反比例函数中考题分析.docx

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反比例函数中考题分析

反比例函数中考题分析

    纵观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的题型呈现多样化，重点考查学生的数形结合思想、学科内外综合能力、实际应用能力及新课程理念下的新题型的解答等。

本人选取部分2009年中考典型题，略加剖析，供读者参考。

    一、考查函数图像

    例1　一个直角三角形的两直角边长分别为x、y，其面积为2，则y与x之间的关系用图像表示大致为图1中的（　　）。

    图1

    （湖南省衡阳市中考题）

    分析：

根据三角形面积公式可以推导出反比例函数解析式为

，图像为双曲线，不过，本题要注意x和y都是代表长度，故只能为正数，则图像只能取分布在第一象限内双曲线的一个分支。

故应选（C）。

    例2　一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图2所示。

设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20。

若2≤x≤10，则y与x关系的函数图像是图3中的（　　）。

    图2

    图3

    （湖南省恩施土家族苗族自治州中考题）

    分析：

解决本题的关键在于要弄清x的两个极限值。

只要把x的最小值2代入到xy=10这个关系式中，从而可以求出与之对应的y，的最小值为5；同理可求出y的最大值为1。

于是可以得出两个极限点的坐标：

（2，5）和（10，1）。

故应选（A）。

    点评：

例1和例2都考查了学生的数形结合思想，把函数性质、点与函数图像的关系、图像分布象限、函数增减性及自变量的取值范围等几个知识点都融入题目当中。

在例2中还渗透了自变量的极限值问题，部分同学在解题时容易疏忽。

    二、考查k值

    图4

    （A）2　　（B）m-2　　（C）m　　（D）4

    （湖北省鄂州市中考题）

    分析：

根据反比例函数图像和正比例函数图像都是中心对称图形，可知它们的交点点A和点B关于原点O成中心对称，则OA=OB。

    根据全等的知识可得到点A和点B分别到x轴的距离相等，再根据同底等高可得至

。

    又因为

，所以，｜k｜=2。

    而双曲线又在第一象限，所以，k=2。

    故应选（A）。

    点评：

本题是将反比例函数与正比例函数有关知识相结合的综合应用题，比较常见。

它把中心对称的性质、全等的证明、三角形面积的求解以及转化思想的灵活运用都融为一体。

    例4　如下页图5，已知双曲线

过Rt△OAB的斜边OB的中点D，并与直角边AB交于点C。

若△OBC的面积为3，则k=______。

    （湖北省仙桃市中考题）

    分析：

如下页图5，首先过D点作OA的垂线交OA于点E，故有DE∥BA，则

    △ODE∽△OBA。

    图5

    点评：

本题属于将反比例函数和直角三角形有机结合的一类题。

它考查的是中位线和相似的知识，以及在反比例函数中横坐标与纵坐标的积为定值的运用。

    解得z=1或z=0（舍去）。

    故AE=4，OE=3，则A（3，4）。

    因此，k=12。

    点评：

本题的设计有一定的难度，它是将反比例函数与正比例函数相结合，并且渗透了平移知识，这就要求同学们对这些知识的掌握要牢固，运用要灵活。

    三、考查函数关系式

    图7

    点评：

已知面积求k，要注意运用数形结合思想和待定系数法。

这一类题比较普遍。

    四、考查变量的取值范围

    （广西壮族自治区梧州市中考题）

    分析：

建立如图8（下页）所示的直角坐标系，从图上可看出

。

故应选（A）。

    点评：

采用这种方法判断，不需要强调在每一象限内比较大小。

另一种方法是利用反比例函数的性质比较大小。

    图8

    点评：

本题采用待定系数法和代入极限值求值的方法，简单明了。

    五、考查围成的面积

    例9　如图9，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线

上的一个动点。

当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）。

    （A）逐渐增大　（B）不变

    （C）逐渐减小　　（D）先增大后减小

    图9

    （甘肃省兰州市中考题）

    分析：

当点B的横坐标逐渐增大时，点B到x轴的距离将逐渐减小，但不可能减小到零，根据三角形面积可知△OAB的面积将会跟着逐渐减小。

故选（C）。

    点评：

这是一道关于动点的题目。

解决这一类题目要把握住“变与不变”的特征。

在本题中，虽然点在不断地变化，但解题方法没有变化。

    例10　如图10，已知A、B、C、D、E是反比例函数

图像上的5个整数点（横、纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图10所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是——（用含π的代数式表示）。

    图10

    （福建省福州市中考题）

    分析：

根据图像上的五个点坐标都为整数，且都分布在正方形内一条对角线的两侧，可知

    A（1，16）、B（2，8）、C（4，4）、D（8，2）、E（16，1）。

    再根据橄榄形的面积公式

    点评：

本题是一种新题型，它将点的坐标、反比例函数图像及其性质、面积公式、轴对称等知识融为一体，要求学生善于挖掘题目中的隐含条件。

    六、考查实际应用

    例11　为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。

已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图11所示。

    图11

    根据图中提供的信息，解答下列问题。

（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围。

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进入教室。

那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

    （广西壮族自治区河池市中考题）

    分析：

（1）设正比例函数关系式为y=kx（k≠0）。

代入这条线段上的已知点的坐标（12，9），可得

故正比例函数关系式为

    点评：

这是一道正比例函数与反比例函数相结合的应用题，让学生充分认识到这两个函数都是刻画现实生活中的特定数量关系的一种数学模型。

在第

（2）问中还可以用列方程的方法来求解。

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