对勾函数模型.docx
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对勾函数模型
第十周对勾函数模型
重点知识梳理
1．对勾函数定义
b
对勾函数是指形如：
y＝ax＋x（ab>0）的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此
被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．
b
2．对勾函数y＝ax＋x（a>0，b>0）的性质
（1）定义域：
（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）值域：
（－∞，]∪[，＋∞）．
（3）奇偶性：
在定义域内为奇函数．
（4）
单调性：
（－∞，－
b
b，＋∞）上是增函数；（－
b，0），（0，
b
a），（
a
a
a）上是减函数．
（5）
渐近线：
y轴与y=ax（或y=-ax）
b
b
3．y＝ax＋x（a>0，b>0）的单调区间的分界点：
±
a.
b
b
.
求分界点方法：
令ax＝?
x＝±
a
x
1
a
特殊的，a>0时，y＝x＋的单调区间的分界点：
±a.
4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，
然后求解．
5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：
b
若a>0，b>0，则x>0时，ax＋x≥2ab.
当且仅当ax＝bx，x＝ba时取等号．
在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项
b都是正项，且二者乘积为定值，同时
ax＝b中等号可取到．若等号取不到，则应根据
ax和x
x
对勾函数单调性求解．
典型例题剖析
例1已知f（x）＝x＋5，求f（x）在下列区间的最小值．x
（1）[1,2];
（2）[3,4];（3）[－3，－1]．
【解析】如图，
f（x）在（－∞，－5），（5，＋∞）上是增函数，在（－5，0），（0，5）上是减函数．
（1）由对勾函数性质可知f（x）在[1,2]上单调递减，
1
∴f（x）min＝f
（2）＝42.
2
（2）因为f（x）在[3,4]上单调递增，
2
所以f（x）min＝f（3）＝43.
2
（3）因为f（x）在[－3，－5]上单调递增，在（－5，－1]上单调递减，且f（－3）＝－43，
f（－1）＝－6，
所以f（x）min＝－6.
变式训练
已知函数f（x）＝
x2＋5
x的值．
2
，求f（x）的最小值，并求此时
x＋4
【解析】f（x）＝
x2＋5
＝
x2＋4＋1
＝
2
＋4＋
1
2
2
＋4
x
2
x＋4
x
x＋4
令t＝
x2＋4，则t≥2，y＝t＋
1
.
t
∵y＝t＋1在[2，＋∞）单调递增，t
15
∴当t＝2时，ymin＝2＋2＝2，
此时，x2＋4＝2，x＝0.
5
综上，f（x）的最小值为，此时x的值为0.
例2求函数f（x）＝x2－2x－1（0≤x≤3）的值域．
x＋2
【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2,2≤t≤5，
（t－2）2－2（t－2）－1
y＝
t
＝t2－6t＋7＝t＋7－6,2≤t≤5.
tt
∵y＝t＋7－6在[2，7]上单调递减，在[7，5]上单调递增，
t
3
∴当t＝7时，ymin＝27－6，
且当t＝2时，y＝2＋72－6＝－12，
当t＝5时，y＝5＋7－6＝2，∴ymax＝2.
555
2
综上，f（x）的值域为[27－6，5]．
x2－4x＋12
变式训练求函数f（x）＝，x∈[2，5]的值域．
x－1
【解析】f（x）＝
x2－4x＋12
x－1
＝（x－1）
2－2（x－1）＋9
9－2，
x－1
＝x－1＋
x－1
令t＝x－1，则f（t）＝t＋9－2，t∈[1,4]．t
9
结合y＝t＋的图象与性质，
可知当t∈[1,3]时，函数单调递减，当t∈[3,4]时，函数单调递增，
又f
（1）＝8，f（3）＝4，f（4）＝174，
所以f（x）∈[4,8]．
例3某工厂去年的某产品的年产量为
100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8
元．今年，工厂第一次投入
100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入
100万元
（科技成本），预计产量年递增
10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为
k
g（n）＝
n＋1
（k>0，k为常数，n∈Z且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为
f（n）万元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？
最高利润为多少万元？
4
【解析】
（1）由g（n）＝
k
，当n＝0时，由题意，
n＋1
可得k＝8，
所以f（n）＝（100＋10n）（10－
8
）－100n（n∈Z且n≥0）．
n＋1
（2）由f（n）＝（100＋10n）（10－
8
）－100n
n＋1
＝1000－80（n＋1＋
9
）
n＋1
≤1000－80×29＝520，
9
当且仅当n＋1＝，即n＝8时取等号，
n＋1
所以第8年工厂的利润最高，最高为
520万元．
变式训练
建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池
（无盖）．池壁，池底造价分别为a
元/米2和2a
元/米2.底面一边长为x米，总造价为y.写出y与x的函数式，问底面边长x为
何值时总造价
y最低，是多少？
【解析】长方体底面积
S＝800＝100米2，地面一边长为
x米，
8
因此另一边长为100x米，
2002
池壁总面积为8·（2x＋）米，
200
∴总造价y＝100×2a＋（2x＋x）·8·a
＝200a＋16a（x＋100x）（x>0）．
∵函数y＝200a＋16a（x＋100x）在（0,10]上是减函数，在（10，＋∞）上是增函数，
∴当x＝10时，总造价最低，且ymin＝520a（元）．
5
跟踪训练
1．下列函数中最小值是4的是（）
4
A．y＝x＋x
2
B．y＝x＋x
C．y＝21＋x＋21－x
D．y＝x2＋
21
＋3，（x≠0）
x＋1
4，x∈（1,3]的值域为（）
2．函数y＝x＋x
13
A．[3，5）
B．[4,5）
13，4）
D．（4,5）
C．[3
3．函数y＝－x＋
4
＋3，x∈
[
－1，0
的值域为____________．
1－x
）
4．y＝2x2＋
3
2的最小值是________．
1＋x
5．已知x>0，则
4的最小值是________．
2＋x＋x
3在区间[1,2]上的最小值为____________．
6．函数y＝x＋x
a
7．若函数y＝x＋x（a＞0）在区间（
5，＋∞）上单调递增，则
a∈________________.
8．建造一个容积为
8m
3，深为2m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120
元和80元，则水池的最低造价为
____________元．
9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
ABCD，公园由长方形休闲区
A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m（如图所示）．
6
（1）
若设休闲区的长和宽的比
A1B1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；
B1C1
（2）
要使公园所占面积最小，休闲区
A1B1C1D1的长和宽应如何设计？
10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD）的围墙，且要求
中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙（包括
EF）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式；
7
（2）当x为何值时，设围墙（包括EF）的的修建总费用y最小？
并求出y的最小值．
11．已知函数f（x）＝
x2＋2x＋3
（x∈[2，＋∞））．
x
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）>a恒成立，求a的取值范围．
a
12．已知函数f（x）＝x＋，x∈[1，＋∞），a>0.
（1）当a＝12时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值为4，求实数a.
8
13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用
20年的隔
热层，每厘米厚的隔热层建造成本为
6万元．该建筑物每年的能源消耗费用
C（单位：
万元）
与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系：
C（x）＝
k
3x＋5（0
≤x≤10，k为常数），若不建隔热层，每
年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与
20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？
并求出最小值．
9
参考答案
1．CA选项，由于x可取负值，显然最小值不是
4，排除A；
B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是
4，排除B；
x＋2x
x＋1x
C选项，由于y＝2·2
2＝2（2
2），
换元，令t＝2x，t>0，则y＝2（t＋1
t）≥4，
当且仅当t＝1即x＝0时，函数有最小值4，
D选项，由于y＝x2＋21
＋3＝x2＋1＋21
＋2，换元，令t＝x2＋1，t>1，
x
＋
1
x＋1
则y＝t＋1＋2，函数在（1，＋∞）上单调递增，因此
y>4，排除D选项．
t
综上，答案为C.
4
2．B由对勾函数性质可知，当
x＝x，即x＝2时，表达式有最小值4，又函数在
（1,2）上单
调递减，在（2,3]上单调递增，
f
（1）＝5，f（3）＝3＋4＝13，所以值域为[4,5），答案为B.
3
3
3．[6,7）
解析y＝－x＋4＋3＝1－x＋4＋2，
1－x1－x
换元，令t＝1－x，则x∈[－1，0）时t∈（1,2]，
4
y＝t＋＋2，函数在（1,2]上单调递减，
若t＝1，则y＝1＋41＋2＝7，
若t＝2，则y＝2＋4＋2＝6，2
故函数值域为[6,7）．
10
4．26－2
解析换元，令t＝1＋x2，则t≥1，x2＝t－1，
3＝2t＋3－2，
y＝2（t－1）＋t
t
函数在[1，
3
3
，＋∞）上单调递增，
2]上单调递减，在[
2
3
所以当t＝
2时，函数有最小值2
6－2.
5．6
解析由对勾函数性质可知，当x＝4x，即x＝2时，表达式有最小值6.
6．23
3
解析因为y＝x＋x在区间[1,3]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x＝3时
函数有最小值23.
7．（0,5]
8．1760
解析池底面积为
8＝4cm2，设池底宽为xcm，则长为4
4
2
xcm，则水池的造价为
4×120＋2（x×2
＋x×2）×80＝480＋
1280
＋320x≥480＋2
1280×320x＝1760.
x
x
9．解析
（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米．
由a2x＝4000，得a＝2010，x
则S＝（a＋8）（ax＋20）＝a2x＋（8x＋20）a＋160
20
10
＝4000＋（8x＋20）·
＋160
x
11
＝8010（2x＋5
）＋4160，
x
即S＝80
10（2
x＋5
）＋4160.
x
（2）S＝80
10（2
5
）＋4160
≥16010·10＋4160＝5760，
x＋
x
当且仅当
2x＝5
，即x＝2.5
时取等号，此时a＝40，
x
ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区
A1B1C1D1应设计为长
100米，宽40米．
10．解析
（1）设AD＝t米，则由题意得
xt＝600，且t>x，
故t＝600
6，
x>x，可得0600
则y＝800（3x＋2t）＝800（3x＋2×
）
x
400
＝2400（x＋x
），
所以y关于x的函数解析式为
y＝2400（x＋400
x）（0400
）≥2400
400＝96000，
（2）y＝2400（x＋x
×2x·x
当且仅当x＝400，即x＝20时等号成立．
x
故当x为20米时，y最小．y的最小值为
96000元．
11．解析
（1）任取x1，x2∈[2，＋∞），
且x1x
则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）（1－
3
），
x1x2
12
∵x1
又∵x1≥2，x2>2，
3
∴x1x2>4,1－>0，x1x2
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）
故f（x）在[2，＋∞）上是增函数，
∴当x＝2时，f（x）有最小值
f
（2）＝11
2.
（2）∵f（x）>a恒成立，∴只需
f（x）min>a.
又∵f（x）min＝11，∴a<11.
2
2
11
12．解析
（1）a＝2时，f（x）＝x＋2x，x∈[1，＋∞）．
令x＝1
，得x＝
2
?
[1，＋∞），
2x（x>0）
2
∴不能用不等式求最值．
设1≤x1
11
＝（x1－x2）＋（2x1－2x2）
1
＝（x1－x2）（1－2x1x2）<0，
∴函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，
3
∴fmin（x）＝f
（1）＝2.
a
（2）当0
∵a?
[1，＋∞），
13
∴类似于
（1）可知函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，
∴fmin（x）＝f
（1）＝1＋a＝4，
得a＝3，与0
当a≥1时，a≥1，∴由不等式知x＋ax≥2a，
a
当x＝x，即x＝a时，fmin（x）＝2a＝4，
解得a＝4.
综上所述，函数f（x）的最小值为4时，a＝4.
13．解析
（1）依题意，当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C（x）＝40，3x＋5
∴f（x）＝6x＋20×40＝6x＋800（0≤x≤10）．
3x＋53x＋5
（2）f（x）＝2（3x＋5）＋800－10，3x＋5
设3x＋5＝t，t∈[5,35]，
∴y＝2t＋
800
－10≥2
800
t
2t·－10＝70，
t
当且仅当
2t＝800，即t＝20时等号成立．
t
这时x＝5，
因此f（x）的最小值为70.
即隔热层修建
5cm厚时，总费用
f（x）达到最小，最小值为
70万元．
14
特殊对勾函数
f（x）＝x＋
x
1
2
3
4
f（x）
4
3
2
2
2
3
4
‘’
（1）定义域：
（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）值域：
（－∞，-2]∪[2，＋∞）．
（3）奇偶性：
在定义域内为奇函数．
（4）单调性：
（－∞，－1），（1，＋∞）上↗；
（－1，0），（0，1）上↘．
（5）分界点（拐点）坐标
P（1,2）;Q（-1,-2）
（6）渐近线
（7）Y=x和x=0
15
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