当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，
故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N+，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.
【训练2】已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋（n＋m）an＋1<0恒成立，试求m的取值范围.
解
（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2（a3＋2）＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20，
∴解得或
又{an}单调递增，
∴∴an＝2n.
（2）bn＝2n·log2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.
由Sn＋（n＋m）an＋1<0，
得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，
∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<－1对任意正整数n恒成立.
∵－1>－1，∴m≤－1，
故m的取值范围是（－∞，－1].
热点三 数列的实际应用
数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型.
【例3】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.
（1）求该企业2014年年底分红后的资金；
（2）求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.
解 设an为（2010＋n）年年底分红后的资金，其中n∈N+，
则a1＝2×1000－500＝1500，
a2＝2×1500－500＝2500，…，
an＝2an－1－500（n≥2）.
∴an－500＝2（an－1－500）（n≥2），
因此数列{an－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列，
∴an－500＝1000×2n－1，
∴an＝1000×2n－1＋500.
（1）∵a4＝1000×24－1＋500＝8500，
∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元.
（2）由an>32500，即2n－1>32，得n>6，
∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.
探究提高 1.数列应用题的常见模型
（1）等差模型：
当后一个量与前一个量的差是一个常量时，该模型是等差模型，这个常量就是公差.
（2）等比模型：
当后一个量与前一个量的比是一个常数时，该模型是等比模型，这个常数就是公比.
（3）递推模型：
当题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1之间的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系.
2.解答数列应用题的基本步骤
（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清数列的结构和特征.
（3）求解——求出该问题的数学解.
（4）还原——将所求结果还原到实际问题中.
【训练3】（教材习题原题）某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到万元）?
解 设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，
第一年剩余资金是1000（1＋50%）－x＝1000×－x；
第二年剩余资金是×－x
＝1000－x，
……
依此类推：
第五年剩余资金为
1000×－x，由题意知，1000×－x＝2000，
则x＝1000×－2000，解得x≈424（万元），故每年应扣除消费基金424万元.
1.（2018·许昌模拟）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
解
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由得
∴bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋（14－1）d＝27，解得d＝2.
∴an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1（n＝1，2，3，…）.
（2）由
（1）知an＝2n－1，bn＝3n－1，
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.
2.（2017·天津卷）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N+）.
解
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由已知b2＋b3＝12，得b1（q＋q2）＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，
又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以{an}的通项公式为an＝3n－2，{bn}的通项公式为bn＝2n.
（2）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，bn＝2n，有
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋（6n－2）×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋（6n－8）×2n＋（6n－2）×2n＋1，
上述两式相减，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－（6n－2）×2n＋1，
＝－4－（6n－2）×2n＋1＝－（3n－4）2n＋2－16.所以Tn＝（3n－4）2n＋2＋16.
所以数列{a2nbn}的前n项和为（3n－4）2n＋2＋16.
3.已知二次函数y＝f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y＝f（x）的图象上.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.
解
（1）设二次函数f（x）＝ax2＋bx（a≠0），
则f′（x）＝2ax＋b.
由于f′（x）＝6x－2，得a＝3，b＝－2，
所以f（x）＝3x2－2x.
又因为点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y＝f（x）的图象上，
所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，
所以an＝6n－5（n∈N+）.
（2）由
（1）得bn＝＝
＝·，
故Tn＝＝
＝.
4.在数列{a
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