高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题06三角恒等变换与解三角形练习理.docx

1、高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题06三角恒等变换与解三角形练习理三角恒等变换与解三角形.已知,则 (). . 解析因为( ),所以 ,而 ,故选.答案.在中,角所对的边长分别为,其中且(),则角等于(). .或. .或解析由诱导公式可得()() ,利用正弦定理可得 ,解得 ,即或,又,所以,故选.答案.在中分别是角的对边,若成等比数列,且,则 的值为(). . 解析由成等比数列得,代入,得,则 ,故选.答案.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为,沿向北偏东方向前进 后到达处,在处测得水柱顶端的仰角为,则水柱的高度为.

2、解析如图所示平面 ,.设 ,则 ,同理可得 .在中 ,则(),化为,解得,因此水柱的高度是 .答案 能力能熟练进行三角恒等变换和求值【例】()设,且 ,则(). ()已知, ,(,),则()的值为.解析()由 ,得,即 ,所以() .又 ,所以().因为,所以.所以,所以.()因为,所以.因为,所以,所以 ,所以 .因为 ,(,),所以 ,所以 ,所以() .答案()()三角恒等变换中的“四大策略”:()常值代换:特别是“”的代换,如 .()项的分拆与角的配凑(),()等.()降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式.()弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.已知,且 .()求 的值;()若(),

3、求 的值.解析(),且 , ,故 .(),.由()得(),故 ()() () .能力正弦定理、余弦定理的简单应用【例】已知的内角的对边分别为,且 .()求角的大小;()设为边上的一点,且,求的值.解析()在中, ,即 ,则 ,.(),由余弦定理可得,又,为等边三角形,.在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.已知的三个内角的对边分别为,且.()求角的大小;()若,求边.解析().由正弦定理得,化简得, 由余弦定理得 .(,),.()由()知,又 ,.由余弦定理得(),.能力会解三

4、角形与三角函数的综合问题【例】在中,角的对边分别为,的面积为,且().()求角的大小;()若() ,且当时()取得最大值,试求的值.解析()由已知得 () ,即 .因为(,),所以.()() .当(),即()时().因为(,),所以,故,所以 .求解有关解三角形与三角函数的综合问题,要注意三角形内角的范围,一般是先定角,再定范围,最后利用三角函数的单调性和倍角公式进行转化.设函数().()求()的单调递增区间;()若角满足(),的面积为,求的值.解析()() .令,得.()的单调递增区间为.()由题意知(),解得. ,.又,化简得(),则(),.能力熟练解决三角形中的几何计算问题【例】如图,在

5、中,内角的对边分别为,已知 均为线段上的点,且,.()求线段的长;()求的面积.解析()由 得 .因为,所以 .由余弦定理得 ,所以,即.在中,所以 ,所以.()因为是的平分线,所以.又,所以,所以.因为 ,所以 ,所以.求三角形的中线或角平分线长度,常借助中线与角平分线把一个三角形分为两个三角形,分析两个三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解.在锐角中,角所对的边分别为, ,已知( ) .()证明.()若的面积 为线段的中点,求.解析()因为( ) ,所以 ( ) ,所以() ,所以 .又,)的部分图象如图所示,且(),则(). . 解析由图象可得,解得,

6、故()(),代入点可得,即有(),(),又,故().又(),.,故选.答案二、填空题.若,且 ,则 的值为.解析因为 ,所以 ,两边平方得( ),即() ,整理得( )( ),又,所以 或 (舍去).答案.在中,角所对的边分别为,的面积为,若,且 ,则.解析, ,() ,即 ,则. , ,则,即, ,.答案三、解答题.的内角所对的边分别为.已知 ,且 .()求的值.()证明:的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.解析() ,即,则.(),或.若,则 , ,;若,同理可得.故的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.在中,角的对边分别为,已知.()求的值;()若角是钝角,且,求的取值范围.解析()由题意及正弦定理得 , ( ).()()., ,.()由余弦定理得 .,即,.由得的取值范围是().在中,角的对边分别为,且满足.()求角的正弦值;()若,求面积的最大值.解析(), .由正弦定理得 ,整理得 , .在中 , , .()由余弦定理得 ,.,当且仅当时,取等号.的面积,面积的最大值为.