直线和圆知识点归纳.docx
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直线和圆知识点归纳
练习一（直线和圆部分）
知识梳理
1.直线的倾斜角的范围是；求直线斜率的两种方法：
①定义：
k（
②斜率公式：
ky2y1（xiX2）•答案0,180X2X1
2•直线方程的几种形式：
1
点斜式，适用范围：
不含直线XXo；
y2）；
②两点式，适用范围：
不含直线xX1（X1X2）和直线y如（如
③一般式，适用范围：
平面直角坐标系内的直线都适用
3•求过R（X1,yJ，P2（X2,y2）的直线方程时：
（1）若X1X2，且y1y2时，直线垂直于X轴，方程为X为；
（2）若X1X2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy；
（3）若X1X20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0；
（4）若X1X2，且yy20时，直线即为x轴，方程为y0。
点P（x,y）到直线l:
AxByC0的距离d
两平行直线ll:
Ax
By
Cl0与l2:
AxByC20之间的距离d.
7•圆的标准方程为
（x
a）2
（y
b）2
r2（r0）,其中为圆心，
为半径；
圆的一般方程为
2x
2
y
Dx
Ey
F0表示圆的充要条件是D2E2
4F0,
其中圆心为，半径为.
8.点与圆的位置关系
222
圆的标准方程为（xa）（yb）r,点M（x°,y°），
（1）
点在圆上：
（X0
a）2
（y0
b）2
2
r;
（2）
点在圆外：
（X0
a）2
（y0
b）2
2
r;
（3）
点在圆内：
（X°
a）2
（y0
b）2
2r。
9•直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法:
（1）代数法：
直线方程和圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后,
计算判别式①
b2
4ac
0
;
②
b2
4ac
0
;
③
b2
4ac
0
。
（2）几何法：
禾U用圆心到直线的距离d和圆半径的大小关系
①dr:
②dr；dr。
10•圆的切线方程
1若圆的方程为x2y2r2，点P（Xo,yo）在圆上，则过P点，且与圆x2y2r2相
2
切的切线方程为XX。
yyor；
222
2经过圆（xa）（yb）r上的P（x。
，y。
）的切线方程为：
2
（xoa）（xa）（yob）（yb）r。
yyk（xx°）
点P（xo,yo）在圆外，则可设切线方程为yyok（xxo）,利用直线与圆相切，利用
圆心到直线的距离等于半径，解出k。
11•计算直线被圆截得的弦长的两种方法：
（1）几何法：
运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数法：
利用韦达定理及弦长公式
AB4l~k2|xaXbJ（1k2）（xaXb）24xaXb
-222_222
12.设圆G：
（xxj（y%）r1，圆C2:
（xx?
）（yy?
）Q,则有两圆
①相离C1C2;②外切C1C2;③内切C1C2
④相交C1C2；⑤内含C1C2.
13.对称冋题
1点关于点的对称：
禾U用中点坐标公式。
2直线关于点对称：
利用取特殊点法或转移法。
3点关于直线对称：
利用垂直和平分。
4直线关于直线对称：
转化为点关于直线对称问题解决。
如果是平行直线，还可以利用
平行直线之间距离。
如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。
点（a,b）关于直线y=x+m的对称点为（b-m,a+m）,点（a,b）关于直线y=-x+m的对称点（m-b,m-a）.
练习题（第一部分）
3
1.直线的倾斜角为
右sin
—
，则此直线的斜率是（
）
5
3
4
3
4
A.-
B.-
C.
D.-
4
3
4
3
2.直线■'过点（-1,
2）且与直线
y
-x垂直，则■'的方程是
3
A.3x2y
10
B.3x2y70
C.2x3y
50
D.2x3y80
3.已知两条直线
yax2和
y
（a2）x1互相垂直，则
a等于（
）
A.2
B.1
C.0
D•1
解析：
两条直线y
ax2和y
（a
2）x1互相垂直，则a（a
2）1,
•••a=—1，选D
点评：
直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存
在两种情况
4•已知A（2,3）、
B（3,2），直线I过P（1,1）且与线段
AB有交点，设直线11
的斜率为k,
则k的取值范围
（
）
A•k3或k
4
B•
3k3C•
k
31
或k-
D.
3
k4
4
4
44
4
解析：
过点B（3,
2）、
P（1,1）的直线斜为k1［；
2）
3）
3
-，过点A（2,
4
3）、
P（1,1）的直
线斜率为k2
1
（3）
4，画图可看出过点
P（1,1）的直线与线段
AB有公共点可
12
看作直线绕点P（1,1）从PB旋转至PA的全过程。
S,如果符合条件的直线l能
5•直线l经过点P（2,1）,且与两坐标轴围成的三角形的面积为
作且只能作三条，则S（
C.5
4，显然与两坐标
得ab8，即I与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为
轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4,共可作且只可作三条符合条件的直线I。
6•已知直线I:
xy10,li:
2xy20，若直线I2与li关于I对称，则I2的方程
为（）
A•x2y10B•x2y10
C•xy10D•x2y10
解析：
在I1上取两点（0,2）,（1,0），则它关于直线I的对称点为（1,1）,（1,0），所以I2的方程为x2y10。
7•已知点M（0,1），点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30,
则点N的坐标是（）
A•（2,1）B•（2,3）C•（2,1）D•（2,1）
二、填空题
8•过点（1,2）且与直线x2y10平行的直线方程是_x2y50_.
9•已知两条直线I1:
ax3y30,l2:
4x6y10.若I1//I2，则a.
a2
解：
两条直线l1:
ax3y30,l2:
4x6y10.若I1//I2,，则a2•
33
10•若过点P（1a,1a）和Q（3,2a）的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是
:
a（2,1）
11•如果ab0,直线ax
byc
0的倾斜角为
且sin—
-41
sin
V1
sin,则
2
直线的斜率为
解析：
由sin—v1sin
J1
sin
sin一
cos—
sin一
cos—
2
2
2
2
2
因为ab0,直线ax
byc
0的倾斜角为
所以tan
a
-0
又
0,,
b
所以（一，），（一，），所以0cossin,
224222
所以sin（sincos—）（sincos—）2cos—,
222222
三、解答题
x2y10.
（I）求直线I的方程；
（n）求直线I与两坐标轴围成的三角形的面积S.
3x4y20,x2,
解：
（I）由解得
2xy20.y2.
由于点P的坐标是（2,2）.
则所求直线I与直线x2y10垂直，
可设直线l的方程为2xyC0.
所求直线l的方程为2xy20.
（n）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2,
1
所以直线I与两坐标轴围成三角形的面积S121.
2
13.求经过直线I1:
3x4y50与直线J:
2x3y80的交点M，且满足下列条件
①经过原点；②与直线I3:
2xy50平行；③与直线I4:
2xy50垂直的直
线方程。
答案：
x2y50
yi,
14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1,AB、AD边•分别在x
_Dc
IIi■O,■■■I■—
TA）~X
轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，若
折痕所在的直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程。
1
解：
（1）当k0时，A、D重合，折痕所在直线方程为y—
2
（2）当k0时，设折叠后A落在线段上的点为G（a,1），
所以A与G关于折痕所在直线对称。
kAGk1，可得ak,
练习题（第二部分）
C.相离
D.相交且直线过圆心
2•与圆C
2
:
x
2
y
2x35
0同圆心，且面积为圆
C面积的一
•半的圆的方程为（）
A.（x
1）2
2
y
18
B.（x1）2
2
y
9
C.（x
1）2
2
y
6
D.（x
1）2
2
y
3
3•圆心为
C
1
-,3
的圆与直线
l:
x2y30交于P、
Q两点，O为坐标原点，且满
2
A.相交但直线不过圆心
B.相切
1\2
亠、2
5
12
亠、2
5
A.（x
-）
（y
3）
B.（x-）
（y
3）
2
2
2
2
1\2
2
25
12
亠、2
25
C.（x
）2
（y
3）
D.（x-）
（y
3）
2
4
2
4
x1cos
4.P（x,y）是曲线
ysin.
22
上任意一点，则（X2）（y4）的最大值为（
5.两个圆G：
22
xy
2x
2y2
22
0与C2:
xy
4x2y
10的公切线有且仅
有（）
A.1条
B.
2条
C.
3条
D.4条
解析：
因为A
「20,「1
「2
4,002
S3，所以「1
r2Q02
「1「2，所以两圆相
A•36
B.26
C.25
D.6
交，故两圆公切线有2条。
6.从圆x2
2x
y22y10外一点P3,2向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余
弦值为（
）
1
3
■■3
D.0
A.—
B.
C.
2
5
2
2
解析：
圆x
2x
y22y
10的圆心为
M（1
1），半径为1，从外一点P（3,2）向:
圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于..5，每条切线与PM的夹角的正切值
1
等于一，所以两切线夹角的正切值为tan
2
l:
axby0的距离为2、2,
22
7.若圆xy4x4y100上至少有三个不同点到直线
则直线I的斜率的取值范围是（）
22
解析：
圆xy4x4y10
0整理为（x2）2（y2）2（3、2）2,
•••圆心坐标为（2,2），半径为32,
要求圆上至少有三个不同的点到直线l:
axby0的距离为22,
则圆心到直线的距离应小于等于2,
|2a_2b|
■-a2b2
2，•（b）24©1
•••23
（詁23,k（b）,•23k23，选B.
8.若直线2xy
2
c0按向量a=1,-1平移后与圆x
2
y5相切，则c的值为（）
C.4或6
解：
将直线
2x
c0按向量
a=1,-1
平移得2（x
1）
（y1）co,
即2xy
0,因为2x
0与圆x2
5相切，所以,
5,
二、填空题
29
9.圆xyax2y10关于直线x
22
y1对称的圆的方程是xy
10，则实
数a的值是2
10.若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y
fx（x>0）相切，则这个圆的方程
解析：
若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y
£x（x0）相切,
3
则圆心在直线y,3x上，且圆心的横坐标为
所以纵坐标为■.3,
2
这个圆的方程为（X1）
（y、、3）21。
11.已知圆M:
（xcos）2
（ysin）21，直线l
:
ykx，下面四个命题:
①对任意实数
k与，直线
l和圆
M相切;
②对任意实数
k与，直线
l和圆
M有公共点;
③对任意实数
，必存在实数k,
使得直线I与和圆
M相切
④对任意实数
k，必存在实数，
使得直线I与和圆
M相切.
其中真命题的序号是
（写出所有真命题的序号）
解：
②④，圆心坐标为（cos,sin）,
kcos—sin|/+k2|sin（+）|..z.Ald
d==|sin（+）|1。
Jl+k2/+k2
12.函数f（x）x24x13x212x37的最小值为.42
22
13•从原点向圆xy12y270作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
解析：
利用数形结合解此题有优势。
2222
因为xy12y270，所以x（y6）9，圆心在（0,6），半径为3，
设圆心为M，切点为N，则在RtOMN中，OM6,MN3,所以MON—,
6
2l2
所以两切线的夹角为，劣弧所对的圆心角为，故劣弧的弧长为丨2
3333
三、解答题
14•求过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点，且满足下列条件之一的
圆的方程.
（1）过原点；
（2）有最小面积.
22x
15•如果实数x,y满足xy4x10,求①一的最大值；②yx的最小值；
y
22f
③xy的最值.
分析：
x2y24x10表示以（2,0）点为圆心，半径为的圆，—为圆上的点M与原
y
点连线的斜率；设yxb，则yxb，可知b是斜率为1的直线在y轴上的截距，于是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；②实质上是求斜率为1的直线
与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值；③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大
值与最小值。
22
16.已知点P（2,0）及圆C:
x2y26x4y40.
（I）若直线I过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
径的圆Q的方程;
（川）设直线axy10与圆C交于A,B两点，是否存在实数a，使得过点P（2,0）
的直线12垂直平分弦AB?
若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
解：
（I）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0k（x2）.
又圆C的圆心为（3,2），半径r3,
（n）由于CP|75，而弦心距dJr2JMN）2弱,
所以dCPJ5，所以P为MN的中点.
22
故以MN为直径的圆Q的方程为（x2）y4.
（川）把直线axy10即yax1.代入圆C的方程,
22
消去y，整理得（a1）x6（a1）x90.
由于直线axy
10交圆C于代B两点，
故36（a1）
2
36（a1）0，即
2a
0，解得a0
则实数a的取值范f
围是（，0）.
设符合条件的实数
a存在，
由于l2垂直平分弦
AB，故圆心C（3,
2）必
在l2上.
所以l2的斜率kPC
2，而kaba
1
1
，所以a—.
kPC
2
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