《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8平面几何.docx

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《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8平面几何

专题之8、平面几何

一、选择题。

1．（2009年复旦大学）一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k∶1（k>1）,则这个菱形的一个

等于

A.arctan（k）

B.arctan

C.arctan

D.arctan

2．（2009年复旦大学）用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠）,有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

3．（2012年复旦大学）设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是

A.每个S四边形都是凸四边形

B.存在S五边形为凸五边形

C.每个S五边形都不是凸五边形

D.至少有两个S四边形是凸四边形

4．（2011年同济大学等九校联考）如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为

5．（2010年清华大学等五校联考）如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则△OFG与△GHA面积之比为

A.1∶4

B.1∶3

C.2∶5

D.1∶2

6．（2012年清华大学等七校联考）已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF的长为

A.8

B.9

C.10

D.11

二、解答题。

7．（2009年华中科技大学）由图1,

得4（ab）+c2=（a+b）2,　　①可推得勾股定理a2+b2=c2.

则由图2,

可得一个类似于①的等式:

　         .

从而推得一个重要的三角公式:

　         .

8．（2009年中国科技大学）如图所示,

已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.

9．（2012年同济大学等九校联考）如图,

AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.

（1）求GH;

（2）连接FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.

10．（2009年北京大学）如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.

11．（2010年北京大学等三校联考）A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:

AB最长为.

12．（2011年北京大学等十三校联考）在△ABC中,a+b≥2c,求证:

∠C≤60°.

13．（2011年北京大学等十三校联考）已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.

14．（2012年北京大学等十一校联考）求证:

若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.

A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图③,选项C正确.

4.B

【解析】因为AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又PA是☉O的切线,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PG·PF,知PA=.故选B.

5.A

【解析】观察到△OFG与△GHA相似,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.因为O点为△ABC的外心,OF⊥BC,所以F是BC边的中点,故AF是BC边上的中线,由欧拉定理可知OH和AF的交点G为△ABC的重心,所以FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△HAG,故两三角形面积之比为1∶4.选A.

6.B

【解析】方法一　如图,

7.用面积分割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2×[（nsinβ）（ncosβ）]+2×[（msinα）（mcosα）],

中间平行四边形的面积为mnsin[π−（α+β）]=mnsin（α+β）,而整个图形的面积为（nsinβ+msinα）（ncosβ+mcosα）,

∴2×[（nsinβ）（ncosβ）]+2×[（msinα）（mcosα）]+mnsin（α+β）

=（nsinβ+msinα）（ncosβ+mcosα）,

整理上式有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

8.过E作BC的平行线,交AD于S.

10.

11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|<|PR1|.

（2）如图2,当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A',有|A'B|>|AB|）.

不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的）,则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q移动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.

对于线段PQ上任意一点B,都有|BR2|≥|BA|.于是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.

由

（1）

（2）知|AB|max=|R2P|.下面研究正五边形对角线的长.

如图3,

12.

【解析】论证角的范围往往是通过先论证该角的某个三角函数值的范围后,再结合相应函数的单调性进行的.本题是在三角形中解决问题,并且已知了三角形的三条边之间的关系,因此可考虑利用余弦定理先确定cosC的范围,再根据余弦函数的单调性证得结论.

13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,因此可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.

如图,

不妨设AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD;在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA·BCcos∠ABC,由于AD=BC,AB=BA,

∠ABC+∠DAB=π,故两式相加得AC2+BD2=2（AB2+AD2）,于是62+AC2=2×（52+32）,解得AC=4,即另一条对角线长为4.

14.方法一　如图1所示,

五边形ABCDE为☉O内接五边形,延长AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连接AC.

因为∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.

因为A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠GDE,∠GCA=∠GED,

所以∠CAG=∠GCA,故GA=GC,可得AE=CD.

连接AD,同理可得AB=CD,从而AE=AB=CD.

同样延长BC,ED,BA,DE,可证得BA=BC=DE,

所以AB=BC=CD=DE=EA,从而可得五边形ABCDE为正五边形.

方法二　如图2所示,