数学浙教版九上反比例函数常见题型中考数学复习知识讲解例题解析强化训练.docx

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数学浙教版九上反比例函数常见题型中考数学复习知识讲解例题解析强化训练

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

反比例函数在中考中的常见题型

◆知识讲解

1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=

（k≠0）．

2．反比例函数y=

（k≠0）的性质

（1）当k>0时

函数图像的两个分支分别在第一，三象限内

在每一象限内，y随x的增大而减小．

（2）当k<0时

函数图像的两个分支分别在第二，四象限内

在每一象限内，y随x的增大而增大．

（3）在反比例函数y=

中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．

（4）若双曲线y=

图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=

．

（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．

◆例题解析

例1（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=

的图像经过点A，

（1）求点A的坐标；

（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，求这个一次函数的解析式．

【分析】

（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=

可求得a的值，从而得出点A的坐标．

（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．

【解答】

（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．

∵点A在反比例函数y=

的图像上，得3a=

，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．

∴点A的坐标为（2，6）．

（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．

∵m>0，∴m=

．

解得m=

，经检验m=

是原方程的根，

∴点B的坐标为（0，

）．

设一次函数的解析式为y=kx+

．

由于这个一次函数图像过点A（2，6），

∴6=2k+

，得k=

．

∴所求一次函数的解析式为y=

x+

．

例2如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=

的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？

如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？

（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的

，而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．

由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．

【解答】

（1）设B（x，0），则A（x0，

），其中0>0，m>0．

在Rt△ABO中，AB=

，OB=x0．

则S△ABO=

·x0·

=3，即m=6．

所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=

．

（2）由

得x2+6x－6=0，

解得x1=－3+

，x2=－3－

．

∴A（－3+

，3+

），D（－3－

，3－

）．

由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有

y=

．即xy=6．

∴S△DEO=

│xDyD│=3，即S△DEO=S△ABO．

（3）由A（－3+

，3+

）和D（－3－

，3－

）可得AO=4

，DO=4

，即AO=DO．

由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．

【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．

◆强化训练

一、填空题

1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=

交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．

图1图2图3

2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－

，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．

3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．

4．若y=

中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．

5．反比例函数y=

的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．

6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+

无交点，则b的取值范围是______．

7．反比例函数y=

的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．

8．（2008，咸宁）两个反比例函数y=

和y=

在第一象限内的图像如图3所示，点P在y=

的图像上，PC⊥x轴于点C，交y=

的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

的图像于点B，当点P在y=

的图像上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；

②四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

二、选择题

9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=

（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

A．1

图4图5图6

10．反比例函数y=

（k>0）的第一象限内的图像如图5所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（）

A．S=

B．S=

C．S=kD．S>k

11．如图6，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=

的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）

A．2B．

C．

D．2

12．函数y=

与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n）在双曲线y=

上，那么函数y=（n－1）x+2m的图像不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

14．（2006，攀枝花）正比例函数y=2kx与反比例函数y=

在同一坐标系中的图像不可能是（）

15．已知P为函数y=

的图像上一点，且P到原点的距离为

，则符合条件的P点数为（）

A．0个B．2个C．4个D．无数个

16．如图，A，B是函数y=

的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（）

A．S=1B．12

三、解答题

17．已知：

如图，反比例函数y=－

与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：

（1）A，B两点的坐标；

（2）△AOB的面积．

18．（2006，广州白云区）如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－

的图像交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积．

19．已知函数y=

的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=

的解析式．

20．（2006，北京市）在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90°得到直线L．直线L与反比例函数y=

的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．

21．（2008，南通）如图所示，已知双曲线y=

与直线y=

x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y=

于点E，交BD于点C．

（1）若点D的坐标是（－8，0），求A，B两点的坐标及k的值；

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；

（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

22．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上的一个动点，可以与B重合但不与A重合，DP交弓形弧于Q．

（1）求证：

△CDQ∽△DPA；

（2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当DP之长是方程x2－8x－20=0的一根时，求四边形PBCQ的面积．

答案:

1．202．y=－

3．y=

4．2或－1；－1

5．－2；2

6．0≤b<47．（－2，－2）

8．①②④9．C10．B11．C12．C13．B14．D15．A16．C

17．

（1）由

，解得

，

∴A（－2，4），B（4，－2）．

（2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x轴交于M（2，0），∴OM=2．

∴S△AOB=S△AOM+S△BOM=

OM·│yA│+

OM·│yB│=

·2·4+

·2·2=4+2=6．

18．

（1）y=－x+2

（2）S△AOB=6

19．由△=（－4a）2－4（4a2－6a－8）≥0得a≥－

，

又∵a是最小整数，

∴a=－1．

∴二次方程即为x2+4x+2=0，又mn=2，而（m，n）在y=

的图像上，∴n=

，∴mn=k，∴k=2，∴y=

．

20．依题意得，直线L的解析式为y=x．

∵A（a，3）在直线y=x上，

则a=3．即A（3，3）．

又∵A（3，3）在y=

的图像上，

可求得k=9．

∴反比例函数的解析式为y=

．

21．

（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y=

x中，得y=－2．

∴B点坐标为（－8，－2），而A，B两点关于原点对称，∴A（8，2）．

从而k=8×2=16．

（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上，

∴mn=k，B（－2m，－

），C（－2m，－n），E（－m，－n）．

S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=

mn=

k，S△OEN=

mn=

k，