=CM，AN=AM，
又∵∠ANF=∠AMF=90°，
在Rt△AFN和Rt△AFM中
，
∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），
∴NF=MF，
∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF，
=BN+CM=2BN=n，
∴BN=，
2
2
2
2
2
∴在Rt△ABN中，AB
=BN+AN
=m+
=m+，
2
2
2
2
2
，
在Rt△ACD中，CD
=AB+AC=2AB=2m+
∴CD=
．
（3）解：
的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴
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