对勾函数模型.docx

1、对勾函数模型第十周 对勾函数模型重点知识梳理1对勾函数定义b对勾函数是指形如：yaxx(ab0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”b2对勾函数 yaxx(a0，b0)的性质(1) 定义域：(，0)(0，)(2)值域：(， ，)(3) 奇偶性：在定义域内为奇函数(4)单调性：(，bb，)上是增函数；(b，0)，(0，ba)，(aaa)上是减函数(5)渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)bb3yaxx(a0，b0)的单调区间的分界点：a.bb.求分界点方法：令ax?xax1a特殊的，a0时，yx的单调区间的分界点

2、： a.4对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值， 解题时要先找出对应的单调区间，然后求解5利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：b若a0，b0，则x0时，axx2ab.当且仅当 axbx，x ba时取等号在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是 “一正、二定、三相等 ”，即加号两边的项b都是正项，且二者乘积为定值，同时axb中等号可取到若等号取不到，则应根据ax和xx对勾函数单调性求解典型例题剖析例 1已知f(x)x5，求f(x)在下列区间的最小值x(1)1,2; (2)3,4; (3)3，1【解析】如图，f(x)在(， 5)，( 5，)上是增函数，在 ( 5，0)，(0，

3、 5)上是减函数(1) 由对勾函数性质可知f(x)在1,2上单调递减，1f(x)minf(2)42.2(2) 因为f(x)在3,4上单调递增，2所以f(x)minf(3)43.2(3) 因为f(x)在3，5上单调递增，在(5，1上单调递减，且f(3)43，f(1)6，所以f(x)min6.变式训练已知函数f(x)x25x的值2，求f(x)的最小值，并求此时x4【解析】f(x)x25x241241224x2x4xx4令tx24，则t2，yt1.t yt1在2，)单调递增，t1 5当t2时，ymin222，此时， x242，x0.5综上，f(x)的最小值为 ，此时x的值为0.例 2求函数f(x)x

4、22x1(0x3)的值域x2【解析】令 tx2，则xt2,2t5，(t2)22(t2)1yt t26t7t76,2t5.ttyt76在2， 7上单调递减，在 7，5上单调递增，t3当t 7时，ymin2 76，且当t2时，y272612，当 t5时，y5762，ymax2.5552综上，f(x)的值域为2 76，5x24x12变式训练 求函数f(x) ，x2，5的值域x1【解析】f(x)x24x12x1(x1)22(x1)992，x1x1x1令 tx1，则f(t)t92，t1,4t9结合yt的图象与性质，可知当t1,3时，函数单调递减，当 t3,4时，函数单调递增，又 f(1)8，f(3)4，

5、f(4)174，所以f(x)4,8例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为kg(n)n1(k0，k为常数，nZ且n0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1) 求k的值，并求出f(n)的表达式；(2) 问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？4【解析】(1)由g(n)k，当n0时，由题意，n1可得k8，所以f(n)(10010n)(108)100n(nZ且n0)n1(

6、2)由f(n)(10010n)(108)100nn1100080(n19)n1 10008029520，9当且仅当 n1 ，即n8时取等号，n1所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元变式训练建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)池壁，池底造价分别为a元/米2和2a元/米2.底面一边长为x米，总造价为y.写出y与x的函数式，问底面边长x为何值时总造价y最低，是多少？【解析】长方体底面积S800100米2，地面一边长为x米，8因此另一边长为 100x米，200 2池壁总面积为 8(2x )米 ，200总造价y1002a(2xx)8a 200a16a(x100x)(x0)函数y20

7、0a16a(x100x)在(0,10上是减函数，在 (10，)上是增函数，当x10时，总造价最低，且 ymin520a(元)5跟踪训练1下列函数中最小值是 4的是( )4Ayxx2ByxxCy21x21xDyx2213，(x0)x14，x(1,3的值域为()2函数yxx13A3，5)B4,5)13，4)D(4,5)C33函数yx43，x1，0的值域为_1x)4y2x232的最小值是_1x5已知x0，则4的最小值是_2xx3在区间1,2上的最小值为_6函数yxxa7若函数yxx(a0)在区间(5，)上单调递增，则a_.8建造一个容积为8m3，深为2m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是

8、120元和80元，则水池的最低造价为_元9某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)6(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；B1C1(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？10如图，某单位准备修建一个面积为 600平方米的矩形场地 (图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙 EF隔开，使得 ABEF为矩形，EFDC为正方形，设 ABx米，已知围墙 (包括E

9、F)的修建费用均为 800元每米，设围墙 (包括EF)的修建总费用为 y元(1)求出y关于x的函数解析式；7(2) 当x为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小？并求出y的最小值11已知函数f(x)x22x3(x2，)x(1) 求f(x)的最小值；(2) 若f(x)a恒成立，求a的取值范围a12已知函数 f(x)x，x1，)，a0.(1) 当a12时，求函数f(x)的最小值；(2) 若函数f(x)的最小值为4，求实数a.813为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层

10、厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0x10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1) 求k的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值9参考答案1CA选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除A；B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除B；x2xx1xC选项，由于y2222(22)，换元，令t2x，t0，则y2(t1t)4，当且仅当t1即x0时，函数有最小值4，D选项，由于yx2213x21212，换元，令tx21，t1，x1x1则yt12，函数在(1，)上单调

11、递增，因此y4，排除D选项t综上，答案为C.42B由对勾函数性质可知，当xx，即x2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3上单调递增，f(1)5，f(3)3413，所以值域为4,5)，答案为B.3336,7)解析 yx 4 31x 4 2，1x 1x换元，令 t1x，则x1，0)时t(1,2，4yt2，函数在(1,2上单调递减，若 t1，则y14127，若 t2，则y2426，2故函数值域为6,7)1042 62解析 换元，令 t1x2，则t1，x2t1，32t32，y2(t1)tt函数在1，33，)上单调递增，2上单调递减，在23所以当t2时，函数有最小值262.56

12、解析 由对勾函数性质可知，当 x4x，即x2时，表达式有最小值 6.62 33解析 因为 yxx在区间1, 3上单调递减，在 3，2上单调递增，所以当 x 3时函数有最小值 2 3.7(0,581760解析池底面积为84cm2，设池底宽为xcm，则长为442xcm，则水池的造价为41202(x2x2)804801280320x48021280320x1760.xx9解析 (1)设休闲区的宽为 a米，则其长为 ax米由 a2x4000，得a2010，x则 S(a8)(ax20)a2x(8x20)a16020104000(8x20)160x118010(2x5)4160，x即S8010(2x5)4

13、160.x(2)S8010(25)4160160101041605760，xx当且仅当2x5，即x2.5时取等号，此时a40，xax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米10解析(1)设ADt米，则由题意得xt600，且tx，故t6006，xx，可得0x10600则y800(3x2t)800(3x2)x4002400(xx)，所以y关于x的函数解析式为y2400(x400x)(0x106)400)240040096000，(2)y2400(xx2xx当且仅当x400，即x20时等号成立x故当x为20米时，y最小y的最小值为96000元11解析(1)

14、任取x1，x22，)，且x1x2，f(x)x32.x则f(x1)f(x2)(x1x2)(13)，x1x212 x1x2，x1x22，3 x1x24,10，x1x2 f(x1)f(x2)0，即f(x1)a恒成立，只需f(x)mina.又f(x)min11，a0)2不能用不等式求最值设1x1x2，则f(x1)f(x2)1 1 (x1x2)(2x12x2)1 (x1x2)(12x1x2)0，函数 f(x)在1，)上是单调递增函数，3 fmin(x)f(1)2.a(2)当0a1时，令xx，得x a1, a?1，)，13类似于(1)可知函数 f(x)在1，)上是单调递增函数， fmin(x)f(1)1a

15、4，得a3，与0a1不符(舍)；当a1时， a1，由不等式知 xax2a，a当xx，即x a时， fmin(x)2 a4，解得a4.综上所述，函数 f(x)的最小值为 4时，a4.13解析 (1)依题意，当 x0时，C8，k40， C(x)40，3x5 f(x)6x20406x800(0x10)3x53x5(2) f(x)2(3x5)80010，3x5设 3x5t，t5,35，y2t800102800t2t1070，t当且仅当2t800，即t20时等号成立t这时x5，因此f(x)的最小值为70.即隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元14特殊对勾函数f(x)xx1234f(x)4322234(1) 定义域：(，0)(0，)(2) 值域：(，-22，)(3) 奇偶性：在定义域内为奇函数(4) 单调性：(，1)，(1，)上；(1，0)，(0，1)上(5) 分界点(拐点)坐标P(1,2);Q(-1,-2)(6) 渐近线(7) Y=x和x=015