浙江省湖州市初二数学竞赛试题附答案详解.docx
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浙江省湖州市初二数学竞赛试题附答案详解
2017年浙江省湖州市初二数学竞赛试题
（满分：
120分时间：
120分钟）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、一件商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动.此时这件商品的售价为（ ）
A、a元B、0.8a元C、1.04a元D、0.92a元
2、某学校为迎接市中学生足球赛，组织了学校班际足球比赛，下表是八年级A，B，C，，D四个班举行足球単循环赛的成绩：
A班
B班
C班
D班
A班
×
0:
1②
3:
2
0:
0
B班
1:
0①
×
1:
1
3:
0
C班
2:
3
1:
1
×
4:
1
D班
0:
0
0:
3
1:
4
×
表中成绩栏中的比为所有球队比赛的进球之比.如①表示B班与A班的比赛中，B班以1:
0获胜；②表示与①同一场比赛，A班输给了B班.按规定，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，按得分由多到少排名次，则此次比赛的冠军队是（ ）
A、A班B、B班C、C班D、D班
3、小敏和小聪进行百米赛跑，小敏每秒跑6.3米，小聪每秒跑7.1米，小聪让小敏先跑5米，则比赛结果是（ ）
A、小敏和小聪同时到达终点B、小敏比小聪早近1秒到达终点
C、小敏比小聪晩近1秒到达终点D、小敏比小聪晩近0.9秒到达终点
4、如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A、5个B、4个C、3个D、1个
5、如图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、某校进行校园歌手大奖赛预赛，评委给每位选手打分时，最高分不超过10分，所有评委的评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均分即为选手的最后得分.小敏的最后得分为9.68分，若只去掉一个最低分，小敏的得分为9.72分，若只去掉一个最高分，小敏的得分为9.66分，那么可以算出这次比赛的评委有（ ）
A、9名B、10名C、11名D、12名
7、小敏尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图）.如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD的长与宽的比值为（ ）
A、2B、3C、
D、
8、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）
A、2种B、3种C、4种D、5种
二、填空题（每小题5分，共30分）
9、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则围成图中阴影部分的周长和面积分别为________﹒
10、在四边形ABCD（凸四边形）中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，连结对角线AC，当△ACD为等腰三角形时，则∠BCD的度数为________﹒
11、甲乙两地相距250km，某天小颖从上午7:
50由甲地开车前往乙地办事.在上午9:
00，l0:
00，ll:
00这三个时刻，车上的导航仪都进行了相同的提示：
如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1个小时到达乙地﹒如果导航仪的提示语都是正确的，那么在上午11:
00时，小颖距乙地还有________km﹒
12、有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（自动扶梯向上在行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨l级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么该自动扶梯露在外面的级数是________﹒
13、设一次函数y=kx+2k-3（k≠0），对于任意两个k的值k1，k2，分别对应两个一次函数值y1，y2，若k1k2<0，当x=m时，取相应y1，y2，中的较小值p，则p的最大值是________﹒
14、某人走进一家商店，进门付l角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店付1角钱；之后，他走进第二家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，走出商店付1角钱；他又进第三家商店付l角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱；最后他走进第四家商店付l角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱，这时他一分钱也没有了.该人原有钱的数目是________角﹒
三、解答题（共4小题，共50分）
15、（10分）如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三个数之和﹒
（1）大于9?
（2）大于10?
如能，请在图中标出来；若不能，请说明理由﹒
16、（10分）某市对电话费作了调整，原市话费为每3分钟0.2元（不足3分钟按3分钟计算）.调整后，前3分钟为0.2元，以后每分钟收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）﹒设通话时间x分钟时，调整前的话费为y1元，调整后的话费为y2元﹒
（1）当x=4，4.3，5.8时，计算对应的话费值y1，y2各为多少，并指出x在什么范围取值时，y1≤y2?
（2）当x=m（m>5，m为常数）时，设计一种通话方案，使所需话费最小﹒
17、（15分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动﹒
（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；
（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以
（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
18、（15分）如图，直线y=kx-3与x轴、y轴分别交于点B，C，
=
﹒
（1）求点B坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式（不要求写自变量范围）；并进一步求出点A的坐标为多少时，△AOB的面积为
？
（3）在上述条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？
若存在，请写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由﹒
2017年浙江省湖州市初二数学竞赛试题答案与解析
一、选择题
1、【答案】C
【解析】a×（1+30%）×80%=1.04a（元）.
故选C.
2、【答案】B
【解析】由题中的表格可知四个班胜负情况：
A班
B班
C班
D班
得分
A班
×
负
胜
平
3+1=4
B班
胜
×
平
胜
3+1+3=7
C班
负
平
×
胜
1+3=4
D班
平
负
负
×
1
B班得分最高，B班为此次比赛的冠军队.
故选B.
3、【答案】C
【解析】【解答】小敏到终点的时间：
100÷6.3≈15.87（秒）；
小聪到终点的时间：
100÷7.1+5÷6.3≈14.87（秒），
小敏比小聪晚近15.87-14.87=1（秒）.
故选C.
4、【答案】C
【解析】如图，当以AB为底边时，只在P1符合；
当以AB为腰时，以AB为半径，分别以A，B为圆心作圆，与直线l分别交于点P2，P3，此时P2，P3符合；
故选C
5、【答案】C
【解析】延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，
∵∠DAK=60°，BC=1，∴∠AKD=30°，
∴CK=2，BK=
，
∴DK=CD+CK=4，
∴AD=
，
在△Rt△ADC中，
AC=
=
．
故答案C.
6、【答案】A
【解析】设这次比赛的评委有x人，
去掉最高分和最低分后的总得分是﹙x-2﹚×9.68，
去掉最低分后的总得分是﹙x-1﹚×9.72，
去掉最高分后的总得分是﹙x-1﹚×9.66，
那么最高分为﹙x-1﹚×9.72-﹙x-2﹚×9.68=0.04x+9.64，
最低分为﹙x-1﹚×9.66-﹙x-2﹚×9.68=9.70-0.02x，
根据题意得：
9.72＜最高分≤10，最低分＜9.66，
9.72＜0.04x+9.64≤10，9.70-0.02x＜9.66，
∴2＜x≤9，x＞2．
∴这次比赛的评委有9名．
故选：
A．
7、【答案】C
【解析】连接DE，如图，
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD=45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE，
∴DC=DG，
又∵△AGD为等腰直角三角形，
∴AD=
DG=
CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值=
．
故选C.
8、【答案】C
【解析】设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后是奇数，那么这样的三个数的和是奇数，由奇偶性可得不满足这个三个数的和能被第一个数整数，与已知条件矛盾．
又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai+1是奇数，根据奇偶性则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：
偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2，1，3，4，5；
2，3，5，4，1；
2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5；
4，5，3，2，1．
故选：
D．
二、填空题
9、【答案】4；1-
【解析】【解答】如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠B′AE，B′E=DE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′=60°，
∴∠DAE=
×60°=30°，
∴DE=1×
=
，
∴阴影部分的面积=1×1-2×（
×1×
）=1-
．
阴影部分的周长=（B′E+CE）+BC+AB+AB′=1+1+1+1=4.
故答案为4；1-
.
10、【答案】135°、90°、150°
【解析】【解答】解：
∵△ACD是等腰三角形．
如图1，当AD=AC时，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠BAD=90°，
∴∠CAC=90°-60°=30°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=
（180°-30°）=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°；
如图2，当AD=CD时，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AD=BC=CD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°；
如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=
AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=
BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB∥CE，AB=BC，
∴∠ACF=∠BAC=∠BCA=
∠BCF=15°，
∴∠BCD=3∠BCA=45°.
综上所述，∠ABC的度数为135°、90°、45°．
故答案为：
135°、90°、45°．
11、【答案】60
【解析】设从出发到上午11时行了s公里，
则从出发到现在的平均速度为
公里/分钟，
则s+
×60＝250，解得s=190公里，此时小袁距乙地还有250-190=60（公里）．
故答案为：
60．
12、【答案】48
【解析】设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯外面的级数为n，
则
，
两式相除得：
，
解得：
n=48，
经检验得n=48是方程的根．
故答案为：
48．
13、【答案】-3
【解析】如图，∵y=kx+2k+3=k（x+2）-3，
∴不论k取何值，当x=-2时，y=-3，
∴一次函数y=kx+2k-3经过定点（-2，-3），
又∵对于任意两个k的值k1、k2，k1k2＜0，
∴两个一次函数y1，y2，一个函数图象经过第一、二（或四）、三象限，一个经过第二、三、四象限，大致图象如图
∴当m=-2，相应的y1，y2中的较大值p，取得最大值，最大值为-3．
故答案为-3.
14、【答案】45
【解析】可设原有钱的数目为x角，
则如下表：
店
进店前
进店时
进店后
出店
一
x
x-1
二
三
四
而出店后钱为0角，则x=45.
故答案为45.
三、解答题
15、【解析】
（1）解：
（1）可设符合条件的一组数是1，a1，a2，a3，a4，a5，其中1与a5相邻，
则a1+a2≥9，a4+a5≥9，明显a1，a2，a3，a4都不为2，只当a1，a2，a4，a5分别为6，3，5，4时符合，即为1，6，3，2，5，4.
（2）解：
这六个数的平均数是3.5，三倍之后是10.5.
如果能的话，相邻三数之和至少要是11，所以六个数的平均值至少要是
，3.5显然不够大，所以排不出来.
16、【解析】
（1）解：
（1）由题意可得：
当x=4，4.3，5.8时，原标准都是按6分钟算，即y1=6÷3×0.2=0.4（元），
按新的标准算，当x=4时，y2=0.2+0.1×（4-3）=0.3（元）；
当x=4.3时，按x=5算，则y2=0.2+0.1×（5-3）=0.4（元）；
当x=5.8时，按x=6算，则y2=0.2+0.1×（6-3）=0.5（元）；
按上面的方法可写出：
x
2
3
4
4.2
5.8
6.3
7.1
11
y1
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
y2
0.2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1
由上表可得当0＜x≤3时y1=y2，
当x＞4时，y1≤y2；
即当0＜x≤3或x＞4时，y1≤y2；
（2）设n≥2且n是正整数，通话m分钟所需话费为y元，
①当3n-1＜m≤3n时，使所需话费最小的通话方案是：
分n次拨打，其中（n-1）次每次通话3分钟，一次通话（m-3n+3）分钟，
最小话费是y=0.2n
②当3n＜m≤3n+1时，使所需话费最小的通话方案是：
分n次拨打，其中（n-1）次每次通话3分钟，一次通话（m-3n+3）分钟，
最小话费是y=0.2（n-1）+0.3=0.2n+0.1
③当3n+1＜m≤3n+2时，使所需话费最小的通话方案是：
分n次拨打，其中（n-2）次每次通话3分钟，一次通话4分钟，一次通话（m-3n+2）分钟，
最小话费是y=0.2（n-2）+0.6=0.2n+0.2
17、【解析】
（1）解：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）解：
∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间
秒，
∴vQ=
cm/秒；
（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得
x=3x+2×10，
解得x=
．
∴点P共运动了
×3=80cm．
∴80=56+24=2×28+24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过
秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．
18、【解析】
（1）∵直线y=kx-3与y轴的交点为C（0，-3）
∴OC＝3
∵
=
∴OB＝
∴B点坐标为（
，0）
将B（
，0）代入y=kx-3，得
k-1=0
解得k=2.
（2）解：
由
（1）可知直线的解析式是y=2x-3，
S＝
×OB×yA
=
×
×（2x-3）
=
x-
即：
三角形AOB的面积S与x的函数关系式为S=
x-
，
当S=
时，
x-
=
，解得x=3，则2x-3=3，即A（3，3）.
所以当点A的坐标为（3，3）时，△AOB的面积为
.
（3）解：
存在.由
（2）得A（3，3），AO=3
，∠AOB=45°，
当OP=AO=3
时，P（3
，0）或P（-3
，0）；
当AP=OA=3
时，∠APO=∠AOP=45°，则OP=
OA=6，P（6，0）；
当OP=AP时，P（3，0）.
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