八年级春季班06列方程解应用题.docx
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八年级春季班06列方程解应用题
增长率问题公式：
其中a为初始值即变化前值，b为变化后值，x为增长率或者降低率．
【例1】一种药品经过两次降价后，每盒的价格从原来的60元降到现在的48.6元，设平均每次的降低率是x元，则可以列方程：
_____________，降低率是________．
【难度】★
【答案】，．
【解析】设平均每次的降低率为，依题意可得：
，解得：
，（舍），
即得降低率是．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用．
【例2】某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入的，该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率为，依题意可得：
，解得：
，（舍），即得平均增长率是．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用．
【例3】一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是
11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设这辆车第二、三年的折旧率为，依题意可得：
，
解得：
，（舍），即得这辆车第二、三年的折旧率是．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用．
【例4】某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间上月生产120台．问：
甲车间上月生产多少台?
6月份每个车间增产的百分率是多少?
【难度】★★
【答案】甲车间上月生产100台，增产百分率是
【解析】设甲车间上月生产台，则6月份生产台，
依题意可得：
，整理得，
解得：
，（舍），
即得甲车间上月生产100台，每个车间增产百分率为．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用．
【例5】某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的，求新产品花生亩产量的增长率?
【难度】★★
【答案】．
【解析】设新产品花生亩产量的增长率，则出油率增长率为，依题意可得：
，整理得，
解得：
，（舍），即得新产品花生亩产量增长率是．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用．
【例6】某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:
3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．
【难度】★★★
【答案】甲产品每月产量增长率是，乙产品1月份的产量为20件．
【解析】设甲种产品每月的增长率为，则甲2月份的产量为，3月份的产量为，
则乙3月份产量为，2月份的产量为，
依题意可得：
，整理得，
解得：
，（舍），即得甲产品每月产量增长率是，
乙产品1月份的产量为件．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．
工作效率问题：
工作总量=工作效率工作时间；
假设工作总量是1，则工作效率是．
【例7】
（1）一项工程甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，则甲乙合作需要_____天完成；
（2）甲、乙两个工程队合作修筑一条通道，已知甲工程队比乙工程队每天多修5米，甲工程队修筑80米所用的时间与乙工程队修筑70米所用的时间相同，那么甲工程队每天修________米，如果设甲工程队每天修x米，则可列出方程__________．
【难度】★
【答案】
（1）；
（2）40，．
【解析】
（1）设工程量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，
合作完成需要的天数为；
（2）依题意可得，解得：
，经检验是原方程的解，且符合题意，
故甲工程队每天修40米．
【总结】考查工程问题和相应工作效率的表示，注意分式方程解完要检验．
【例8】某服装厂准备加工300套演出服，在加工了60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服．
【难度】★
【答案】20
【解析】设该厂原来每天加工套演出服，依题意可得：
，
解得：
，经检验是原方程的解，且符合题意，
即该厂原来每天加工20套演出服．
【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．
【例9】汛期到来之前，某施工队承接了一段长300米的河提加固任务，加固80米后，接到防汛指挥部的指示，要求加快施工速度，为此施工队在保证质量的前提下，每天多加工15米，这样一共用了6天完成了任务，问接到指示后，施工队每天加固河堤多少米．
【难度】★
【答案】55．
【解析】设指示后施工队每天加固河堤米，则指示前每天加工米，
依题意可得：
，解得：
，
经检验是原方程的解，且符合题意，故接到指示后施工队每天加固河堤55米．
【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．
【例10】有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天．
【难度】★★
【答案】甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天．
【解析】设甲单独完成需要天，则甲乙合作完成需要天，乙单独完成需要
天，依题意可得，整理得，
解得：
，（舍），经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
即甲单独完成需要15天，乙单独完成需要天．
【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．
【例11】某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?
【难度】★★★
【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．
【解析】设甲原来需要天，则乙原来需要天，依题意可得：
，
解得：
，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．
【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式．
【例12】已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为，，，
依题意可得，，
分别整理可得，，
相加得，由此得．
【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．
【例13】一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?
【难度】★★★
【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．
【解析】设甲需要，则乙需要，依题意可得，
整理得，解得：
，，
经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．
【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．．
单件利润=售价-成本；总利润=单件利润销售件数．
【例14】某各个体户以2元/kg的价格购进一种食品，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg，另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/kg?
【难度】★★
【答案】应将售价降低为2.7元/千克．
【解析】设应将售价降低为元，依题意可得：
，
整理得，即，解得：
，，
因为是促销，即应将售价每千克应降低为2.7元．
【总结】考查利润问题的应用，总利润=单个利润×总销量．
【例15】甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料?
【难度】★★
【答案】甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料．
【解析】设甲店进货箱饮料，则乙店进货箱饮料，
依题意可得，整理得，
解得：
，，经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
故甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料．
【总结】考查销售问题，注意对题意的准确理解．
【例16】某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低
0.5元/千克．
（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?
（2）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出，剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?
如果赚钱了，赚多少?
如果不赚钱，那么赔了多少?
【难度】★★★
【答案】
（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；
（2）赚了29.6元
【解析】
（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果x+10千克，由题意得，
解得：
x=40，经检验x=40是原方程的解，且符合题意，
故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；
（2）利润为：
，故赚了29.6元．
【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．
【例17】某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：
甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；
（1）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?
（2）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：
方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?
【难度】★★★
【答案】
（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；
（2）方案三．
【解析】
（1）设甲小组每天修理套旧桌椅，则乙小组每天修理套旧桌椅，
依题意可得，整理得，解得：
，，
经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；
（2）方案一需要的费用为元；
方案二需要的费用为元；
方案三需要的费用为元，可知方案三更省钱．
【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．
行程问题中三个变量：
路程、速度和时间，关系如下：
路程=速度时间
可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．
【例18】小王从甲地到乙地需要m分钟，若小李同时从乙地到甲地，则两人经过n分钟相遇，则小李从乙地到甲地需要_________分钟（用含m、n的代数式表示）．
【难度】★★
【答案】．
【解析】小李需要的分钟数为．
【总结】考查行程问题的应用，注意平均速度的求解．
【例19】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走多少米?
【难度】★★
【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．
【解析】设甲每小时走千米，则乙每小时走千米，依题意可得：
，
整理得，解得：
，（舍），
经检验均是原方程的解，但不符合题意，故舍去，
所以甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．
【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．．
【例20】已知A、B两地相距125km，甲乙两人同时A、B两地出发，相向而行，每走10km甲比乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度．
【难度】★★
【答案】甲的速度为，乙的速度为．
【解析】设甲的速度为，依题意可得，整理得，
解得：
，，经检验均是原方程的解，但不符合题意，故舍去，
所以甲的速度为，乙的速度为．
【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．
【例21】甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度．
【难度】★★★
【答案】甲的速度为，乙的速度为．
【解析】设甲的速度为，乙的速度为．
依题意可得，解得：
，经检验是原方程组的解，且符合题意，
故甲的速度为，乙的速度为．
【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．．
（1）关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；
（2）与面积相关的问题；
（3）图形中的动点问题．
【例22】函数y=2x图像上一点P到点A（5，0）的距离是5，求点P的坐标．
【难度】★
【答案】，．
【解析】设，依题意可得，解得：
，，
经检验，均是原方程的解，故得或．
【总结】考查点坐标的求取，根据点所在的直线设点坐标，注意无理方程要验根．
【例23】已知直角三角形的两条直角边的差是2cm，它的面积是12cm2，求这两条直角边的长．
【难度】★
【答案】两直角边长分别为和、
【解析】设较长一边为，则另一直角边为，
依题意可得，整理得，解得：
，（舍），
即得一边长为，另一边长为．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
【例24】将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由．
【难度】★★
【答案】不能．
【解析】设一个正方形边长为，则另一个边长为，依题意可得，
方程无解，即不可能．
【总结】考查面积问题的应用，一边作设，一边相应表示出来列方程求解即可．
【例25】如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．
【难度】★★
【答案】离A处处
【解析】设，则，
依题意可得，解得：
，
经检验是原方程的解，
故超市应建在离A处处．
【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．
【例26】有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．
【难度】★★
【答案】160或200．
【解析】依题意可得，整理得，
解得：
，，即的值为160或200．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
【例27】有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度
【难度】★★
【答案】
【解析】设边的长度为，依题意可得，
整理得，解得：
，（舍），
即得路宽为．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
【例28】等腰Rt△中，，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：
等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2．
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，由题意可知和
均为等腰直角三角形，依题意可得，
解得：
，即长为．
【总结】考查动点问题的应用求解．
【例29】m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置．
【难度】★★★
【答案】点P在两道路交点上下方或处．
【解析】以公路、分别为、轴建立平面直角坐标系，
依题意得，或，设，
依题意可得或，
整理得或，
解得：
，，，，
经检验均是原方程的解，但，不符合题意，故舍去，
所以点P在两道路交点上下方或处．
【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．
【例30】已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】，，，．
【解析】当P在轴上时，设，依题意可得，
解得：
，，即得，；
当P在轴上时，设，依题意可得，
解得：
，，即得，．
【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．
【例31】有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数．
【难度】★
【答案】5
【解析】设这个数为，依题意可得，解得：
，（舍），即这个数是5．
【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．
【例32】有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5，并且个位上的数的平方比十位上的数大1，求这个两位数．
【难度】★
【答案】32．
【解析】设十位数为，则个位数为，
依题意可得，整理得，解得：
，（舍），
则这个数个位上是2，这个数是32．
【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．
【例33】某剧场有座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就有座位1020个，问原来座位多少排?
原每排多少个座位．
【难度】★★
【答案】这个剧院有10排，每排有80个座位；或这个剧院有32排，每排有个座位．
【解析】设原来有排，则每排有个座位，依题意可得，
整理得，解得：
，，经检验均是方程的解且符合题意．
即这个剧院有10排，每排有个座位；
或这个剧院有32排，每排有个座位．
【总结】考查根据题目条件进行相应方程求解列式的应用，注意两种解都成立，另分式方程解完别忘记检验．
【例34】植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就要比原计划多植树20棵，每个小分队共分成了多少个组．
【难度】★★
【答案】20
【解析】设共分成了个小组，依题意可得，
整理得，解得：
，（舍），即共分成了20个小组．
【总结】考查工程问题的应用，解完别忘记检验．
【例35】学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多少人?
【难度】★★
【答案】甲组有10人，乙组有7人，丙组有5人．
【解析】设丙组有人，则甲组有人，乙组有人，
依题意可得，整理得，
即，解得：
，（舍），
即丙组有5人，甲组有10人，乙组有7人．
【总结】考查握手问题的应用．
【例36】小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈说：
“本场比赛火箭队的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”．爸爸说：
“如果把姚明的分数乘以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜”，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪个队胜了?
姚明和易建联各得了多少分?
【难度】★★
【答案】姚明得分为36分，易建联得分为24分，火箭队获胜．
【解析】设姚明得分为分，则易建联得分为分，
依题意可得，整理得，
解得：
，（舍），
即姚明得分为36分，则易建联得分为24分，可知火箭队获胜．
【总结】考查根据题意列方程进行方程的求解．
【习题1】某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加%，那么1998年这个公司出口创收_________元．
【难度】★
【答案】．
【解析】考查增长率问题的应用．
【习题2】甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天，设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x天和y天，则可列方程组为（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】考查工程问题的应用．
【习题3】已知点A（12，2），B（3，-1），在x轴上找一点P，使PA=2PB．
【难度】★
【答案】，
【解析】设，依题意可得，整理得，
解得：
，，即得或．
【总结】考查满足一定条件的点坐标求取的应用．
【习题4】甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数．
【难度】★★
【答案】甲单独做需要20天，则乙单独做需要24天．
【解析】设甲单独做需要天，则乙单独做需要天，
依题意可得，整理得，
解得：
，，经检验均是原方程的解，但不符合题意，故舍去．
即甲单独做需要20天，则乙单独做需要天．
【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程解完要检验．
【习题5】有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和宽．
【难度】★★
【答案】饲养场长为，宽为．
【解析】设饲养场长为，
依题意可得，整理得，解得：
，（舍），
即饲养场长为，宽为．
【总结】考查面积问题的应用．
【习题6】修建360米长的一段高速公路,甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元,乙工程队每天修建的费用为3.2万元.
（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
（2）为在35天内完成修建任务应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少?
并说明理由
【难度】★★
【答案】
（1）甲每天修，则乙每天修；
（2）甲．
【解析】
（1）设甲每天修，则乙每天修，
依题意可得，整理得，
解得：
，（舍），
即甲每天修，则乙每天修；
（2）甲需要30天，乙需要20天，所以在35天内都可以完成．
甲所需的费用为万元，乙所需的费用为万元，，所以选择甲．
【总结】考查工程问题的应用．
【习题7】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛．
【难度】★★
【答案】8
【解析】设应邀请需要个队参赛，
依题意可得，整理得，
解得：
，（舍），
即应邀请6个队参赛．
【总结】考查比赛问题，注意赛制是单循环还是双循环．
【习题8】初二
（1）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起分担，因此每个班委的同学比
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