第五章异方差性思考题.docx
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第五章异方差性思考题
第五章异方差性思考题
5.1简述什么是异方差?
为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关?
5.2试归纳检验异方差方法的基本思想,并指出这些方法的异同。
5.3什么是加权最小二乘法,它的基本思想是什么?
5.4产生异方差的原因是什么?
试举例说明经济现象中的异方差性。
5.5如果模型中存在异方差性,对模型有什么影响?
这时候模型还能进行应用分析吗?
5.6对数变化的作用是什么?
进行对数变化应注意什么?
对数变换后模型的经济意义有什么变化?
5.7怎样确定加权最小二乘法中的权数?
练习题
5.1设消费函数为
其中,
为消费支出；
为个人可支配收入；
为个人的流动资产；
为随机误差项,
并且E（
）=0,Var（
）=
（其中
为常数）。
试回答以下问题:
1）选用适当的变换修正异方差,要求写出变换过程;
2）写出修正异方差后的参数估计量的表达式。
5.2根据本章第四节的对数变换,我们知道对变量取对数通常能降低异方差性,但需对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。
例如,设模型为
对该模型中的变量取对数后得
1）如果ln
要有零期望值,
的分布应该是什么?
2）如果E（
）=1,会不会E（ln
）=0?
为什么?
3）如果E（ln
）不为零,怎样才能使它等于零?
5.3表5.8给出消费Y与收入X的数据,试根据所给数据资料完成以下问题:
1）估计回归模型
中的未知参数
和
并写出样本回归模型的书写格式；
2）试用GOMeld-Quandt法和White法检验模型的异方差性3
3）选用合适的方法修正异方差。
Y
X
Y
X
Y
X
55
80
152
220
95
140
65
100
144
210
108
145
70
85
175
245
113
150
80
110
180
260
110
160
79
120
135
190
125
165
84
115
140
205
115
180
98
130
178
265
130
185
95
140
191
270
135
190
90
125
137
230
120
200
75
90
189
250
140
205
74
105
55
80
140
210
110
160
70
85
152
220
113
150
75
90
140
225
125
165
65
100
137
230
108
145
74
105
145
240
115
180
80
110
175
245
140
225
84
115
189
250
120
200
79
120
180
260
145
240
90
125
178
265
130
185
98
130
191
270
5.4表5.9给出1985年我国北方地区农业总产值,农用化肥量、农用水利、农业劳动力、户均固定资产以及农机动力数据,要求:
1）试建立我国北方地区农业产出线性模型;
2）选用适当的方法检验模型中是否存在异方差;
3）如果存在异方差,采用适当的方法加以修正。
地区
农业总产值
（亿元）
农业劳动力
（万人）
灌溉面积
（万公顷）
化肥用量
（万吨）
户均固定
资产（元）
农机动力
（万马力）
北京
19.64
90.1
33.84
7.5
394.3
435.3
天津
14.4
95.2
34.95
3.9
567.5
450.7
河北
149.9
1639.0
357.26
92.4
706.89
2712.6
山西
55.07
562.6
107.9
31.4
856.37
1118.5
内蒙古
60.85
462.9
96.49
15.4
1282.81
641.7
辽宁
87.48
588.9
72.4
61.6
844.74
1129.6
吉林
73.81
399.7
69.63
36.9
2576.81
647.6
黑龙江
104.51
425.3
67.95
25.8
1237.16
1305.8
山东
276.55
2365.6
456.55
152.3
5812.02
3127.9
河南
200.02
2557.5
318.99
127.9
754.78
2134.5
陕西
68.18
884.2
117.9
36.1
607.41
764
新疆
49.12
256.1
260.46
15.1
1143.67
523.3
*1马力=0.735kW
5.5表5.10中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X）。
试根据资料建立一个回归模型,运用Glejser方法和White方法检验异方差,由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。
表5.10美国工业群体销售、研发、利润数据（单位:
106美元）
工业群体
销售量X
R&D费用Y
利润Z
1.容器与包装
6375.3
62.5
185.1
2.非银行业金融
11626.4
92.9
1569.5
3.服务行业
14655.1
178.3
276.8
4.金属与采矿
21869.2
258.4
2828.1
5.住房与建筑
26408.3
494.7
225.9
6.一般制造业
32405.6
1083
3751.9
7.休闲娱乐
35107.7
1620.6
2884.1
8.纸张与林木产品
40295.4
421.7
4645.7
9.食品
70761.6
509.2
5036.4
10.卫生保健
80552.8
6620.1
13869.9
11.宇航
95294
3918.6
4487.8
12.消费者用品
101314.3
1595.3
10278.9
13.电器与电子产品
116141.3
6107.5
8787.3
14.化工产品
122315.7
4454.1
16438.8
15.五金
141649.9
3163.9
9761.4
16.办公设备与电算机
175025.8
13210.7
19774.5
17.燃料
230614.5
1703.8
22626.6
18.汽车
293543
9528.2
18415.4
5.6表5.11给出收入和住房支出样本数据,建立住房支出模型。
表5.11收入和住房支出样本数据
住房支出
收入
1.8
5
2
5
2
5
2
5
2.1
5
3
10
3.2
10
3.5
10
3.5
10
3.6
10
4.2
15
4.2
15
4.5
15
4.8
15
5
15
4.8
20
5
20
5.7
20
6
20
6.2
20
假设模型为
其中,Y为住房支出,X为收入。
试求解下列问题:
1）用OLS求参数的估计值、标准差、拟合优度。
2）用GoMeld-Quandt方法检验异方差（假设分组时不去掉任何样本值）。
3）如果模型存在异方差,假设异方差的形式是
试用加权最小二乘法重新估计
和
的估计值、标准差、拟合优度。
5.7表5.12给出1969年20个国家的股票价格变化率（Y）和消费者价格变化率（X）的一个横截面数据。
表5.121969年20个国家的股票价格变化率{Y}和消费者价格变化率{X}
国家
股票价格变化率%Y
消费者价格变化率%X
1.澳大利亚
5
4.3
2.奥地利
11.1
4.6
3.比利时
3.2
2.4
4.加拿大
7.9
2.4
5.智利
25.5
26.4
6.丹麦
3.8
4.2
7.芬兰
11.1
5.5
8.法国
9.9
4.7
9.德国
13.3
2.2
10.印度
1.5
4
11.爱尔兰
6.4
4
12.以色列
8.9
8.4
13.意大利
8.1
3.3
14.日本
13.5
4.7
15.墨西哥
4.7
5.2
16.荷兰
7.5
3.6
17.新西兰
4.7
3.6
18.瑞典
8
4
19.英国
7.5
3.9
20.美国
9
2.1
试根据资料完成以下问题:
1）将Y对X回归并分析回归中的残差;
2）因智利的数据出现了异常,去掉智利数据后,重新作回归并再次分析回归中的残差;
3）如果根据1款的结果你将得到有异方差性的结论,而根据2款的结论你又得到相反的
结论,对此你能得出什么样的结论?
5.8表5.13给出的是1998年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据。
表5.131998年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据（单位:
亿元）
行业名称
销售收入
销售利润
行业名称
销售收入
销售利润
食品加工业
187.25
3180.44
医药制造业
238.71
1264.1
食品制造业
111.42
1119.88
化学纤维制造
81.57
779.46
饮料制造业
205.42
1489.89
橡胶制品业
77.84
692.08
烟草加工业
183.87
1328.59
塑料制品业
144.34
1345
纺织业
316.79
3862.9
非金属矿制品
339.26
2866.14
服装制造业
157.7
1779.1
黑色金属冶炼
367.47
3868.28
皮革羽绒制品
81.73
1081.77
有色金属冶炼
144.29
1535.16
木材加工业
35.67
443.74
金属制品业
201.42
1948.12
家具制造业
31.06
226.78
普通机械制造
354.69
2351.68
造纸及纸制品
134.4
1124.94
专用设备制造
238.16
1714.73
印刷业
90.12
499.83
交通运输设备
511.94
4011.53
文教体育用品
54.4
504.44
电子机械制造
409.83
3286.15
石油加工业
194.45
2363.8
电子通讯设备
508.15
4499.19
化学原料制品
502.61
4195.22
仪器仪表设备
72.46
663.68
试完成以下问题:
1）求销售利润岁销售收入的样本回归函数,并对模型进行经济意义检验和统计检验;
2）分别用图形法、Glejser方法、White方法检验模型是否存在异方差;
3）如果模型存在异方差,选用适当的方法对异方差性进行修正。
5.9表5.14所给资料为1978~2000年四川省农村人均纯收入
和人均生活费支出
的数据。
表5.14四川省农村人均纯收入和人均生活费支出
时间
农村人均纯收入X
农村人均生活费支出Y
时间
农村人均纯收入X
农村人均生活费支出Y
1978
127.1
120.3
1990
557.76
509.16
1979
155.9
142.1
1991
590.21
552.39
1980
187.9
159.5
1992
634.31
569.46
1981
220.98
184
1993
698.27
647.43
1982
255.96
208.23
1994
946.33
904.28
1983
258.39
231.12
1995
1158.29
1092.91
1984
286.76
251.83
1996
1459.09
1358.03
1985
315.07
276.25
1997
1680.69
1440.48
1986
337.94
310.92
1998
1789.17
1440.77
1987
369.46
348.32
1999
1843.47
1426.06
1988
448.85
426.47
2000
1903.6
1485.34
1989
494.07
473.59
资料来源:
四川统计年鉴,2001
1）求农村人均生活费支出对人均纯收入的样本回归函数,并对模型进行经济意义检验和统计检验;
2）选用适当的方法检验模型中是否存在异方差;
3）如果模型存在异方差,选用造当的方法对异方差性进行修正。
5.10在5.9中用的是时间序列数据,而且没有剔除物价上涨因素。
试分析如果剔除物价上涨因素,即用实际可支配收入和实际消费支出,异方差的问题是否会有所改善?
由于缺乏四川省1978年后的农村居民消费价格定基指数,以1978-2000年全国商品零售价格指数（1978年为100）代替,如表5.15所示。
表5.151978~2000年全国商品零售价格指数
年份
商品零售价格指数
年份
商品零售消费价格指数
年份
商品零售消费价格指数
1978
100
1986
135.8
1994
310.2
1979
102
1987
145.7
1995
356.1
1980
108.1
1988
172.7
1996
377.8
1981
110.7
1989
203.4
1997
380.8
1982
112.8
1990
207.7
1998
370.9
1983
114.5
1991
213.7
1999
359.8
1984
117.7
1992
225.2
2000
354.4
1985
128.1
1993
254.9
资料来源:
中国统计年鉴2001
第五章 异方差性 思考与练习
1.简述什么是异方差?
为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？
答：
异方差性是指模型违反古典假定中的同方差性，即各残差项的方差并非相等。
一般地，由于数据观测质量、数据异常值、某些经济变化的特性、模型设定形式的偏误等原因，导致了异方差的出现。
主要原因往往是重要变量的遗漏，所以很多情况下，异方差表现为残差方差随着某个（未纳入模型的）解释变量的变化而变化。
2. 归纳教材中所介绍的检验异方差的方法的基本思想。
答：
本书中给出了5种检验方法：
Goldfeld－Quandt检验，Glejser检验，Breusch-Pagan检验，White检验，ARCH检验。
其共同的基本思想是：
判断随机误差项与解释变量观测值之间的相关性。
对上述每一种检验来说，具体的寻找误差项与解释变量的关系的方法手段有所不一样。
。
。
。
。
3.什么是加权最小二乘法，它的基本思想是什么？
答：
加权最小二乘法是对各个残差的平方赋予不同的权重后求和，求解参数估计值，使加权之后的残差平方和最小。
这种确定参数估计值的方法称为加权最小二乘法。
其基本思想是：
在异方差的情形下，方差越小，偏离均值的离散程度越小，越应该受到重视。
即ei的方差越小，在确定回归线时起的作用越大，反之，起的作用越小。
这样，应该对方差小的ei赋予较大的权重，对方差大的ei赋予较小的权重，让各个ei2提供的信息大致一致。
4.判断下列说法是否正确，并简要说明为什么。
（1） 当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性；
答：
不正确。
这个时候估计式是无偏的，但是不具有最小方差性。
（2） 当异方差出现时，常用的t和F检验失效；
答：
正确。
由于方差不是常数而是变数，这时一般意义上t比值的分布是未知的，但肯定不再遵从t-分布，使得t检验失效；同理，在异方差条件下，F比值也不再是遵从F-分布，F检验也失效。
（3） 异方差情况下，通常的OLS估计一定高估了估计量的标准差；
答：
一般是低估了其标准差。
（4） 如果OLS回归的残差表现出系统性，则说明数据中有异方差性；
答：
是，但同时也要考虑自相关性的存在。
（5） 如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS残差必定表现出明显的趋势；
答：
是。
尤其是在经济、金融数据中，这种异方差性的现象更为突出。
（6） 如果模型遗漏一个非恒定方差的回归元，则残差将会呈异方差。
答：
一般来说是的，但是有时候不见得会表现出来或者说不一定能够观察得到。
5.由表5.7给出消费Y与收入的数据，试根据数据完成一下问题：
（1） 估计回归模型
（2） 检验异方差性（可用Goldfeld-Quandt检验）；
（3） 选用合适的方法修正异方差。
解答：
（1）回归的结果如下：
DependentVariable:
Y
Method:
LeastSquares
Date:
05/14/03 Time:
20:
43
Sample:
160
Includedobservations:
60
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
X
0.637069
0.019903
32.00881
0.0000
C
9.347522
3.638437
2.569104
0.0128
R-squared
0.946423
Meandependentvar
119.6667
AdjustedR-squared
0.945500
S.D.dependentvar
38.68984
S.E.ofregression
9.032255
Akaikeinfocriterion
7.272246
Sumsquaredresid
4731.735
Schwarzcriterion
7.342058
Loglikelihood
-216.1674
F-statistic
1024.564
Durbin-Watsonstat
1.790431
Prob（F-statistic）
0.000000
由回归结果可以看出，系数t检验显著，F检验显著，可决系数高。
（2）检验是否存在异方差。
以下用ARCH检验来检是否真的存在异方差。
选取ARCH过程的阶数为p＝3，上机检验，结果为：
ARCHTest:
F-statistic
2.778208
Probability
0.050053
Obs*R-squared
7.745602
Probability
0.051573
TestEquation:
DependentVariable:
RESID^2
Method:
LeastSquares
Date:
05/14/03 Time:
21:
14
Sample（adjusted）:
460
Includedobservations:
57afteradjustingendpoints
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
55.68621
20.58199
2.705579
0.0092
RESID^2（-1）
0.393629
0.137318
2.866553
0.0059
RESID^2（-2）
-0.109321
0.147425
-0.741540
0.4616
RESID^2（-3）
0.029690
0.137745
0.215545
0.8302
R-squared
0.135888
Meandependentvar
80.63792
AdjustedR-squared
0.086976
S.D.dependentvar
113.7403
S.E.ofregression
108.6814
Akaikeinfocriterion
12.28231
Sumsquaredresid
626017.6
Schwarzcriterion
12.42568
Loglikelihood
-346.0458
F-statistic
2.778208
Durbin-Watsonstat
1.998685
Prob（F-statistic）
0.050053
（n－p）*R2＝7.7456，查卡方分布表，给定显著水平0.05，得临界值
，非常接近前面的观测值7.7456。
虽然可以说没有异方差，但是不是很肯定。
所以我们再做White检验，来判别一下是否存在异方差。
WhiteHeteroskedasticityTest:
F-statistic
6.301373
Probability
0.003370
Obs*R-squared
10.86401
Probability
0.004374
TestEquation:
DependentVariable:
RESID^2
Method:
LeastSquares
Date:
05/14/03 Time:
21:
33
Sample:
160
Includedobservations:
60
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
-10.03614
131.1424
-0.076529
0.9393
X
0.165977
1.619856
0.102464
0.9187
X^2
0.001800
0.004587
0.392469
0.6962
R-squared
0.181067
Meandependentvar
78.86225
AdjustedR-squared
0.152332
S.D.dependentvar
111.1375
S.E.ofre
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