二次函数解析式的8种求法.docx

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二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法

二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下：

一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：

1、a≠0；2、x的最高次数为2次．

例1、若y=（m2+m）xm2–2m－1是二次函数，则m=．

解：

由m2+m≠0得:

m≠0，且m≠－1

由m2–2m–1=2得m=－1或m=3

∴m=3．

二、开放型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．

例2、

（1）经过点A（0，3）的抛物线的解析式是　　　　　．

分析：

根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足

中的C=3，且a≠0即可∴

（注：

答案不唯一）

三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a（x–h）2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：

h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．

例3、二次函数

的图像是由

的图像先向　　　平移个　　　单位，再向　　　平移　　　个单位得到的．

解：

=

，

二次函数

的图像是由

的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．

这两类题目多出现在选择题或是填空题目中

四、一般式

当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式

，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；

五、顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式

．这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x=h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数；

六、两根式

对称，两个图象的开口方向相反，即

互为相反数．

（2）关于

轴对称的两个图象的顶点关于

轴对称，两个图象的形状大小不变，即

相同．

（3）关于经过其顶点且平行于

轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即

互为相反数．

例6　已知二次函数

，求满足下列条件的二次函数的解析式：

（1）图象关于

轴对称；

（2）图象关于

轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于

轴的直线对称．

解：

可转化为

，据对称式可知

①图象关于

轴对称的图象的解析式为

，

即：

．

②图象关于

轴对称的图象的解析式为：

，即：

；

③图象关于经过其顶点且平行于

轴的直线对称的图象的解析式为

，即

．

八、数形结合

数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．

例7、如图，已知抛物线

和x轴正半轴交与A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO=45

，

．

求P点的坐标；

求抛物线的解析式．

y

MAB

Ox

P

解:

　设P的坐标为（－1，y），∵P点在第三象限∴y＜0，

过点P作PM⊥X轴于点M．点M的坐标为（－1，0）

|BM|=|BA|+|AM|

∵∠PAO=45

∴|PM|=|AM|=|y|=－y

∵

∴y=－3

∴P的坐标为（－1，－3）

∴A的坐标为（2，0）

将点A、点P的坐标代如函数解析式

解得：

；

∴抛物线的解析式为：

．