勾股定理的证明方法.docx
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勾股定理的证明方法
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即
a^2+b^2+4*（ab/2）=c^2+4*（ab/2），
整理得到：
a^2+b^2=c^2。
【证法2】
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
-
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90o,
∴∠AEH+∠BEF=90o.
∴∠HEF=180o―90o=90o.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c^2.
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
）
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90o,
∴∠EHA+∠GHD=90o.
又∵∠GHE=90o,
∴∠DHA=90o+90o=180o.
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于（a+b）^2.
∴（a+b）^2=c^2+4*（ab/2），∴a^2+b^2=c^2。
；
【证法3】
以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90o，
∴∠EAB+∠HAD=90o，
∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
{
∠HEF=90o.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于（b-a）^2.
∴（b-a）^2+4*（ab/2）=c^2，∴a^2+b^2=c^2。
【证法4】
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
$
∵∠AED+∠ADE=90o,
∴∠AED+∠BEC=90o.
∴∠DEC=180o―90o=90o.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于c^2/2.
又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于（a+b）^2/2
）
（a+b）^2/2=2*ab/2+c^2/2,
∴a^2+b^2=c^2
【证法5】
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
【
∴∠BEG=180o―90o=90o.
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90o.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90o.
即?
?
∠CBD=90o.
）
又∵∠BDE=90o，∠BCP=90o，
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
a^2+b^2=S+2*ab/2
c^2=S+2*ab/2
∴a^2+b^2=c^2。
<
【证法6】
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵∠BCA=90o，QP∥BC，
∴∠MPC=90o，
|
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90o，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90o.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
}
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】
【证法7】
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
—
∵ΔFAB的面积等于a^2/2，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=a^2.
同理可证，矩形MLEB的面积=b^2.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴a^2+b^2=c^2。
】
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90o，
∠CAD=∠BAC，
∴?
?
ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB，
即?
?
AC^2=AD*AB.
"
同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有BC^2=BD*AB.
∴AC^2+BC^2=（AD+BD）*AB=AB^2，即?
?
a^2+b^2=c^2。
【证法9】
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，
—
AD=AB=c，
∴RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴DH=BC=a，AH=AC=b.
由作法可知，PBCA是一个矩形，
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b，AP=a，从而PH=b―a.?
?
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
RtΔDHA≌RtΔBCA.
。
∴RtΔDGT≌RtΔDHA.
∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.
又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o，
∴DGFH是一个边长为a的正方形.?
?
∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
《
【证法10】
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
∵∠TBE=∠ABH=90o，
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90o，
BT=BE=b，
]
∴RtΔHBT≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90o，
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o，
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB―ED=b―a，
∠HGF=∠BDC=90o，
"
∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.
过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o，可知∠ABE
=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌
RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.
由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.
∵∠AQM+∠FQM=90o，∠BAE+∠CAR=90o，∠AQM=∠BAE，
∴∠FQM=∠CAR.
又∵?
?
∠QMF=∠ARC=90o，QM=AR=a，
，
∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
$
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，
∴AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF）
=CE+CD=r+r=2r,
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
-
【证法15】（辛卜松证明）
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设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.?
?
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a+b）^2=a^2+2ab+b^2；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面
【证法16】
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，
则AD=c.
∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，
∴DM=EM―ED=（b+a）―a=b.
又∵∠CMD=90o，CM=a，
∠AED=90o，AE=b，
∴RtΔAED≌RtΔDMC.
∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.
∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180o，
∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90o，
∴∠ADC=90o.
∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵∠BAF+∠FAD=∠DAE?
?
+∠FAD=90o，
∴∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，
∴ΔABF≌ΔADE.
∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a.
∴点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵AB=BC=c，BF=CG=a，
∴RtΔABF≌RtΔBCG.
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