高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题06三角恒等变换与解三角形练习理.docx

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高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题06三角恒等变换与解三角形练习理

　三角恒等变换与解三角形

.已知,则α（）.

.

解析▶因为（αα）,

所以αα,

而α,故选.

答案▶

.在△中,角所对的边长分别为,其中>且（）,则角等于（）.

..或

..或

解析▶由诱导公式可得（）（π）,

利用正弦定理可得,解得,

即或,

又>,所以,故选.

答案▶

.在△中分别是角的对边,若成等比数列,且,则的值为（）.

.

.

解析▶由成等比数列得,

代入,得,

则,故选.

答案▶

.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为°,沿向北偏东°方向前进后到达处,在处测得水柱顶端的仰角为°,则水柱的高度为. 

解析▶如图所示⊥平面,∠°,∠°,∠°.设,则,

同理可得.

在△中··°,

则（）×××,

化为,解得,

因此水柱的高度是.

答案▶

能力

▶能熟练进行三角恒等变换和求值

【例】（）设α∈,β∈,且α,则（）.

αβαβ

αβαβ

（）已知,α∈β,β∈（,π）,则（αβ）的值为. 

解析▶（）由α,得,即αβαβα,

所以（αβ）α.

又α,

所以（αβ）.

因为α∈,β∈,

所以<αβ<<α<.

所以αβα,所以αβ.

（）因为α∈,所以α∈.

因为,所以,

所以α

××,

所以α.

因为β,β∈（,π）,所以β,

所以ββ,

所以（αβ）αβαβ××.

答案▶（）（）

三角恒等变换中的“四大策略”:

（）常值代换:

特别是“”的代换,如θθ°.

（）项的分拆与角的配凑αα（αα）α,α（αβ）β等.

（）降幂与升幂:

正用和逆用二倍角公式.

（）弦、切互化:

切化弦,弦化切,减少函数种类.

已知α∈,且α.

（）求α的值;

（）若（αβ）,β∈,求β的值.

解析▶（）∵α∈,且α,

∴α,

故ααα.

（）∵α∈,β∈,

∴αβ∈.

由（αβ）得（αβ）,

故β[（αβ）α]

（αβ）α（αβ）α

××

.

能力

▶正弦定理、余弦定理的简单应用

【例】已知△的内角的对边分别为,且.

（）求角的大小;

（）设为边上的一点,且,求的值.

解析▶（）在△中,∵,

∴,

即,

∴,则,∴.

（）∵,

由余弦定理可得∠,

∴∠,

又,

∴△为等边三角形,∴.

在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.

已知△的三个内角的对边分别为,且.

（）求角的大小;

（）若△,求边.

解析▶（）

.

由正弦定理得,

化简得,

由余弦定理得.

∵∈（,π）,∴.

（）由（）知,

又△·,∴.

由余弦定理得·（）,

∴.

能力

▶会解三角形与三角函数的综合问题

【例】在△中,角的对边分别为,△的面积为,且（）.

（）求角的大小;

（）若（）,且当时（）取得最大值,试求的值.

解析▶（）由已知得×（）,即.

因为∈（,π）,所以.

（）（）

.

当π（∈）,即π（∈）时（）.

因为∈（,π）,所以,

故π,

所以.

求解有关解三角形与三角函数的综合问题,要注意三角形内角的范围,一般是先定角,再定范围,最后利用三角函数的单调性和倍角公式进行转化.

设函数（）.

（）求（）的单调递增区间;

（）若角满足（）,△的面积为,求的值.

解析▶（）（）.

令π≤≤π∈,

得π≤≤π∈.

∴（）的单调递增区间为∈.

（）由题意知（）,

∵<<π,∴<<,

∴,解得.

∵,∴.

又,

化简得（）,

则（）,∴.

能力

▶熟练解决三角形中的几何计算问题

【例】如图,在△中,内角的对边分别为,已知均为线段上的点,且,∠∠.

（）求线段的长;

（）求△的面积.

解析▶（）由得.

因为,所以.

由余弦定理得,所以,即.

在△中,

所以··,

所以.

（）因为是∠的平分线,

所以.

又,所以,

所以.

因为,所以,

所以△△△××××××.

求三角形的中线或角平分线长度,常借助中线与角平分线把一个三角形分为两个三角形,分析两个三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解.

在锐角△中,角所对的边分别为,,已知（）.

（）证明.

（）若△的面积为线段的中点,求.

解析▶（）因为（）,

所以（）,

所以（）,

所以.

又<<,所以,即.

（）因为···,

所以.

在△中∠,

在△中∠,

又∠∠π,

所以∠∠,

由,代入数据得,得.

一、选择题

.若α∈（,π）,且αα,则（）.

.

解析▶由αα得,

化简可得.

因为α∈（,π）,所以∈,所以≠,

所以,即,故选.

答案▶

.在△中,角的对边分别为,且满足,则△的面积等于（）.

解析▶因为,

所以,即,

则△的面积,

故选.

答案▶

.已知直线的倾斜角为α,则αα（）.

..

解析▶由题意知α,所以αα,故选.

答案▶

.若△的内角所对的边分别为,已知,且,则等于（）.

....

解析▶由,

得,

所以.

又,由余弦定理得×,得,故选.

答案▶

.已知θ为第三象限角,则θθ（）.

..

解析▶由,

得θ.

由同角三角函数基本关系式,

得解得θθ.

因为θ为第三象限角,

所以θθ,

则θθ,故选.

答案▶

.某人要利用无人机测量河流的宽度,如图,从处测得正前方河流的两岸的俯角分别为°,°,此时的高是米,则河流的宽度等于（）.

米（）米

（）米（）米

解析▶如图所示,∠°,因为°（°°）,

在△中米,所以°×（）米.

在△中,∠°米,所以°米,所以（）（）米,

所以河流的宽度等于（）米,故选.

答案▶

.为了得到函数的图象,只需将函数（）的图象（）.

.向右平移个单位长度

.向右平移个单位长度

.向左平移个单位长度

.向左平移个单位长度

解析▶由已知得,

（）,

所以要得到函数的图象,只需要将函数（）的图象向左平移个单位长度,故选.

答案▶

.已知函数（）（ωφ）（>,ω><φ<π）的部分图象如图所示,且（α）,α∈,则（）.

..±

.

解析▶由图象可得π,解得ω,

故（）（φ）,

代入点可得,

∴,

即有φπ（∈）,

∴φπ（∈）,

又∵<φ<π,∴φ,

故（）.

又∵（α）,

∴.

∵α∈,∴α∈,

∴,故选.

答案▶

二、填空题

.若α∈,且α,则α的值为. 

解析▶因为α,

所以ααα,

两边平方得α（α）,

即（α）α,

整理得（α）（α）,

又α∈,所以α或α（舍去）.

答案▶　

.在△中,角所对的边分别为,△的面积为,若,且,则. 

解析▶　∵,

∴,

∴（）,

即,则.

∵,

∴,

则,

即,

∴,

∴°.

答案▶°

三、解答题

.△的内角所对的边分别为.已知,且.

（）求的值.

（）证明:

△的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.

解析▶（）∵,

∴,即,

则.

（）∵,

∴或.

若,则,∵×,∴;

若,同理可得.

故△的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.

.在△中,角的对边分别为,已知.

（）求的值;

（）若角是钝角,且,求的取值范围.

解析▶（）由题意及正弦定理得,

∴（）.

∴（）（）.

∵π,∴,∴.

（）由余弦定理得<,∴>.　①

∵>,即>,∴<.　②

由①②得的取值范围是（）.

.在△中,角的对边分别为,且满足.

（）求角的正弦值;

（）若,求△面积的最大值.

解析▶（）∵,

∴.

由正弦定理得,

整理得,

∴.

在△中≠,

∴,∴.

（）由余弦定理得,

∵.

∴≥,

∴≤,当且仅当时,取等号.

∴△的面积≤,

∴△面积的最大值为.