初二数学培训讲义第12讲 四边形的综合应用.docx

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初二数学培训讲义第12讲四边形的综合应用

第十二讲四边形的综合应用

一、主要知识点回顾

我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系。

如果①，②两个条件分别是：

①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。

那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。

③_______________，④_______________

⑤_______________，⑥_______________

⑦_______________，⑧_______________

二、感悟与实践

例题1：

如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，

求∠C、∠B的度数。

变式练习1：

如图2，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CE＝CF，

（1）△BCE与△DCF全等吗？

说明理由；

（2）若∠BEC＝60°，求∠EFD。

例题2：

如图3所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F；

求证：

∠BAE＝∠DCF；

变式练习2：

如图4所示，有A（0，1），B（

，0），C（1，0）三点坐标。

（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；

（2）选择

（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式。

例题3：

如图5所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点。

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积。

变式练习3：

已知，如图6所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连结BG并延长交DE于F。

（1）求证：

△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE'，判断四边形E'BGD是什么特殊四边形？

并说明理由。

例题4：

如图7所示，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：

四边形AECD是等腰梯形。

变式练习4：

已知：

如图8，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时：

（1）四边形PQCD是平行四边形？

（2）四边形PQCD等腰梯形？

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．一组对边平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（）。

A．菱形或矩形B．正方形或等腰梯形

C．矩形或等腰梯形D．菱形或直角梯形

2．如图9，在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，则∠E+∠F等于（）。

A．110°B．30°C．50°D．70°

3．如图10所示，在菱形ABCD中，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为

（）。

A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm

4．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（）。

A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形

5．如图11所示，已知等腰梯形ABCD的中位线EF＝6，腰AD的长为5，则该等腰梯形的周长为（）。

A．11B．16

C．17D．22

6．将一正方形纸片按图中

（1），

（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下图中的（）。

7．下列说法中，正确的是（）。

A．等腰梯形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等

C．矩形的对角线互相垂直D．正方形的对角线互相垂直且相等

8．如图12所示，阴影部分的面积是矩形面积的（）。

A．

B．

C．

D．

9．平行四边形ABCD中两邻角∠A:

∠B＝1:

2，则∠C＝_______度。

10．如图13所示，平行四边形ABCD中，若再增加一个条件______，就可推得BE＝DF。

（B）能力提高

11．如图14，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，BC＝4，D点的坐标为（10，0），则C点的坐标为（）。

A．（6，3）B．（7，3）

C．（6，4）D．（7，4）

12．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（）。

A．120°B．60°C．45°D．135°

13．如图15，在等边三角形ABC外作正方形ACDE，AD与BE交于点F，则∠FCD＝（）。

A．60°B．45°

C．75°D．54°

14．一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为cm。

15．已知：

如图16，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连结DE交AB于点F，求证：

OF＝

BE。

（C）趣味数学

有四只蚂蚁位于边长为3米的正四边形四个角上，它们遵循一个共同规则：

1号蚁总朝2号蚁爬去，2号蚁总朝3号蚁爬去，3号朝4号爬，4号朝1号爬。

现在4只蚂蚁均以1厘米/秒的速度同时匀速向目标爬行。

纵观爬行路线，犹如漩涡一样，请问经过多长时间它们在中心碰头？

若将正方形改为正三角形，三只蚂蚁如此爬行，情况怎样？

四、考考你

1．如图17所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，

AB＝2.5，则AC的长为______。

2．如图18，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）。

A．

B．2C．

D．

3．如图19，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____。

4．如图20所示，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B，C重合），AD与EF交于点O，连结DE，DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要

添加条件______。

（只添加一个条件）

5．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）。

A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD

五、课外练习

1．如图21，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点。

求证：

△BEF≌△DGH。

2．如图22,平行四边形ABCD中，G是CD上一点，BG交AD延长线于E，AF＝CG，∠DGE＝100°

（1）试说明DF＝BG；

（2）试求∠AFD的度数。

补充讲义四边形的综合应用

【能力拓展】

1．（2011北京市）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1-1中证明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图1-2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图1-3），求∠BDG的度数。

2．如图2，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE。

给出下列五个关系式：

①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB。

将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。

（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：

如果×××，那么××）。

并给出证明；

（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；

（3）加分题：

真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题。

3．如图3，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD。

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图3-1中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图3-2中的位置（当垂线AD、BE在直线MN的同侧）。

试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？

并给予证明；

（3）保持图3-2中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3-3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）。

试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？

并给予证明。

【课堂小测】每题20分，共5小题，满分100分

1．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比

△AOB的周长大2cm，则CD＝cm。

2．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为

cm2。

3．若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1:

2，则该菱形的面积为cm2。

4．梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。

5．（2011浙江金华）如图4，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中

点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是。

A

D

F

E

B

C

H

图4

初二数学讲义第十二讲参考答案（58期）

一、主要知识点回顾

③相邻两边垂直；④相邻两边相等；

⑤相邻两边相等；⑥相邻两边垂直；

⑦两腰相等；⑧一条腰垂直于底边。

二、感悟与实践

例题1：

解：

∠BAD＝2∠DAE＝2×25°＝50°

又∵平行四边形ABCD∴∠C＝∠BAD＝50°

∴AD∥BC∴∠B＝180°-∠BAD＝180°-50°＝130°

变式练习1：

（1）△BCE≌△DCF

理由：

因为四边形ABCD是正方形

∴BC＝CD，∠BCD＝90°∴∠BCE＝∠DCF

又CE＝CF　∴△BCE≌△DCF

（2）∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE∵∠FCE＝90°

∴∠CFE＝

又∵△BCE≌△DCF　∴∠CFD＝∠BEC＝60°

∴∠EFD＝∠CFD-∠CFE＝60°-45°＝15°

例题2：

分析：

本题考查的知识点是平行四边形性质的运用。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD

∴∠ABE＝∠CDF。

又∵AE⊥BD，CF⊥BD。

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴△ABE≌△CDF。

∴∠BAE＝∠DCF。

变式练习2：

分析：

本题考查的知识点是平行四边形和一次函数的综合运用。

（1）符合条件的点D的坐标分别是：

D1（2，1），D2（

，1），D3（0，

）。

（2）①选择点D1（2，1）时，设直线BD1的解析式为

。

由题意得

，解得

∴直线BD1的解析式为y＝

x+

②选择点D2时，

。

③选择点D3时，

。

例题3：

分析：

本题考查的知识点是菱形的综合运用。

（1）∵四边形ABCD为平行四边形。

∴∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝CD。

又∵点E，F分别是BC，AD的中点。

∴DF＝BE，∴△ABE≌△CDF。

（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，AB＝2，菱形的边长也为2，

四边形ABCD的高为

，∴菱形AECF的面积为2

。

变式练习3：

分析：

本题考查的知识点是正方形的综合运用。

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°。

∵∠BCD+∠DCE＝180°，

∴∠BCD＝∠DCE＝90°。

又∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE。

（2）四边形E'BGD是平行四边形，理由如下：

∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE'，∴CE＝AE'。

∵CE＝CG，∴CG＝AE'。

∵四边形ABCD是正方形，

∴BE'∥DG，AB＝CD。

∴AB-AE'＝CD-CG，即BE'＝DG。

∴四边形E'BGD是平行四边形。

例题4：

分析：

本题考查的知识点是等腰梯形的综合运用。

∵ABCD是菱形，∠DAB＝60°。

∴∠CAE＝

∠DAB＝30°。

又∵CE⊥AC，∴∠E＝60°＝∠DAB，∴CE＝BC＝AD。

又∵CD∥AE。

AE＝AB+BE＝DC+BE≠DC，∴四边形AECD是等腰梯形。

变式练习4：

分析：

本题考查的知识点是平行四边形和等腰梯形形的综合运用。

（1）PD＝24-t，CQ＝3t，当四边形PQCD是平行四边形时PD＝CQ

∴24-t＝3t，∴t＝6，即t＝6时四边形PQCD是平行四边形

（2）∵PD＝24-t，CQ＝3t，26-24＝2，

当四边形PQCD是等腰梯形时PD+2+2＝CQ，

∴24-t+2+2＝3t，∴t＝7而7×3＝21<26，7×1＝7<24，

∴当t＝7时四边形PQCD是等腰梯形。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．B2．D3．C4．C5．D6．B7．D8．B9．60

10．答案不唯一，如：

AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF。

（B）能力提高

11．D12．B13．C14．22.512.522.512.5

15．分析：

本题考查的知识点是正方形的综合运用

∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD。

又BE＝BC，∴BE＝AD。

∵AD∥BE，

∴∠E＝∠ADF，∠AFD＝∠EFB。

∴△ADF≌△BEF。

∴DF＝FE。

又∵DO＝OB。

∴OF为△BDE的中位线。

∴OF＝

BE。

（C）趣味数学

因为在每一时刻，2号蚁总是沿着与跟踪它的1号蚁成直角的方向移动。

可见四只蚂蚁始终位于不同正方形的四个角上。

由于2号蚁的移动并不影响它与1号蚁之间的距离。

因此，它们的螺旋运动轨迹可以不予考虑。

所以问题简化为2号蚁停留在原处，1号蚁沿正方形一边向它爬去所用

时间

秒＝5分钟。

故经过5分钟，四蚁在中心碰头。

若将正方形改为正三角形，情况就有所不同了，

因为2号蚁的移动相对于1号蚁并不垂直，而成60°夹角。

所以还有一个向1号蚁靠拢的分速度0.5厘米/秒，

因此问题可简化为2号蚁以0.5厘米/秒，1号蚁以1厘米/秒的速度相向爬行，

走完3米远的路程所用时间

＝200秒＝3分20秒。

故经过3分20秒三蚁在中心碰头。

四、考考你

1．52．C3．（

，

）4．如BD＝CD，OE＝OF，DE∥AC等。

5．D

五、课外练习

1．∵四边形ABCD为平行四边形。

∴∠B＝∠D，AB＝CD，BC＝AD。

又∵E，F，G，H分别是ABCD的四边中点。

∴BE＝DG，BF＝DH。

∴△BEF≌△DGH。

2．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，又AF＝CG，

∴AB-AF＝DC-CG，即GD＝BF，

又DG∥BF，

∴四边形DFBG是平行四边形，

∴DF＝BG；

（2）∵四边形DFBG是平行四边形，

∴DF∥GB，

∴∠GBF＝∠AFD，

同理可得∠GBF＝∠DGE，

∴∠AFD＝∠DGE＝100°。

初二数学补充讲义第十二讲参考答案（58期）

【能力拓展】

1．分析：

本题考查的知识点是平行四边形的综合运用。

（1）证明：

如图1。

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD。

∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F。

∴∠CEF＝∠F。

∴CE＝CF

（2）∠BDG＝45°

（3）解：

分别连结GB、GE、GC（如图3）

∵AB∥DC，∠ABC＝120°

∴∠ECF＝∠ABC＝120°

∵FG∥CE且FG＝CE。

∴四边形CEGF是平行四边形。

由

（1）得CE＝CF，

平行四边形CEGF是菱形。

∴EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝

∠ECF＝60°

∴△ECG是等边三角形

∴EG＝CG，①

∠GEC＝∠EGC＝60°

∴∠GEC＝∠GCF。

∴∠BEG＝∠DCG。

②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB。

∴AB＝BE。

在平行四边形ABCD中，AB＝DC。

∴BE＝DC。

③

由①②③得△BEG≌△DCG。

∴BG＝DG。

∠1＝∠2。

∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EGC＝60°

∴∠BDG＝

＝60°。

（x＞0）。

2．解：

本题考查的知识点是梯形的综合运用

（1）如果①②③，那么④⑤

证明：

如图，延长AE交BC的延长线于F

∵AD∥BC，∴∠1＝∠F

又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EC

∴

∴AD＝BF，AE＝EF

∵∠1＝∠F，∠1＝∠2

∴∠2＝∠F，∴AB＝BF，∴∠3＝∠4

∴AD+BC＝CF+BC＝BF＝AB

（说明：

其它真命题的证明可参照上述过程相应给分）

（2）如果①②④，那么③⑤

如果①③④，那么②⑤

如果①③⑤，那么②④

（3）若

（1）

（2）中四个命题含假命题（“如果②③④，那么①⑤”），则不加分；若（3）

中含假命题，也不加分。

3．解：

（1）△ABC为等腰直角三角形。

如图2，在矩形ABED中，

∵点C是边DE的中点，

且AC＝2AD，

∴AD＝DC＝CE＝EB，

∠D＝∠E＝90°。

∴△ADC

△BEC。

∴AC＝BC，∠1＝∠2＝45°

∴ACB＝90°。

∴△ABC为等腰直角三角形。

（2）DE＝AD+BE。

如图3，在Rt△ADC和Rt△CEB中，

∵∠1＝∠CAD＝90°，∠1＝∠2＝90°，

∴∠CAD＝∠2。

又∵AC＝CB，∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB。

∴DC＝BE，CE＝AD。

∴DC+CE＝BE+AD，

即DE＝AD+BE。

（3）DE＝BE-AD。

如图4，在Rt△ADC和Rt△CEB中，

∵∠1+∠CAD＝90°，∠1＝∠2＝90°，

∴∠CAD＝∠2。

又∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB。

∴DC＝BE，CE＝AD。

∴DC-CE＝BE-AD，

即DE＝BE-AD。

【课堂小测】

1．42．16

3．8

4．1＜m＜75．2