二元一次方程组实际问题应用讲义.docx

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二元一次方程组实际问题应用讲义

说明：

请各位同学认真对待老师总结的公式、题型和知识点，要以笔记的形式把它背下、记下，最主要的是要理解题意，灵活选择应用，学会用线段图来解决行程问题及和倍差问题。

一、行程问题

路程、时间、速度之间的等量关系：

路程=时间×速度

1．行程问题有三种常见类型

（1）相遇问题：

①相遇时间×速度和=相遇路程（相遇路程：

从出发到相遇，甲乙两人所走路程的和或S相遇路程=S甲+S乙）

（2）追及问题：

①追及时间×速度差=追及路程．（追及路程：

追之前，甲乙两人之间的距离或S追及路程=S快-S慢）

（3）航行问题：

船在顺水中的航速=船在静水中的航度+水流的速度

船在逆水中的航速=船在静水中的航度-水流的速度．

2．环形跑道问题：

有两种类型：

同向而行和异向而行．

（1）、当异向出发时，相当于相遇问题．

①假设甲、乙两人同时从A地出发，相向（异向）而行，则两人第一次相遇时，两人所走路程之和等于一圈环形跑道的周长，即S甲+S乙=1圈环形跑道的周长

（2）、当同向出发时，相当于追及问题；

①假设甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，则快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑一圈路程，即S甲-S乙=1圈环形跑道的周长

3、列车问题：

有两种类型：

同向而行和异向而行．

（1）、当两车相向（异向）而行从相遇到离开，可以看作两列车车尾相遇的问题。

错开（相遇）时间×速度和=两列车车身之和

（2）、当两列车同向而行从快车追上慢车再到离开，可以看作快车车尾和慢车车头的追及问题。

错开（追及）时间×速度差=两列车车身之和

例题讲解：

例1.某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车；若甲车先开出30ｋｍ后乙车出发，则乙车出发4ｈ后乙车所走的路程比甲车所走路程多10ｋｍ．求甲、乙两车的速度．

例2.已知A、B两码头之间的距离为240km,一艏船航行于A、B两码头之间,顺流航行需4小时;逆流航行时需6小时,求船在静水中的速度及水流的速度.

例3．甲、乙两人在周长为400ｍ的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔10min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度．

例4.一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？

例5、从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了1小时10分钟，问夏令营到学校有多少千米？

练习题：

1、一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，第一天行军的路程比第二天行军的路程少走2千米，问这两天的行军速度各是多少千米/小时？

2、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。

用相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。

问甲地与桥相距多远？

用了多长时间？

3、甲乙两辆汽车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形跑道上行驶，甲的速度大于乙的速度。

当两辆汽车同时同地出发相向行驶时，每15秒相遇一次;当两辆汽车同时同地出发同向行驶时，每60秒相遇一次。

求甲乙两辆汽车的速度分别是多少米/秒?

4、一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时.如果已知风速为30千米/小时，求A，B两个城市之间的距离是多少千米，直升机的速度为多少千米/小时？

5、李华骑车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5小时后到县城，他骑车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时，路程全长20千米，求骑车和步行各用多少时间？

二、工程问题

公式：

工作总量=工作时间×工作效率　

如果题目中没有给出工作总量时，通常设工作总量为单位1。

例题讲解：

例1.某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?

按原计划需多少小时完成?

例2，某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的七分之三；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台.问规定时间是多少天？

这批仪器共多少台？

例3、现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？

练习题：

1、甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？

2、一项任务由甲完成一半以后，乙完成其余的部分，两人共用2小时，如果甲完成任务的三分之一以后，由乙完成其余部分，则两人共用1小时50分钟。

间由甲、乙两人单独完成分别要用几小时？

3甲,乙两队合做一项工程,12天可以完成,如果甲先做5天后,乙才赶来参加

两人合做9天才能完成,则甲,乙独做各需要多少天完成这项工程

三、产品配套问题

如果两个螺母与一个螺栓刚好配套即：

螺母的数量是螺栓数量的2倍时，正好配套。

螺栓数:

螺母数=1:

2

在配套中存在以下数量关系：

1、“二合一”问题：

如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即

2、“三合一”问题：

如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：

例题讲解：

例1、某车间22名工人生产螺钉与螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

例2、用铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个或盒底40个，一个合身与两个盒底配成一套，现有36张铁皮，应该用多少张做盒身多少张做盒底，使做成的恰好配套

练习题：

1、某工地需要派48人去挖土和运土,如果每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?

2、一块截面为圆形的钢材能加工螺母40个或螺栓10个,已知两个螺母与一个螺栓正好配套,现有圆形的钢材60块，问多少块钢材加工螺母，多少块钢材加工螺栓使加工的螺母和螺栓刚好配套？

四、商品经济问题

商品打x折，是指按定价的

销售

打折后的售价=打折前的售价×

（打折销售）

商品的售价=商品标价×折扣率

商品的利润=商品售价—商品进价　　

或商品的利润=商品标价×折扣率—商品进价（打折销售）

商品的利润率=

=

商品的售价=进价×（1＋利润率）

商品的进价=售价÷（1＋利润率）

利息=本金×利率×时间

利息税=本金×利率×时间×税率

税后利息=本金×利率×时间×（1－税率）

本息和=本金＋利息

原数量×（1＋增长率）=现在数量

原数量×（1－减少率）=现在数量

例题讲解

例1、某商场购进商品后,加价40%作为销售价,商场搞优惠促销,决定甲,乙两种商品分别7折和9折销售,某顾客购买甲乙两种商品,共付款399元,这两种商品原销售价之和为490元,问这两种商品进价分别为多少元?

例2、小明以两种方式储蓄了压岁钱2000元,其中一种是年利率为2.25%的教育储蓄金,另一种是年利率为2.25%但要扣除税率20%的一年期定期存款,一年后共得到利息42.75元,求这两种储蓄各存了多少钱?

例3、甲乙两种商品的原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，甲乙两种商品的单价和比原来提高了20%，求甲乙两种商品的原单价各是多少元？

例4、已知某电脑公司有A，B，C型三种电脑，其价格分别是6000元，4000元，2500元。

某中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计几种不同的购买方案，并说明理由。

练习题：

1、商场销售A，B两种品牌的衬衣，单价分别为每件30元，50元，一周内共销售出300件；为扩大衬衣的销售量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销售量增加了20件，B种衬衣销售量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售多少件？

2、电脑公司为了扩大经营规模,向银行申请了甲,乙两种贷款,共计300万元,每年需付利息为21.3万元.已知甲种贷款每年的年利率为7.2%,乙种贷款每年的年利率为6.9%,那么该厂甲,乙两种贷款的数额各是多少?

3、某市出租车的起步价允许行驶的最远路程为3km，超过3km部分每千米另每千米另收费。

甲说：

“我乘这种出租车走了11km，付了17元，”乙说：

“我乘这种出租车走了23km，付了35元”，请计算这种出租车的起步价是多少元，并计算路程超过3km后，每千米的车费是多少元？

五、数字表示问题

个位数字为x，十位数字为y的两位数可以表示成（10y+x）

个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z的三位数可以表示成（100z+10y+x）

把两位数x放在三位数y的左边组成一个五位数，则这个五位数可以表示成（1000x+y）

例题讲解：

例1、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果这两位数加上45，恰好等于原数的个位数字与十位数字对调后所得的两位数，求原来的两位数．

例2、一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数.

六、溶液浓度问题

一、浓度问题中的基本量

溶质：

通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等

溶剂：

一般为水。

溶液：

溶质和溶液的混合液体。

浓度：

溶质质量与溶液质量的比值。

二、几个基本量之间的运算关系

将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。

如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。

这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。

类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。

因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，

1、溶液=溶质+溶剂

2、浓度＝

×100％＝

×100％

三、解浓度问题的一般方法

列方程：

依靠配制前后，溶质的的质量不变，建立等量关系。

或：

根据简化的方法---所需溶液的重量比就是浓度差的反比，去列方程：

练习题：

1、用含药30%和75%的两种防腐剂药水，配制含药50%的防腐剂药水18千克。

问：

含药30%和75%的防腐剂药水应该各取多少千克？

2、有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现要配制浓度为70%的药水300千克，则需用浓度为60%的药水多少千克，需用浓度为90%的药水多少千克？

3、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，那么10%的盐水需要多少千克，85%的盐水需要多少千克？

解:

设甲乙两车的速度分别为xKm/h、yKm/h根据题意，得

5y=6x

4y=4x+40

解：

设A种品牌的衬衣有x件，B种品牌的衬衣有y件．

依题意可得

x+y=300

30×（1-20%）（x+20）+50y=12880解得x=100y=200