高考数学专题突破《专题一1第1讲函数的图象与性质学案》解析版.docx

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高考数学专题突破《专题一1第1讲函数的图象与性质学案》解析版

第1讲　函数的图象与性质

年份

卷别

考查内容及考题位置

命题分析

2018

卷Ⅰ

利用图象研究零点问题·T9

1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10题或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.

2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大.

卷Ⅱ

图象的识别·T3

函数性质与求值·T11

卷Ⅲ

图象的识别·T7

2017

卷Ⅰ

利用函数的单调性、奇偶性求解不等式·T5

卷Ⅲ

分段函数与不等式的解法·T15

2016

卷Ⅰ

函数图象的判断·T7

函数及其表示（基础型）

分段函数问题的5种常见类型及解题策略

（1）求函数值：

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

（2）求函数最值：

分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

（3）解不等式：

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．

（4）求参数：

“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．

（5）奇偶性：

利用奇函数（偶函数）的定义判断．

[考法全练]

1．函数f（x）＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．－≤a<0　　　　　　　　B．a≤－

C．－1≤a≤－D．a≤－1

解析：

选D.因为f（x）＝是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则解得a≤－1，故选D.

2．若函数f（x）＝的最小值为f（0），则实数a的取值范围是（　　）

A．[－1，2]B．[－1，0]

C．[1，2]D．[0，2]

解析：

选D.当x≤0时，因为f（x）min＝f（0），所以f（x）＝（x－a）2在（－∞，0]上单调递减，故a≥0.

当x>0时，f（x）＝x＋＋a≥2＋a（当且仅当x＝1时取等号），因为f（x）min＝f（0），所以2＋a≥f（0）＝a2，

解得－1≤a≤2.

综上可知，0≤a≤2.故选D.

3．已知函数f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤2f

（1），则a的取值范围是（　　）

A．[－1，0）B．[0，1]

C．[－1，1]D．[－2，2]

解析：

选C.函数y＝f（x）的图象如图所示，由图可知f（x）为偶函数，所以f（－a）＝f（a），则不等式f（－a）＋f（a）≤2f

（1）等价为2f（a）≤2f

（1），即f（a）≤f

（1），再由图象可得|a|≤1，即－1≤a≤1.故选C.

4．已知函数f（x）＝若f[f（0）]＝4a，则实数a＝________．

解析：

由题意知，f（0）＝20＋1＝2，则f[f（0）]＝f

（2）＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2.

答案：

2

5．已知函数f（x）＝则不等式x＋（x＋1）f（x＋1）≤1的解集是________．

解析：

当x＋1<0，即x<－1时，f（x＋1）＝－（x＋1）＋1＝－x，不等式变为x－x（x＋1）≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈（－∞，－1）．

当x＋1≥0，即x≥－1时，f（x＋1）＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x（x＋1）≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，故x∈[－1，－1＋　]．

综上可知，所求不等式的解集为（－∞，－1＋　]．

答案：

（－∞，－1＋　]

函数的图象及应用（综合型）

函数图象变换的4种形式

（1）平移变换（上加下减，左加右减）

y＝f（x）的图象y＝f（x＋a）（y＝f（x－a））的图象；

y＝f（x）的图象y＝f（x）＋a（y＝f（x）－a）的图象．

（2）伸缩变换

y＝f（x）的图象y＝kf（x）的图象；

y＝f（x）的图象y＝f（kx）的图象．

（3）对称变换

y＝f（x）的图象y＝f（－x）的图象；

y＝f（x）的图象y＝－f（x）的图象；

y＝f（x）的图象y＝－f（－x）的图象；

y＝f（x）的图象y＝f（2a－x）的图象．

（4）翻折变换

y＝f（x）的图象y＝|f（x）|的图象，

y＝f（x）的图象y＝f（|x|）的图象．

[典型例题]

命题角度一　函数图象的识别

（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）函数f（x）＝的图象大致为（　　）

（2）已知定义域为[0，1]的函数f（x）的图象如图所示，则函数f（－x＋1）的图象可能是（　　）

（3）（一题多解）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f（x），则f（x）的图象大致为（　　）

【解析】　

（1）当x<0时，因为ex－e－x<0，所以此时f（x）＝<0，故排除A、D；又f

（1）＝e－>2，故排除C，选B.

（2）因为f（－x＋1）＝f[－（x－1）]，先将f（x）的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f（－x）的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f（－x＋1）的图象，故选B.

（3）法一：

当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤，则＝tanx，所以BP＝tanx，

所以AP＝，

所以f（x）＝tanx＋，

可见y＝f（x）图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.

当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，≤x≤，

则BP＋AP

＝＋

＝＋.

当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，≤x≤π，

则＝tan（π－x）＝－tanx，

所以AP＝－tanx，所以BP＝，

所以f（x）＝－tanx＋，根据函数的解析式可排除D，故选B.

法二：

当点P位于点C时，x＝，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，当点P位于CD的中点时，x＝，此时AP＋BP＝2<1＋，故可排除C，D，当点P位于点D时，x＝，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A，故选B.

【答案】　

（1）B　

（2）B　（3）B

（1）由函数解析式识别函数图象的策略

（2）根据动点变化过程确定其函数图象的策略

①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．

②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．

③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．　

命题角度二　函数图象的应用

若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．

【解析】　在同一坐标系中画出函数f（x）＝2－x2，g（x）＝|x－a|的图象，如图所示，若a≤0，则其临界情况为折线g（x）＝|x－a|与抛物线f（x）＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·（a＋2）＝0，解得a＝－；若a>0，则其临界情况为两函数图象的交点为（0，2），此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是.

【答案】　

对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．　

[对点训练]

1．（2018·湖南湘东五校联考）函数f（x）＝cosx的图象的大致形状是（　　）

解析：

选B.因为f（x）＝cosx，所以f（－x）＝cos（－x）＝－cosx＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A，C，又当x∈时，ex>e0＝1，－1<0，cosx>0，所以f（x）<0，可排除选项D，故选B.

2．（2018·高考全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝，则满足f（x＋1）

A．（－∞，－1]　　　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－1，0）D．（－∞，0）

解析：

选D.当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f（x＋1）

3.某地一年的气温Q（t）（单位：

℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（　　）

解析：

选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.

4．若不等式（x－1）2

解析：

要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2

当01时，如图，要使x∈（1，2）时y＝（x－1）2的图象在y＝logax的图象的下方，只需（2－1）2≤loga2，即loga2≥1，解得1

答案：

（1，2]

函数的性质及应用（综合型）

与函数周期性有关的5条结论

（1）若f（x＋T）＝f（x），则T是f（x）的一个周期．

（2）若f（x＋T）＝，则2T是f（x）的一个周期．

（3）若f（x＋T）＝－，则2T是f（x）的一个周期．

（4）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x），且f（2b－x）＝f（x）（其中a

（5）若对于定义域内的任意x都有f（x＋a）＝f（x＋b）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

与函数对称性有关的3条结论

（1）函数y＝f（x）关于x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）．

（2）函数y＝f（x）关于x＝对称⇔f（a＋x）＝f（b－x）⇔f（x）＝f（b＋a－x）．

（3）y＝f（x＋a）是偶函数⇔函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．

[典型例题]

命题角度一　函数单调性的应用

（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1x1f（x2），记a＝f

（2），b＝f

（1），c＝－f（－3），则a，b，c之间的大小关系为（　　）

A．a>b>c　　　　　　　　B．b>a>c

C．c>b>aD．a>c>b

（2）已知函数f（x）＝（a－2）ax（a>0且a≠1），若对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是________．

【解析】　

（1）因为对任意两个正数x1，x2（x1x1f（x2），所以>，得函数g（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，又c＝－f（－3）＝f（3），所以g

（1）>g

（2）>g（3），即b>a>c，故选B.

（2）当02时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f（x）单调递增．又由题意知f（x）单调递增，故a的取值范围是（0，1）∪（2，＋∞）．

【答案】　

（1）B　

（2）（0，1）∪（2，＋∞）

（1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

（2）对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0或>0，则f（x）在闭区间[a，b]上是增函数．

（3）若函数f（x）在定义域（或某一区间）上是增函数，则f（x1）

命题角度二　函数的奇偶性与周期性

（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A．－50B．0

C．2D．50

（2）已知函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于（　　）

A．0B．2

C．4D．8

【解析】　

（1）因为f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），且f（0）＝0.因为f（1－x）＝f（1＋x），所以f（x）＝f（2－x），f（－x）＝f（2＋x），所以f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），所以f（x）是周期函数，且一个周期为4，所以f（4）＝f（0）＝0，f

（2）＝f（1＋1）＝f（1－1）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1＋2）＝f（1－2）＝－f

（1）＝－2，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（50）＝12×0＋f（49）＋f（50）＝f

（1）＋f

（2）＝2，故选C.

（2）f（x）＝＝2＋，设g（x）＝，

因为g（－x）＝－g（x），所以g（x）为奇函数，

所以g（x）max＋g（x）min＝0.

因为M＝f（x）max＝2＋g（x）max，

m＝f（x）min＝2＋g（x）min，

所以M＋m＝2＋g（x）max＋2＋g（x）min＝4.

【答案】　

（1）C　

（2）C

（1）奇偶性：

具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分（一半）区间上．尤其注意偶函数f（x）的性质f（|x|）＝f（x）．

（2）周期性：

利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．　

[对点训练]

1．定义在R上的函数f（x）对任意0

（2）＝2，则不等式f（x）－x>0的解集是（　　）

A．（－2，0）∪（0，2）

B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（0，2）

D．（－2，0）∪（2，＋∞）

解析：

选C.由<1，

可得<0.

令F（x）＝f（x）－x，由题意知F（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，且是奇函数，F

（2）＝0，F（－2）＝0，所以结合图象，令F（x）>0，得x<－2或0

2．（2018·惠州第一次调研）已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10恒成立；

②f（x＋4）＝－f（x）；

③y＝f（x＋4）是偶函数．

若a＝f（6），b＝f（11），c＝f（2017），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

A．a

C．a

解析：

选B.由①知函数f（x）在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），即函数f（x）的周期为8，所以c＝f（2017）＝f（252×8＋1）＝f

（1），b＝f（11）＝f（3）；由③可知函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f（3）＝f（5），c＝f

（1）＝f（7）．因为函数f（x）在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f（5）

3．（2018·山西八校第一次联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋2）＝－，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f＝________．

解析：

因为f（x＋2）＝－，所以f（x＋4）＝f（x），所以f＝f，又2≤x≤3时，f（x）＝x，所以f＝，所以f＝.

答案：

新定义函数（创新型）

新定义函数问题主要包括两类：

（1）概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素（定义域、对应法则、值域）作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；

（2）性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．

[典型例题]

（2018·洛阳第一次统考）若函数f（x）同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

（1）∀x∈R，都有f（－x）＋f（x）＝0；

（2）∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.

①f（x）＝sinx；②f（x）＝－2x3；③f（x）＝1－x；④f（x）＝ln（＋x）．

以上四个函数中，“优美函数”的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

【解析】　由条件

（1），得f（x）是奇函数，由条件

（2），得f（x）是R上的单调减函数．

对于①，f（x）＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f（x）＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f（x）＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f（x）在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.

【答案】　B

解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．　

[对点训练]

1．若函数exf（x）（e＝2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）

A．f（x）＝2－xB．f（x）＝x2

C．f（x）＝3－xD．f（x）＝cosx

解析：

选A.对于选项A，f（x）＝2－x＝，则exf（x）＝ex·＝，因为>1，所以exf（x）在R上单调递增，所以f（x）＝2－x具有M性质．对于选项B，f（x）＝x2，exf（x）＝exx2，[exf（x）]′＝ex（x2＋2x），令ex（x2＋2x）>0，得x>0或x<－2；令ex（x2＋2x）<0，得－2

2．（2018·西安模拟）对于使f（x）≤M成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f（x）的上确界，若a，b∈（0，＋∞）且a＋b＝1，则－－的上确界为（　　）

A．－B．

C．D．－4

解析：

选A.因为a＋b＝1，所以－－＝－－＝－－，因为a>0，b>0，所以＋≥2，当且仅当b＝2a时取等号，所以－－≤－－2＝－，所以－－的上确界为－，故选A.

一、选择题

1．已知函数f（x）＝则满足f（a）≥2的实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）∪（0，＋∞）

B．（－1，0）

C．（－2，0）

D．（－∞，－1]∪[0，＋∞）

解析：

选D.因为函数f（x）＝且f（a）≥2，所以或，解得a≤－1或a≥0.

2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝　　　　　　　　B．y＝|x|－1

C．y＝lgxD．y＝

解析：

选B.A中函数y＝不是偶函数且在（0，＋∞）上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在（0，＋∞）上单调递增，故选B.

3．已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝ln（ex＋1）－bx是偶函数，则logab＝（　　）

A．1B．－1

C．－D.

解析：

选B.由题意得f（0）＝0，所以a＝2.

因为g

（1）＝g（－1），所以ln（e＋1）－b＝ln＋b，

所以b＝，所以logab＝log2＝－1.

4．（2018·高考全国卷Ⅲ）函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为（　　）

解析：

选D.当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在（－1，1）上有三个极值点，所以排除C，故选D.

5.若函数f（x）＝的图象如图所示，则f（－3）等于（　　）

A．－B．－

C．－1D．－2

解析：

选C.由图象可得a（－1）＋b＝3，ln（－1＋a）＝0，

所以a＝2，b＝5，所以f（x）＝

故f（－3）＝2×（－3）＋5＝－1.

6．（2018·开封模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋2），当x∈（0，2]时，f（x）＝2x＋log2x，则f（2015）＝（　　）

A．5B.

C．2D．－2

解析：

选D.由f（x）＝－f（x＋2），得f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2015）＝f（503×4＋3）＝f（3）＝f（1＋2）＝－f

（1）＝－（2＋0）＝－2，故选D.

7．（2018·石家庄质量检测

（一））已知函数f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）单调递增，且f

（1）＝0，若f（x－1）>0，则x的取值范围为（　　）

A．{x|02}B．{x|x<0或x>2}

C．{x|x<0或x>3}D．{x|x<－1或x>1}

解析：

选A.由于函数f（x）是奇函数，且当x>0时f（x）单调递增，f

（1）＝0，故由f（x－1）>0，得－11，所以02，故选A.

8．（2018·高考全国卷Ⅲ）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（　　）

A．y＝ln（1－x）B．y＝ln（2－x）

C．y＝ln（1＋x）D．y＝ln（2＋x）

解析：

选B.法一：

设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数f（x）＝lnx的图象上，所以y＝ln（2－x）．故选B.

法二：

由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.

9.如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）

解析：

选B.设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数y＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，所以排除D.故选B.

10．（2018·太原模拟）已知函数f（x）是偶函数，f（x＋1）是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有（x1－x2）[f（x1）