例说数学核心素养和科学精神.docx

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例说数学核心素养和科学精神

例说数学核心素养和科学精神

　　　　　　例说数学核心素养和科学精神　　彭翕成　　一、区分知识与素养　　数学有用没用？

　　很多人认为数学很重要，但同样有很多人害怕数学，质疑数学在生活中有什么用呢？

即使是每天和数学打交道的数学老师，不少都有困惑。

有老师说，我除了教数学，还能干什么？

言下之意，他所学的数学，除了教学应付考试，此外毫无用处。

　　一个老师给学生讲数学的重要性。

举例说，最近买房，是贷款20年划算，还是30年划算，是等额还款，还是等本还款，考虑我的工资收入以及工资涨幅，还有通货膨胀，我算了好几天，觉得我省了不少。

这时，学生说，我家里有五套房。

你和学生谈数学的重要性，他会告诉你房子的重要性。

　　国外的调研表明，大多数人认为在工作生活中用到的只是简单的小学数学。

如果你不服气，可以做一个实验。

假设你有50个学生，让学生家长回忆最近一星期的工作和生活，用到了哪些数学。

四则运算小学水平、二次函数水平、三角函数水平、微积分水平？

你可以把从小学到大学主要数学知识点列一下，让家长勾选。

看看结果如何？

　　既然这么多人对数学的有用性提出质疑，就要去想一想，为什么会这样，这些人都是傻子么？

事实上，这是因为大家将具体的数学知识和更抽象的数学素养相混淆。

　　米山国藏有一段话，流传很广：

在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。

然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。

　　我很赞同曹亮吉教授的一个观点：

学数学学什么？

从实用性来说，算术以及一点点几何与代数。

从考试角度来说，就是背诵套用公式，做各种计算。

但如果换个角度看，万事万物无不隐藏数与形，以及数与形的模式。

把学习数学的眼界，从纯粹的数与形以及狭义的规则与定律，提升到隐藏于万事万物中的数与形，以及广义的规则与定律——模式。

数学不再是枯燥抽象的，再是似乎很有用、但不知用在哪里的知识。

经过发现、转化、解题、沟通及评析等种种步骤，把数学与生活以及其他学习领域合在一起，数学才能变得具体而有用。

　　数学知识可能用得少，但数学素养时时影响着我们。

科学精神和数学核心素养概念学生发展核心素养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，综合表现为9大素养，具体为社会责任、国家认同、国际理解；人文底蕴、科学精神、审美情趣；身心健康、学会学习、实践创新。

　　其中科学精神是指个体在学习、理解、运用科学知识和技能等方面表现的价值标准、思维方式和行为规范，包括三个方面：

　　1.崇尚真知。

重点是学习科学技术知识和成果；掌握基本的科学方法；有真理面前人人平等的意识等。

　　2.理性思维。

重点是尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；理性务实，逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、规范行为等。

　　3.勇于探究。

重点是有百折不挠的探索精神；能够提出问题、形成假设，并通过科学方法检验求证、得出结论等。

　　具体到数学核心素养，也是三个方面，六个关键词：

　　1：

用数学的眼光观察世界，发展数学抽象，直观想象素养。

2：

用数学的思维分析世界，发展逻辑推理，数学运算素养。

3：

用数学的语言表达世界，发展数学建模，数据分析素养。

　　数学核心素养是数学课程目标的集中体现。

问题是，考试高压使得教学的绝大多数时间都花在应试上，对学生素养的培养关注较少。

笔者认为，只要教师加以重视，选取合适的教学案例，采用探究的眼光，无需另外增加课时专门培养学生素养，在日常教学中完全可以逐步渗透。

　　二、通过案例理解素养　　例1、数学抽象：

龟兔赛跑　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。

主要包括：

从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

　　龟兔赛跑的故事，是大家很熟悉的。

兔子本来跑在前面，但于骄傲，路上睡了一觉，结果输给了乌龟。

作为文学作品来说，当然要大力渲染兔子的骄傲自满，乌龟的坚持不懈。

而从数学角度来看，则可抽象为下面的行程图。

　　　　文字转成图象，显得更加简洁直观。

但从具体到抽象，难免会丢失一些信息。

仅从行程图来看，我们可以编出另一个故事。

　　兔子原本跑在前面，在路上捡到一个钱包，坐等失主，结果眼睁睁地看着乌龟跑到前面去了。

内心挣扎啊，可兔子还是坚持等失主，虽然输了比赛，但一点都不后悔。

　　从正版的龟兔赛跑故事中，有人总结出：

前进速度虽然慢，但只要坚持不懈，是可以超越那些走走停停、没有毅力的对手的。

另外，像水滴石穿、愚公移山这些故事也充分表达了努力坚持的重要性。

　　而从数学角度看来，这些故事都可以用阿基米德原理来表述：

对于任意正实数a（a≠0）、b，必有自然数n，使na>b。

　　例2、直观想象：

烟囱也懂微积分——正多边形如何逼近圆？

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。

主要包括：

借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

　　一个正n边形，当边数越来越大，多边形越来越像一个圆。

正如刘徽的“割圆术”所述:

“割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

”　　如何向初学者解释，使之更深刻地理解这一点呢？

　　方式一、画出多个正n边形。

下图是给出n=5,8,14时的情景。

　　方式二、利用动态几何软件，或Flash等工具，作出动态图形。

也就是将n从小到大的图像动态化演示。

动态演示，很形象，但需要依靠计算机，没计算机就不好办了。

方法1虽然可以手工完成，但画一个正14边形也挺繁琐。

还有其他办法么？

　　有一天，我想到了烟囱。

　　　　造纸厂的大烟囱，大家都见过吧。

每一块砖是一个长方体，但从大的格局来看，不妨将之看作是一条直线段。

我们用这些砖围成一圈，按道理来说，围成的是一个正多边形。

但总体看起来，却极像一个圆。

　　烟囱很大，砖块很小。

每块砖的长度就相当于正n边形的边长，其中n就是围一圈所需的砖块数。

　　“以直代曲”是微积分中基本思想之一。

　　很少有人想到烟囱也懂微积分吧！

真是生活处处皆数学。

　　同时，本案例也提醒我们，眼见未必为实。

烟囱看似是圆，实则是正多边形。

　　例3、逻辑推理：

荒唐的乘法　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。

主要包括两类：

一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

　　课堂上，学生开小差，老师批评了他，老师说：

“就是因为你一个人，耽误了一分钟，全班50个人，就耽误了大家50分钟，你不觉得愧疚吗？

”　　我不止一次看到有老师这样算账，也没有去思考这样计算是否合理。

直到有一天看新闻联播，一位播音员略微卡了一下，停顿了秒，我就想，此时若有一千万人在看电视，则耽误了这一千万观众的时间有10_*/3600/24≈天。

这个播音员罪过不小啊。

　　新闻联播默认是30分钟，有时新闻少，最后十几秒就播放播音员整理稿子的场景。

这样算起来更加恐怖，耽误了这一千万观众的时间有10_*10/3600/24≈1157天≈年。

　　诚然，公共场合，特别是央视这种大平台，小差错也会造成大的影响。

但这种影响很难量化，更不能如此简单的量化。

　　通过逻辑推理，我们发现老师批评学生耽误大家时间的算法，是存在问题的。

　　例4、数学运算：

负数运算与六尺巷　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。

主要包括：

理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

　　清康熙年间，张英的老家人与邻居吴家在宅基的问题上发生了争执，因两家宅地都是祖上基业，时间又久远，对于宅界谁也不肯相让。

双方将官司打到县衙，又因双方都是官位显赫、名门望族，县官也不敢轻易了断。

于是张家人千里传书到京城求救。

张英收书后批诗一首云：

\一纸书来只为墙，让他三尺又何妨。

长城万里今犹在，不见当年秦始皇。

\张家人豁然开朗，退让了三尺。

吴家见状深受感动，也让出三尺，形成了一个六尺宽的巷子。

　　此事传为佳话，至今不绝，告诉我们做人做事要忍让包容。

联系数学则是，A和B原来挨在一起，A往一方向走了3尺，记为+3，B往相反方向走了3尺，记为-3，此时A和B相隔多远？

+3-（-3）=6。

　　此案例对理解负数运算较有帮助。

例5、数学建模：

两对父子三个人？

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。

主要包括：

在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。

　　有一个经典谜语：

古时候，两对父子去打猎，每人都猎得一只老虎，回家数一数，总共只有三只虎。

为何？

原来的谜底很简单，就是爷爷、爸爸、儿子祖孙三代，爷爷和爸爸是一对父子，爸爸和儿子是一对父子。

这样两对父子就是三个人。

　　这个看似是脑筋急转弯的问题，如何用数学语言表达，并构建模型加以解决呢？

　　于虎与人是一一对应的关系，三只虎对应着三个人。

一对父子是两个人，另一对父子也是两个人，并在一起，变成了三个人。

说明这两个父子集合有重合因素。

　　设两对父子为：

父1、子1、父2、子2。

父1和子1构成父子1这个集合，父2和子2构成父子2这个集合，两个集合合并，只有3个元素，说明这两个集合当中有公共元素。

　　设父1=父2，则可推出这两对父子是：

一个爸爸+两兄弟儿子。

　　设父1=子2，则可推出这两对父子是：

爷爷、爸爸、儿子祖孙三代。

设子1=父2，则可推出这两对父子是：

爷爷、爸爸、儿子祖孙三代。

　　设子1=子2，这种情况一般不存在，因为一个人不可能有两个爸爸。

如果是养父、岳父之类，就另当别论。

　　这样分析发现传统解答漏解。

使用集合进行讨论，则不重不漏，所有情况都包含在内。

这一过程也是数学建模的过程：

将非数学问题转化成数学问题，将数学问题转化成解方程的问题。

这样一来，“两对父子三个人”这样的脑筋急转弯问题和下面这道考题本质是一样的：

设A?

{2,4,a3?

2a2?

a?

7}，B?

{?

4,a?

3,a2?

2a?

2,a3?

a2?

3a?

7}，若　　A?

B?

{2,5}，则a?

___，A?

B?

___。

　　　　例6、数据分析：

天之道，损有余而补不足——从老子到高尔顿数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。

主要包括：

收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。

　　老子有一句名言：

天之道，损有余而补不足；人之道，损不足而益有余。

　　我的理解是，自然界的法则是减损多余的，补充不足的，平均化。

社会法则则相反，有的让其更多，没有的让其更少，差距增大。

譬如自然界削平高山，填平低谷，促成均衡；而社会则是强者愈强，弱者愈弱，形成马太效应。

　　老子这一名言与数学有何关联呢？

需要引出高尔顿这个人物。

　　高尔顿研究范围很广，涉及包括人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学、统计学等方面，称之为百科全书式的人物一点都不过分。

八卦一句，他是达尔文的表弟，深受其进化论思想的影响，把该思想引入到人类研究。

　　高尔顿很喜欢调查统计，并分析原因，从中找出规律。

譬如调查了30家有艺术能力的家庭，发现子女也有艺术能力的占64%；而150家无艺术能力的家庭，其子女中只有21%有艺术能力，因此断言艺术能力这种“特殊能力”是遗传的。

当然高尔顿还有其他很多类似的统计，并不只是单单这一个。

在这些统计结果的基础上，高尔顿从遗传的角度研究个别差异形成的原因，开创了优生学。

　　父母个子高的，子女一般个子也高；父母个子不高的，子女个子也不高。

这是我们普遍认可的一种看法。

若仅停留于此，也不足为奇。

　　高尔顿收集分析了400名家长和他们的900多名成年子女的身高，发表论文《遗传中身高的均值回归》，得出了结论：

当父母的身高大于平均水平时，他们的子女往往会比他们矮；当父母的身高小于平均水平时，他们的子女往往会比他们高。

这项研究表明，上一代人身高差异较大，遗传之后身高差异将减少，也就是事物经过时间推移，将变得更平均、更稳定。

高尔顿因此提出了“均值回归”这个概念。

现在知道回归分析是怎么来的了吧。

　　　　从老子的损有余而补不足，到高尔顿的均值回归，思想上有相通之处。

相对于老子的宏观叙述，高尔顿充分利用数据分析的方法，使得结论更加有理有据。

　　数学核心素养虽划分为三个方面，六个关键词，但实则是一个整体。

用数学的眼光观察世界，即人从外界输入信息；用数学的思维分析世界，即人处理信息；用数学的语言表达世界，即人输出信息。

以上案例充分说明了，数学绝不仅等同于解题，数学与我们的学习、生活、工作息息相关。