6.下列变形中,错误的是().
A.若3a+5>2,则3a>2-5B.若,则
C.若,则x>-5D.若,则
二、填空题
7.(2016秋•太仓市校级期末)如果a<b,则﹣3a ﹣3b(用“>”或“<”填空).
8.用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为 .
9.在-l,,0,,2中,能使不等式5x>3x+3成立的x的值是________;________是不等式-x>0的解.
10.假设a>b,请用“>”或“<”填空
(1)a-1________b-1;
(2)2a______2b;
(3)_______;(4)a+l________b+1.
11.已知a>b,且c≠0,用“>”或“<”填空.
(1)2a________a+b
(2)_______
(3)c-a_______c-b(4)-a|c|_______-b|c|
12.k的值大于-1且不大于3,则用不等式表示k的取值范围是_______.(使用形如a≤x≤b的类似式子填空.)
三、解答题
13.现有不等式的性质:
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式),乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变,乘的数(或整式)为负时不等式的方向改变.
请解决以下两个问题:
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0);
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0).
14.①当a=3,b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______;
②当a=-3,b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________;
③当a=1,b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________;
④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______;
⑤用a、b的其他值检验你的猜想______.
15.已知x<y,比较下列各对数的大小.
(1)8x-3和8y-3;
(2)和;(3)x-2和y-1.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C;
【解析】解:
﹣3<0是不等式,x≥2是不等式,x=a是等式,x2﹣2x是代数式,x≠3是不等式,x+1>y是不等式.不等式共有4个.故选C.
2.【答案】D;
【解析】a不是负数应表示为a≥0,故A错误;x不大于5应表示为x≤5,故B错误;
x与1的和是非负数应表示为x+1≥0,故C错误;m与4的差是负数应表示为m-4<0,故D正确。
3.【答案】B.
4.【答案】D;
【解析】从不等式a<b入手,由不等式的性质1,不等式a<b的两边都加上3后,不等号的方向不变,得a+3<b+3,故选项A不成立;由不等式的性质2,不等式a<b的两边都乘以2后,不等号的方向不变,得2a<2b,故选项B不成立;由不等式的性质3,不等式a<b的两边都乘以-1后,不等号的方向改变,得-a>-b,故选项C也不成立;由不等式的性质1,不等式a<b的两边都减去b后,不等号的方向不变,得a-b<0.故应选D.
5.【答案】A.
6.【答案】B;
【解析】B错误,应改为:
,两边同除以,可得:
。
二、填空题
7.【答案】>.
【解析】在a<b的两边同时乘以﹣3,得:
﹣3a>﹣3b,两边同时加上,得:
﹣3a>﹣3b.故答案为:
>.
8.【答案】x2﹣a2≤0;
9.【答案】2;-1、
【解析】一一代入验证.
10.【答案】
(1)>
(2)>(3)<(4)>;
11.【答案】
(1)>
(2)>(3)<(4)<;
【解析】利用不等式的性质进行判断。
12.【答案】-1<k≤3.
三、解答题
13.【解析】
解:
(1)a>0时,a+a>a+0,即2a>a,
a<0时,a+a<a+0,即2a<a;
(2)a>0时,2>1,得2•a>1•a,即2a>a;
a<0时,2>1,得2•a<1•a,即2a<a.
14.【解析】
解:
①当a=3,b=5时,
a2+b2=34,2ab=30,
∵34>30,
∴a2+b2>2ab;
②当a=-3,b=5时,
a2+b2=34,2ab=-30,
∵34>-30,
∴a2+b2>2ab;
③当a=1,b=1时
a2+b2=2,2ab=2,
∵1=1,
∴a2+b2=2ab;
④综合①②③得出结论:
a2+b2≥2ab(a=b时,取“=”).
证明:
∵(a-b)2≥0(a=b时,取“=”),
∴a2+b2-2ab≥0,
∴a2+b2≥2ab.
⑤设a=2,b=2,则a2+b2=2ab=8,上述结论正确;
设a=5,b=3,则a2+b2=34,2ab=30,所以a2+b2>2ab,
综上所述,a2+b2≥2ab(a=b≠0时,取“=”)正确.
15.【解析】
解:
(1)∵x<y∴8x<8y,∴8x-3<8y-3.
(2)∵x<y,∴,
∴.
(3)∵x<y,∴x-2<y-2,而y-2<y-1,
∴x-2<y-1.
拓展:
类型一、不等式的概念
1.有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克,且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形.判断下列正确的情形是().
【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量>5克,3个糖果的质量<16克,依此求出1个糖果的质量取值范围,再在4个选项中找出情形正确的.
【答案】D.
【解析】
解:
由图
(1)知,每一个糖果的重量大于5克,由图
(2)知:
3个糖果的重量小于16克,即每一个糖果的重量小于克.故A选项错;两个糖果的重量小于克故B选项错;三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错,四个糖果的重量小于克故D选项对.
【总结升华】观察图示,确定大小.本题涉及的知识点是不等式,涉及的数学思想是数形结合思想,解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式.
举一反三:
【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体,现用天平秤两次,情况如图所示,那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为( ).
A.■、●、▲B.▲、■、●C.■、▲、●D.●、▲、■
【答案】C.
类型二、不等式的基本性质
2.下面四个命题:
(1),则;
(2),则;(3)若,则;(4)若,则.其中正确的个数是().
A.1个个C.3个D.4个
【答案】B.
【解析】
(1)由得,因为>0,所以,正确;
(2)因为,当时,,所以错误;
(3)因为,当时,没有意义,而当时,,所以错误;
(4)因为,所以,,正确.
【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据,要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点,特别是不等式两边同时乘以(或除以)同一个数时,不仅要考虑这个数不等于0,而且先必须确定这个数是正数还是负数.
举一反三:
【变式1】a、b是有理数,下列各式中成立的是().
A.若a>b,则a2>b2;B.若a2>b2,则a>b
C.若a≠b,则|a|≠|b|D.若|a|≠|b|,则a≠b
【答案】D.
【变式2】若点P(1﹣m,m)在第一象限,则(m﹣1)x>1﹣m的解集为 .
【答案】x<﹣1.
解:
∵点P(1﹣m,m)在第一象限,
∴1﹣m>0,
即m﹣1<0;
∴不等式(m﹣1)x>1﹣m,
∴(m﹣1)x>﹣(m﹣1),
不等式两边同时除以m﹣1,得:
x<﹣1,
故答案为:
x<﹣1.
3.设a>0>b>c,且a+b+c=-1,若M=,N=,P=,
试比较M、N、P的大小.
【答案与解析】∵a+b+c=-1,
∴b+c=-1-a,
∴M==−1−,
同理可得N=−1−,P=−1−;
又∵a>0>b>c,
∴>0>>,
∴−1−<−1<−1−<−1−
即M<P<N.
【总结升华】本题考查不等式的基本性质,关键是M、N、P的等价变形,利用了整体思想消元,转化为a、b、c的大小关系.
4.(2016春•唐河县期中)【提出问题】已知x﹣y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围.
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建另一量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式性质即可获解.
【解决问题】解:
∵x﹣y=2,∴x=y+2.
又∵x>1,∴y+2>1,∴y>﹣1.
又∵y<0,∴﹣1<y<0,…①
同理得1<x<2…②
由①+②得﹣1+1<y+x<0+2.
∴x+y的取值范围是0<x+y<2.
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3,且x<﹣1,y>1,求x+y的取值范围.
【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建另一量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式性质即可获解.
【答案与解析】
解:
∵x﹣y=﹣3,
∴x=y﹣3.
又∵x<﹣1,
∴y﹣3<﹣1,
∴y<2.
又∵y>1,
∴1<y<2,…①
同理得﹣2<x<﹣1…②
由①+②得1﹣2<y+x<2﹣1.
∴x+y的取值范围是﹣1<x+y<1.
【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质
(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.
【巩固练习】
一、选择题
1.下列不等式中,一定成立的有().
①5>-2;②;③x+3>2;④+1≥1;⑤.
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.若a+b>0,且b<0,则a,b,-a,-b的大小关系为( ).
A.-a<-b<b<aB.-a<b<-b<aC.-a<b<a<-bD.b<-a<-b<a
3.若a<b,则下列不等式:
①;②;
③.其中成立的有().
A.1个B.2个C.3个D.0个
4.若0<x<1,则x,,x2的大小关系是().
A.B.C.D.
5.已知a、b、c、d都是正实数,且<,给出下列四个不等式:
①;②;③;④
其中不等式正确的是( ).
A.①③B.①④C.②④D.②③
6.(2016春•丰台区期末)下列不等式变形正确的是( )
A.由a>b,得a﹣2<b﹣2B.由a>b,得﹣a<﹣b
C.由a>b,得D.由a>b,得ac>bc
二、填空题
7.在行驶中的汽车上,我们会看到一些不同的交通标志图形,它们有着不同的意义,如图所示,如果汽车的宽度为xm,则用不等式表示图中标志的意义为________.
8.
(1)若,则a_________b;
(2)若m<0,ma<mb,则a_________b.
9.已知,若y<0,则m________.
10.已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数,则a的取值范围是________.
11.(2016春•济南校级期末)下列判断中,正确的序号为 .
①若﹣a>b>0,则ab<0;②若ab>0,则a>0,b>0;③若a>b,c≠0,则ac>bc;④若a>b,c≠0,则ac2>bc2;⑤若a>b,c≠0,则﹣a﹣c<﹣b﹣c.
12.如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个,那么m的取值范围是________.
三、解答题
13.用不等式表示:
(1)某工人5月份计划生产零件198个,前16天平均每天生产6个,后来改进技术,提前3天,并超额完成任务,设他16天之后平均每天生产零件x个,请写出满足条件的x的关系式;
(2)今年,小明x岁、小强y岁、爷爷m岁;明年,小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄.
14.若a>b,讨论ac与bc的大小关系.
15.根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法.若A-B>0,则A>B;若A-B=0,则A=B;若A-B<0,则A<B.这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”,请运用这种方法尝试解决下列问题.
(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小;
(2)比较a+b与a-b的大小;
(3)比较3a+2b与2a+3b的大小.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B;
【解析】一定成立的是:
①④⑤;
2.【答案】B.
3.【答案】A;
【解析】根据不等式的性质可得,只有①成立.
4.【答案】C;
【解析】∵0<x<1,∴x2≤x≤.
5.【答案】A;
【解析】∵<,a、b、c、d都是正实数,
∴ad<bc,
∴ac+ad<ac+bc,即a(c+d)<c(a+b),
∴,所以①正确,②不正确;
∵<,a、b、c、d都是正实数,
∴ad<bc,
∴bd+ad<bd+bc,即d(a+b)<b(d+c),
∴,所以③正确,④不正确.
故选A.
6.【答案】B.
【解析】A、a>b,得a﹣2>b﹣2,错误;
B、a>b,得﹣a<﹣b,正确;
C、a>b,得,错误;
D、当c为负数和0时不成立,故本选项错误,故选B.
二、填空题
7.【答案】x≤4;
8.【答案】
(1)<,
(2)>;
【解析】
(1)两边同乘以();
(2)两边同除以.
9.【答案】>8;
【解析】由已知可得:
x=4,y=2x-m=8-m<0,所以m>8.
10.【答案】.
11.【答案】①④⑤
【解析】解:
∵﹣a>b>0,∴a<0,b>0,∴ab<0,①正确;
∵ab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0,②错误;
∵a>b,c≠0,∴c>0时,ac>bc;c<0时,ac<bc;③错误;
∵a>b,c≠0,∴c2>0,∴ac2>bc2,④正确;
∵a>b,c≠0,∴﹣a<﹣b,∴﹣a﹣c<﹣b﹣c,⑤正确.
综上,可得正确的序号为:
①④⑤.
12.【答案】9≤m<12;
【解析】3x-m≤0,x≤,3≤<4,∴9≤m<12.
三、解答题
13.【解析】
解:
(1)16×6+(31-16-3)x>198;
(2)3(x+1)+6(y+1)>m+1.
14.【解析】
解:
a>b,
当c>0时,ac>bc,
当c=0时,ac=bc,
当c<0时,ac<bc.
15.【解析】
解:
(1).
∴.
(2)a+b-(a-b)=a+b-a+b=2b,当b>0时,a+b-(a-b)=2b>0,a+b>a-b;
当b=0时,a+b-(a-b)=2b=0,a+b=a-b;
当b<0时,a+b-(a-b)=2b<0,a+b<a-b.
(3)3a+2b-(2a+3b)=a-b当a>b时,3a+2b>2a+3b;
当a=b时,3a+2b=2a+3b;
当a<b,3a+2b<2a+3b.