不等式和不等式组的认识与解法.docx

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不等式和不等式组的认识与解法

不等式和不等式组的认识与解法

知识梳理　

一、不等式

1、概念：

利用不等符号连接的式子叫不等式。

不等符号有：

>、<、≥、≤、≠

注：

1、有些不等式中不含有未知数，有些不等式中含有未知数。

要与方程加以区别。

含有未知数的等式叫方程。

比如2x+5=0是方程，而2x+5>0是不等式。

2、一些常见关键词的隐含条件：

“不大于、最多”就表示“小于等于”,不要把等于忘记了,符号：

≤

 “不超过”也表示“小于等于”  符号：

≤

“不小于、至少”表示“大于等于”符号：

≥

 “不是正数、非正数”表示“0和负数”符号：

≤0

“非负数、不是负数”表示“0和正数”符号：

≥0

二、一元一次不等式：

含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。

不等式的解集：

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。

而求不等式解集的过程叫做解不等式。

三、不等式的性质：

【重点】

性质①、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的

方向不变）；

性质②、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号

的方向不变）；

性质③、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。

注：

不等式左右两边同乘或同除以一个数或已知符号的式子时，这个数或式子的值绝对不能是零，否则无意义；注意：

要与等式的性质相区别：

最大区别就是不

等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向。

不等式组

知识点一：

一元一次不等式组

由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

要点诠释：

在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：

（1）不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；

（2）在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点二：

一元一次不等式组的解集

组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.

要点诠释：

（1）求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分

（2）用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：

知识点三：

一元一次不等式组的解法

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤为：

（1）分别解不等式组中的每一个不等式；

（2）将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；

　　（3）根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集（若没有公共部分，说明这个不等式组无解）.

要点诠释：

用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：

大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

知识点四：

利用不等式或不等式组解决实际问题

　　列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即

（1）审：

认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：

设出适当的未知数；

　　（3）找：

找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

　　（4）列：

根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；

　　（5）解：

解出所列的不等式或不等式组的解集；

　　（6）答：

检验是否符合题意，写出答案。

要点诠释：

在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。

注意积累利用一元一次不等式或不等式组解决实际问题的经验。

规律方法指导

知识要点

总结

注意问题

1．一元一次不等式组的解法

2．一元一次不等式组的应用

1．一元一次不等式组的解题步骤：

①先整理一元一次不等式组；

②分别求两个不等式的解集；

③利用数轴找到解集的公共部分；

④写出不等式组的解集

2．一元一次不等式组的应用：

①先根据题意列出一元一次不等式组；

②解这个一元一次不等式组；

③根据实际意义找出符合题意的相关整数解；

④下结论．

1．解不等式组时，容易出现两个解集不符合符号方向的错误

2．利用数轴来确定解集时，两个端点处是空心还是实心容易出现错误

3．利用一元一次不等式组解决实际问题时，容易忽视实际问题的意义

解题方法总结

1．能利用数轴找解集的尽可能应用

2．利用数轴找整数解应找全面

教学重、难点

作业完成情况

典题探究

【例1】满足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于            。

【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.

   解：

原不等式去分母，得

   3（2＋x）≥2（2x－1），解得：

x≤8.

   满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.

这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.

【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（    ）.

【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.

   解：

关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为

   关于x的方程的解为

   由题意得，解得.因此选D.

【例3】如果，2+c>2，那么（     ）.

   A.a-c>a+c      B.c-a>c+a

   C.ac>-ac        D.3a>2a

【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.

   解:

由

   所以a<0.

   由2+c>2，得c>0，答案：

B

【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于            .

【分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.

   解：

设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.

   由<19，

   解得7

   由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.

　由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．

　【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

　【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：

　解：

（1）当x≤时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，

　解得x<-7，结合x≤，故x<-7是原不等式的解；

（2）当＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1，

　解得是原不等式的解；

　（3）当x＞5时，原不等式化为：

x-5-（2x+3）＜1，

　解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．

　综合

（1），

（2），（3）可知，是原不等式的解．

【例6】关于x的不等式组的解集为，求a、b的值。

【分析】解此类不等式，是用构造方程法：

先解出不等式组的解集，再根据已知条件列成方程组，解出结果。

解：

解原不等式组的解为2a-3b≤x≤2b-2/3a

由已知条件得方程组2a-3b=-5

2b-2/3a=2

解得：

a=-2,b=1/3

【例7】若不等式无解，则m的取值范围是.

【分析】解无解类不等式组，常用反解法：

解：

由原不等式组得2m-1

m≥2

如：

关于x的不等式组无解，求a的取值范围。

答案：

a≥3

【例8】若不等式组的解集为，求a的取值范围。

解：

由题意得：

a－1≤3且3

【例9】不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是

解：

解原不等式组得：

x>2

x>m+1

由不等式组解集是x>2，根据大大取大的法则得：

m+1≦2，解得：

m≤1

【例10】不等式组x+9﹥5x+1

x﹤m+1的解集是x﹤2，则m的取值范围是

解：

解原不等式组得：

x﹤2

x﹤m+1

由不等式组解集为x﹤2，根据同小取小的法则得：

m+1﹥2，所以m﹥1

【例11】不等式组x+9﹤5x+1

x﹤m+1的解集是x>2，则m的取值范围是

解：

解原不等式组得：

x>2

x﹤m+1

由不等式组解集为x>2所以m的范围为空集，无解。

注意：

一个不等式组中有解的情况下，两个不等式都是大大、小小都有解，一大一小时，取值范围为空集（如例11形式）。

【例12】如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a，b）共有多少个？

请说明理由。

分析解答：

把原不等式组化为最简形式，得

由于不等式组有解，解集必为

又由于它的整数解仅为1，2，3，所以

从而

于是，整数a取1～9共9个整数，整数b取25～32共8个整数。

故有序数对（a，b）共有9×8即72对。

【例13】若不等式组有五个整数解，则a＝_________

分析解答：

把原不等式化为最简形式，得

由于不等式组有解，解集必有

又它有五个整数解，这五个整数解只能是－3，－2，－1，0，1

故a的取值范围是

【例14】若不等式组的解集为，则的值为_______。

分析解答：

把原不等式组化为最简形式，得

由于，所以

于是

解得a＝1，b＝－2

故

【例15】已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为。

解：

第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=1﹣2k，

根据﹣1＜x﹣y＜0得到：

﹣1＜1﹣2k＜0

即解得＜k＜1

k的取值范围为＜k＜1．

【例16】如果不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是。

解：

由x+7＜3x+7移项整理得，2x＞0，∴x＞0，

∵不等式组的解集是x＞4，

∴n=4，

【例17】若不等式组有解，则m的取值范围是。

解：

原不等式组可化为和，

（1）始终有解集，

则由

（2）有解可得m＜2．由

（1）、

（2）知m＜2

【例18】若关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，则n的值为。

解：

①2n+1＞n+2时，2n+1=﹣1

n=﹣1．将n=﹣1代入不等式2n+1＞n+2中不成立，因此n=﹣1不符合题意．

②2n+1＜n+2时，n+2=﹣1

n=﹣3，经检验符合题意，所以n的值为﹣3

【例19】已知，x满足，化简|x﹣2|+|x+5|．

解：

由

（1）得，x＜2

由

（2）得，x＞﹣5

则：

|x﹣2|=2﹣x，|x+5|=x+5；

所以|x﹣2|+|x+5|=2﹣x+x+5=7．

分析：

解此类题时，先求出不等式组的解集，然后根据x的取值范围来去绝对值．

演练方阵

A档（巩固专练）

1.若,x________2.

2.不等式的正整数解是__________.

3.代数式的值不大于零,则x__________.

4.不等式3（x+2）≥4+2x的负整数解为________.

5.